Передачи с неподвижными осями колёс

Основная задача кинематического анализа любых зубчатых передач состоит в определении передаточного отношения. Как и в плоском зацеплении, в любой передаче, состоящей из двух вращающихся звеньев, передаточное отношение от первого звена ко второму . Для более сложных передач с неподвижными осями общее передаточное отношение, т. е. передаточное отношение от первого звена к последнему -му, определяют по формуле

. (5.10)

Согласно формуле, общее передаточное отношение равно произведению всех промежуточных. Индексы при указывают номера звеньев, а не номера зубчатых колёс, которых у звена может быть несколько. Заменяя каждое отношением скоростей, получают: . После сокращений уравнение обращается в тождество, что доказывает справедливость формулы (5.10).

Пример. В передаче, изображённой на рис. 5.23, известны числа зубьев всех колёс. Требуется определить передаточное отношение .

4

1

2a

2b

3b

3a

Рис. 5.23. Зубчатая передача с неподвижными осями колёс

Решение. .

Рассмотренная передача называется ступенчатой. Колёса 1, 2а образуют первую ступень; 3а, 2б – вторую; 4, 3б – третью. Если все колёса лежат в одной плоскости или, говоря иначе, расположены в один ряд, то передача называется р довой, пример приведён на рис. 5.24.

1

2

3

4

Рис. 5.24. Р довая зубчатая передача

Для этой передачи . Результат показывает, что передаточное отношение рядовой передачи зависит от чисел зубьев только крайних колёс.

Для передач с параллельными осями – рядовых и ступенчатых – имеет смысл знак передаточного отношения. Он положительный, если колёса вращаются в одном направлении, и отрицательный, если в разных. Знак общего передаточного отношения можно установить алгебраически через знаки промежуточных передаточных отношений или визуально, обходя колёса по маршруту, показанному на рис. 5.24 волнистой стрелкой. Стрелка показывает, что крайние колёса вращаются в разных направлениях, и значит, общее передаточное отношение – отрицательное. Учёт знака важен при аналитическом анализе планетарных передач.

Планетарные передачи

Передача называется планетарной, если она содержит хотя бы одно колесо с подвижной осью (рис. 5.25, а, б). Колесо с подвижной осью называется сателлитом. В данном примере – это колесо 2. Звено , несущее сателлит, называется водилом. Звенья 1, 3, – центральные. Ось, проходящая через точку , – главная.

Сателлитов может быть несколько, это увеличивает нагрузочную способность передачи, однако для кинематического анализа достаточно принять во внимание только один сателлит.

Колёса представлены на схеме своими центроидами или, иначе, начальными окружностями. Числа зубьев , , всех колёс при анализе считаются известными, поэтому есть возможность изобразить схему в некотором масштабе.

Основная задача анализа состоит в определении передаточного отношения . Это передаточное отношение от центрального колеса к водилу. Задача может быть решена как графически, так и аналитически. Графическое решение опирается на картины линейных и угловых скоростей.

Картина линейных скоростей представляет собой совокупность линий распределения скоростей всех точек, лежащих на оси, проходящей вдоль водила. Для построения картины схему изображают в произвольном масштабе, при этом радиусы начальных окружностей определяют исходя из пропорциональности этих радиусов числам зубьев. Обозначают шарниры , и точки касания , окружностей всех колёс. Задаются скоростью какой-нибудь из обозначенных точек, например скоростью точки колёс 1 и 2. Задаваемую скорость изображают вектором произвольной длины. Соединив точки и , получают линию распределения скоростей колеса 1.

1

3

2

H

B'

w1

wH

w2

D

3

C'

C

B

b

a

A

1

2

в)

б)

а)

w1

w2

Рис. 5.25. Планетарная передача – а, б и картина угловых скоростей – в

Скорость точки сателлита такая же, как точки колеса 1. Сателлит катится без скольжения по окружности колеса 3. Точка является мгновенным центром вращения сателлита. Соединяя и , получают линию распределения скоростей сателлита. С помощью этой линии находят скорость в центре сателлита.

Скорость на подвижном конце водила такая же, как в центре сателлита. Водило вращается вокруг точки . Соединяя и , получают линию распределения скоростей водила. На этом построение картины линейных скоростей завершено.

Картина угловых скоростей. Если все линейные скорости отнести к одному и тому же расстоянию от центра вращения, то на основании известной формулы эти линейные скорости можно рассматривать как угловые. В качестве принимают произвольный отрезок (рис. 5.25, в).

Из точки проводят лучи, параллельные линиям распределения скоростей. На прямой, перпендикулярной , эти лучи отсекают отрезки, изображающие угловые скорости соответствующих звеньев. Отсчёт скоростей ведётся от точки . Например, отрезок изображает скорость , – скорость .

Для определения передаточного отношения масштаб картины не имеет значения, поэтому достаточно измерить длины отрезков , и поделить один на другой: .

Аналитическое определение величины . Формулу передаточного отношения выводят методом обращения движения относительно водила. В данном случае метод состоит
в том, что стойке механизма вместе со всем его содержимым сообщают вращение вокруг главной оси со скоростью – , т. е.
со скоростью водила, но в обратном направлении (рис. 5.26).

3

1

2

w1+(–wH)

–wH

Рис. 5.26. Скорости относительно водила

Под содержимым подразумеваются все звенья механизма и двигатель, вращающий колесо 1. После обращения движения водило становится неподвижным; колесо 3 вращается со скоростью ; колесо 1 имеет скорость относительно корпуса и вместе с корпусом; результирующая скорость . Передаточное отношение от звена 1 к 3

. Отсюда

. (5.11)

Обращённый механизм равносилен переставленному на водило. На этом основании можно называть передаточным отношением механизма, переставленного на водило. С учётом этого замечания выделенная формула читается так: Передаточное отношение от центрального колеса к водилу равно единице минус передаточное отношение от того же центрального колеса к другому центральному после перестановки механизма на водило.

Теперь задача сводится к выражению величины через числа зубьев. После перестановки на водило планетарная передача превращается в обыкновенную, и для неё становится справедливой формула (5.10). В соответствии с этой формулой . Знак «минус» поставлен потому, что колёса 1 и 3 вращаются во взаимно противоположных направлениях. После подстановки в (5.11) получают:

. (5.12)

5.7.3 Синтез планетарной передачи

Синтез состоит в подборе чисел зубьев. Основным условием синтеза является обеспечение заданного передаточного отношения . Дополнительными являются условия соосности, сборки и соседства сателлитов.

Условие соосности состоит в том, чтобы оси центральных звеньев лежали на одной прямой. Условие сборки или, иначе, собираемости передачи состоит в том, чтобы напротив зуба одного колеса находилась впадина другого. При одном сателлите это условие выполняется всегда, при нескольких сателлитах числа зубьев надо подбирать специально. Условие соседства сателлитов состоит в том, чтобы соседние сателлиты не задевали друг друга. Такое возможно, начиная с трёх сателлитов.

Основное условие синтеза выражает формула (5.12). Условие соосности удовлетворяется, если радиусы начальных окружностей связаны уравнением (см. рис. 5.25). Как отмечалось при выводе системы (5.3), радиусы начальных окружностей пропорциональны числам зубьев. С учётом этой пропорциональности условие соосности имеет вид

. (5.13)

Условие сборки. Сателлиты делят передачу на несколько одинаковых секторов, количество которых равно числу сателлитов . Один из таких секторов изображён на рис. 5.27. Если обойти зубья по маршруту, выделенному на рисунке жирной линией, то получится цепь, содержащая некоторое целое число зубьев . Оно складывается из секторного числа зубьев колёс 1 и 3, плюс по половине чисел зубьев двух сателлитов:

.

Последнее слагаемое есть целое число, равное . После вычитания его из получают новое целое , и условие сборки принимает вид:

. (5.14)

Если задаться числами , и , то уравнения (5.12), (5.13), (5.14) будут представлять собой систему с тремя неизвестными – , , . На этом задачу можно считать решённой. Однако, решив уравнения, можно получить слишком большие или, наоборот, слишком малые числа зубьев. Чтобы этого избежать, условиям синтеза придают форму пропорции:

. (5.15)

3

1

2

Рис. 5.27. К выводу условия сборки

Вместо чисел , , задаются числами , , . После подстановок заключённое в квадратные скобки представляют в виде обыкновенных несократимых дробей. Задавшись числом так, чтобы все дроби стали целыми, находят , , .

Пример. ; . Требуется определить , , .

Решение. Подставляя и в уравнение (5.15), получают:

.

Пусть , тогда скобки будут содержать только целые числа: . Из сопоставления с левой частью уравнения находят: , , , .

Пропущенное нами условие соседства сателлитов легко проверяется графически. Если условие не выполняется, то задаются другим числом сателлитов и повторяют расчёт.

Волновая передача

Передача состоит из волнообразователя , гибкого зубчатого колеса 1, ролика 2 и жёсткого зубчатого колеса 3 (рис. 5.28).

Обычно задача анализа состоит в определении передаточного отношения в направлении от волнообразователя к гибкому колесу. Как и в случае планетарных передач, эта задача эффективно решается методом обращения движения.

Рис. 5.28. Волновая передача

Согласно методу, корпусу механизма – звену 3 – сообщают скорость . После этого звено H останавливается, а вал звена 1 обретает скорость . В обращённом механизме передаточное отношение от звена 1 к звену 3 выражает формула . Отсюда после преобразований получают:

. (5.16)

Силовой расчёт механизмов

Постановка задачи

В данном курсе силовой расчёт или, иначе, силовой анализ рассматривается только для плоских механизмов. Предполагается, что высшие пары заменены низшими и, следовательно, механизм приведён к рычажному виду. Расчёт ведётся по двумерной модели. Как правило, такая модель не содержит избыточных связей и механизм оказывается статически определимым. Предполагается также, что трение пренебрежимо мало.

Расчёт состоит в определении реакций связей в кинематических парах механизма по заданному положению и движению (скорости и ускорению) одного из звеньев этого механизма.

При заданном движении величину одной из внешних сил не задают. Её определяют исходя из того, чтобы она в совокупности с другими внешними силами обеспечивала заданное движение. Для краткости незаданную внешнюю силу называют уравновешивающей. Она действительно является таковой по отношению к внешним силам и силам инерции.

Реакции связей существенно зависят от сил инерции. В свою очередь силы инерции зависят от ускорений, поэтому силовому расчёту предшествует кинематический анализ. Конечной целью этого анализа является определение ускорений центров масс и угловых ускорений звеньев. Ниже предполагается, что ускорения определены.

Силы инерции

Силы инерции каждого звена представляют сначала в виде главного вектора и главного момента . Их модули определяют по формулам

; ,

где m – масса звена; – ускорение центра масс; – момент инерции звена относительно центра масс; – угловое ускорение звена. Главный вектор прикладывают к центру масс звена и направляют противоположно ускорению , главный момент изображают круговой стрелкой, направленной противоположно угловому ускорению e.

Чтобы унифицировать силы, а именно свести их только к векторам, избавляются от главного момента . При это делают параллельным смещением вектора на расстояние . Направление смещения выбирают так, чтобы после смещения вектор создавал относительно центра масс момент, совпадающий по направлению с удаляемым моментом. При главный момент представляют в виде пары сил , с произвольным плечом . При этом .

Методы силового расчёта

Первый метод – позвенный, состоит в том, что механизм разбивают на отдельные звенья. К каждому звену прикладывают три категории сил: внешние (для механизма) силы, реакции связей, силы инерции. Внешние силы делятся на: движущие –
в форме вектора или момента ; силы полезного сопротивления, тоже в виде вектора или момента ; силы тяжести – … (рис. 6.1, а). Цифровой индекс в обозначении силы тяжести или силы инерции указывает номер звена приложения этой силы.

Реакции связей представляют двумя взаимно перпендикулярными составляющими , (рис. 6.1, б).

FПС

FД

I3

I4

а)

A

B

C

D

E

F

G

i

j

R^tij

б)

в)

FПС

R^t45

G1

G2

G3

G4

G5

G5

I5

I1

I5

I2

R^t05

R^n05

R^n45

R^nij

Рис. 6.1. Силы, действующие на звенья механизма:
а – внешние силы и силы инерции;
б – реакции связей в паре i-j; силы звена 5

На рис. 6.1, в показаны все три категории сил, приложенных к звену 5. Неизвестные силы выделены пунктиром. Силы инерции представлены в безмоментной форме. Согласно принципу Даламбера, приложение сил инерции ко всем внешним силам и реакциям связей приводит любое звено в состояние равновесия. Совместно решая систему уравнений равновесия всех звеньев, находят реакции и незаданную внешнюю силу. Совместное решение целесообразно только при машинном решении задачи.

Второй метод – погруппный, применяется при ручном графоаналитическом решении задачи. Он состоит в том, что реакции определяют не для всех звеньев сразу, а лишь для отдельных групп этих звеньев. В выделенных группах число реакций должно быть равно числу уравнений равновесия.

Число реакций равно числу активных связей s, содержащихся во всех парах группы. Для произвольной системы сил число уравнений равновесия равно 3 п, где п – число звеньев группы. В итоге искомые группы должны удовлетворять условию .

Такому условию удовлетворяют, как известно, группы Ассура (см. пункт 3.1.1). При разложении на группы Ассура за начальное принимают звено 1 (см. рис. 6.1, а), к которому приложена незаданная внешняя сила . При этом порядок образования механизма будет следующим: 0, 1 + 2, 3 + 4, 5. Силовой расчёт ведут в обратном порядке, т. е. 4, 5; 2, 3; 0, 1. Такой порядок обусловлен тем, что на начало расчёта условие соблюдается только в группе 4, 5, наиболее удалённой от звена приложения незаданной внешней силы.

Пример погруппного силового расчёта

Пусть требуется определить реакции в кинематических парах шестизвенного механизма, показанного на рис. 6.2, а.

Схема вычерчена в определённом масштабе. Это значит, что все размеры доступны. Известны массы и моменты инерции звеньев. Задана скорость кривошипа 1. Эта скорость постоянна. Известна сила полезного сопротивления и силы тяжести ... . Последние определены через известные массы по формуле , где g – ускорение свободного падения. Движущий момент не задан, чтобы не войти в противоречие с заданным движением.

Предполагается, что кинематический анализ уже произведён и определены главные векторы и главные моменты сил инерции всех звеньев. Причём, и равны нулю ввиду неподвижности центров масс , соответствующих звеньев; равно нулю, т. к. равно нулю угловое ускорение звена 1; и равны нулю из-за того, что масса и момент инерции звена 4 пренебрежимо малы. Силы инерции, подлежащие учёту, показаны на схеме механизма.

Звено 1 принято за начальное, т. к. к нему приложен незаданный момент . Первую группу Ассура образуют звенья 2, 3,
вторую – звенья 4, 5.

Рассчитываемую группу отделяют от механизма и изображают отдельно (рис. 6.2, б). Положение звеньев группы не изменяют. Масштаб группы произвольный. К группе прикладывают внешние силы , , реакции , и единственную силу инерции . Масштаб сил на этом этапе расчёта не соблюдают.

Рис. 6.2. Силовой расчёт механизма

Расчёт группы 4, 5

Линию действия реакции (звена 3 на звено 4) располагают перпендикулярно оси поступательной пары 3, 4, т. к. трения нет. Названную линию проводят через точку Е. Это объясняется следующим. Звено 4, как и вся группа, находится в равновесии. На звено 4 действуют только две силы – и ( действует изнутри звена 4, – снаружи). Реакцию , как и все внутренние силы группы 5, 4, не показывают. Если тело находится в равновесии под действием только двух сил, то они располагаются на одной прямой. проходит через точку Е, следовательно, тоже проходит через точку Е. Направление реакции на линии её действия указывают произвольно и рассматривают это направление как предварительное.

Связи стойки 0 с ползуном 5 можно считать расположенными в его опорах – по одной связи на каждую опору. Реакции этих связей представляют в виде равнодействующей , перпендикулярной оси пары 0-5 и приложенной в неизвестной пока точке Т. Расстояние до точки Т определяют наряду с реакциями.

При графоаналитическом силовом расчёте уравнения равновесия записывают в виде суммы моментов и в виде геометрической суммы сил . Сначала определяют внешние реакции, затем внутренние. Уравнение моментов применяют обычно к отдельным звеньям, а уравнение геометрической суммы сил – к группе в целом. Уравнение сил как векторное позволяет найти сразу два неизвестных. Это либо величины двух сил с известными линиями действия, либо величина и направление одной силы.

Рассматриваемая группа имеет три внешних неизвестных – , и . Первые два определяют из геометрической суммы, которую записывают для группы в целом. Порядок сложения векторов не имеет значения. Полезно, однако, искомые реакции ставить в конец уравнения. Исходя из этого, получают:

+ .

Неизвестные выделены чертой снизу. Графическое решение уравнения геометрической суммы называется планом сил. План сил строится в определенном масштабе. Масштабный коэффициент плана определяют, ориентируясь на самую большую из известных сил. Пусть это будет . Тогда, задавшись отрезком á ñ, получают: / á F _псñ.

Построив цепь из первых трёх сил, через конец вектора проводят линию действия реакции (рис. 6.2, в). При нулевой сумме последнее слагаемое должно приходить в начало первого. На этом основании линию действия вектора проводят через начало вектора . На пересечении линий действия находят конец вектора и начало . Истинные значения реакций находят через масштабный коэффициент .

Направления искомых сил удобно определять по следующему правилу: если геометрическая сумма сил равна нулю, то искомые силы оказываются попутными обходу векторного контура в направлении известных сил. Применяя это правило к построенному плану сил, находят, что направления векторов и определены верно.

Направление силы , принятое на схеме группы, не подтвердилось. Не следует, однако, перерисовывать эту силу, т. к. составленные выше уравнения равновесия перестанут соответствовать схеме сил и это затруднит поиск ошибок, если они возникнут.

Расстояние можно определить только из суммы моментов. Сумма моментов относительно точки Е имеет вид

Отсюда: . В данном случае получается положительным, что подтверждает принятое положение точки Т относительно Е. Отрицательный ответ означал бы, что точка Т расположена слева от Е.

Внутренняя реакция равна и противоположна . Последняя известна. На этом расчёт группы 4, 5 закончен.

Расчёт группы 2, 3

Внешними силами данной группы являются и (рис. 6.2, г). Реакция равна и противоположна уже известной – см. вид в). Чтобы подчеркнуть, что на данном этапе не является искомой, её изображают сплошной линией. Положение точки Е на виде г) определяют по виду а).

Реакции в шарнирах В и D представляют в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих, направленных вдоль и поперёк соответствующего звена. Продольную составляющую называют нормальной, поперечную – тангенциальной.

Силы инерции представляют в безмоментной форме. При этом проходит через некоторую точку , а представляют парой
, , найденной как .

На начало расчёта имеются четыре неизвестных: , , , . Сначала определяют тангенциальные составляющие. Для этого используют уравнения моментов относительно точки С. Для сил, действующих на звено 2, уравнение моментов имеет вид

.

Буквой h с соответствующим индексом обозначены плечи сил. Их значения снимают с чертежа. Чтобы не перегружать рисунок, плечи не показаны. Из уравнения моментов находят реакцию . Если она получится со знаком «минус», то это значит, что истинное направление данной реакции противоположно показанному на рисунке. Чтобы это не забылось, на реакции ставят какую-нибудь метку, например крестик.

Для сил, действующих на звено 3, уравнение моментов относительно точки С имеет вид

Отсюда находят .Нормальные составляющие находят из геометрической суммы сил, действующих на группу в целом. Сначала перечисляют силы, действующие на звено 3, затем на звено 2. Можно и наоборот. Неизвестные оставляют на конец уравнения. Необходимо позаботиться также о том, чтобы нормальные и тангенциальные составляющие реакции одного и того же звена оказались на будущем плане сил рядом. С учётом всех этих рекомендаций получают:

С помощью плана сил (рис. 6.2, д) находят реакции , . Складывая геометрически и , находят равнодействующую . Равнодействующую не показывают, чтобы не усложнять рисунок. Внутреннюю реакцию или, наоборот, находят из геометрической суммы сил, действующих соответственно на звено 3 или 2. Останавливаясь на звене 3, получают:

С помощью этого уравнения определяют . Однако для этого не обязательно строить ещё один план сил. Как отмечено выше, в предыдущем уравнении сначала перечисляются силы, действующие только на звено 3, затем только на звено 2. Замыкая цепь сил, действующих на звено 3, получают вектор . На этом расчёт группы 2, 3 закончен.

Расчёт начального механизма

Из трёх категорий сил, которые необходимо приложить к звену 1, показывают сначала реакцию (рис. 6.2, е). Она равна и противоположна реакции , найденной выше. Движущий момент предста