Группа Ассура с внешней поступательной парой

На рис. 3.9, а эту группу образуют звенья 4, 5. Чтобы не повторяться, движение звеньев 1, 2, 3 предшествующего механизма считается известным. Задача состоит в определении скорости и ускорения только точки .

A

B

C

D

F

E

1

4

5

3

2

w1,e1

x2

y2

x

y

а)

0

p

e

f2

f

p

e

w2

f2

б)

в)

f

n

k

Рис. 3.9. Построение плана скоростей и плана ускорений
для двухзвенной группы Ассура с внешней поступательной парой

Определение скорости точки . Для решения задачи вводят систему координат , движущуюся поступательно, и систему , неизменно связанную со звеном 2 предшествующего механизма. Первую из этих систем считают несущей для звена 4, вторую – несущей для звена 5. Из вытекающих отсюда разложений движения составляют уравнения:

(3.5)

До сих пор при составлении уравнений не было необходимости в указании номера звена, к которому относится та или иная точка, т. к. подразумевались шарнирные точки или просто шарниры. Теперь же этого недостаточно, и – это скорость шарнира , объединяющего точки , , а – скорость только точки , отмеченной на звене 2 и неизменно связанной с ним. Соответственно, есть скорость точки относительно звена 2.

Переносные скорости и в приведённой выше системе уравнений известны из предполагаемого анализа предшествующего механизма. Относительные скорости известны своими линиями действия, а именно: , . Всего этого достаточно, чтобы решить систему. Результат показан на рис. 3.9, б.

Определение ускорения точки . Из тех же разложений движения, что и в случае скоростей, следует:

(3.6)

Переносные ускорения и известны из предполагаемого анализа предшествующего механизма. Нормальную составляющую вычисляют по формуле . Входящую сюда скорость берут из плана скоростей. Тангенциальная составляющая перпендикулярна , величина её неизвестна.

Ускорение точки относительно звена 2 параллельно , величина его также неизвестна. Ускорение Кориолиса вычисляют по формуле . Входящая сюда скорость предполагается известной из анализа предшествующего механизма. Скорость берут из плана скоростей, её изображает вектор . Направление ускорения Кориолиса получают поворотом вектора на ° в сторону скорости . Таким образом, ускорение известно и по величине, и по направлению. На рисунке его изображает вектор .

Перед решением системы уравнений ускорение переставляют на последнее место, т. к. оно известно только линией действия. На пересечении линий действия последних слагаемых получают конец f ускорения (рис. 3.9, в).

Рассмотренный общий случай анализа цепи 4, 5 распадается на два частных. В первом случае (рис.3.10, а) эта цепь приводится
в движение слева, во втором (рис. 3.10, б) – справа. Круговой стрелкой на обеих схемах отмечено звено с заданным движением.

A

F

E

1

4

5

2

w1,e1

x

y

а)

б)

A

F

E

1

4

5

2

w2,e2

Рис. 3.10. Частные случаи присоединения цепи 4, 5

При определении скоростей в первом случае из системы (3.5) выпадает нижнее уравнение, во втором – верхнее. При определении ускорений в первом случае из системы (3.6) выпадает также нижнее уравнение, во втором – выпадает только ускорение . Решение упростившихся уравнений не составляет труда, поэтому далее не рассматривается.

Метод кинематических диаграмм

Построение диаграмм

Этот метод применяют, когда интерес представляет положение и движение только выходного звена механизма. Пусть этим звеном является ползун 3 кривошипно-ползунного механизма, изображённого на рис. 3.11, а. Схема механизма вычерчена в масштабе. Положение ползуна характеризует координата . Её отсчитывают от одного из крайних положений этого звена, обычно – от наиболее удалённого от точки . Именно это и принято на рисунке. В крайнем положении кривошип 1 и шатун 2 вытягиваются в одну прямую . При этом , где и – длины звеньев 1, 2.

принимают за начало отсчёта координаты . Этой координате придают ряд равноотстоящих значений в диапазоне от нуля до . Для каждого строят схему механизма, отмечая и нумеруя положения точек и . По положениям точки находят координату .

A

C

s,v,a

1

3

2

j,w,e

а)

B

C0

B0

l0

s

j

j

j

s¢

s²

б)

t

A

p

Рис. 3.11. Кинематические диаграммы
кривошипно-ползунного механизма

Каждую пару значений координат и откладывают по заранее заготовленным осям графика (рис. 3.11, б). Масштабные пересчёты делают руководствуясь формулой (3.1). Зависимость координаты выходного звена от координаты входного, в данном случае зависимость , называют функцией положения механизма.

Двукратным дифференцированием получают графики и . Принципиально точным является дифференцирование методом касательных. Согласно этому методу в точке дифференцирования, например , проводят касательную (рис. 3.11, б).

Из произвольной точки , лежащей на оси следующего графика, проводят луч, параллельный касательной. Отрезок, отсекаемый лучом на оси , изображает в некотором масштабе производную в точке . Продолжая дифференцирование, из той же точки проводят лучи, параллельные другим касательным к кривой , и получают прочие значения первой производной.

При построении графика второй производной касательные проводят к графику первой производной. По завершении построений определяют масштабы, на которых не останавливаемся.

С помощью производных определяют скорость и ускорение ползуна для любого . Скорость есть производная от координаты по времени : . Координата зависит от , а от : . По правилам дифференцирования сложных функций получают . Поскольку , то скорость ползуна

. (3.7)

Ускорение есть производная по времени от скорости. Как показывает формула (3.7), скорость представляет собой произведение двух переменных – и , причём, есть известная функция угла (см. рис. 3.11, б), а , как и прежде, некоторая функция .
С учётом всего этого . Производная есть ускорение кулачка . В итоге, ускорение ползуна

. (3.8)

Используя компактные формы обозначения производных, формулы (3.7), (3.8) представляют в виде:

; .

Эти формулы применимы не только к рычажным механизмам, но также к кулачковым и даже зубчатым механизмам. Важно лишь, чтобы движение на входе у них было вращательное, а на выходе поступательное.