На рис. 3.9, а эту группу образуют звенья 4, 5. Чтобы не повторяться, движение звеньев 1, 2, 3 предшествующего механизма считается известным. Задача состоит в определении скорости и ускорения только точки
.
Рис. 3.9. Построение плана скоростей и плана ускорений
для двухзвенной группы Ассура с внешней поступательной парой
Определение скорости точки
. Для решения задачи вводят систему координат
, движущуюся поступательно, и систему
, неизменно связанную со звеном 2 предшествующего механизма. Первую из этих систем считают несущей для звена 4, вторую – несущей для звена 5. Из вытекающих отсюда разложений движения составляют уравнения:
(3.5)
До сих пор при составлении уравнений не было необходимости в указании номера звена, к которому относится та или иная точка, т. к. подразумевались шарнирные точки или просто шарниры. Теперь же этого недостаточно, и
– это скорость шарнира
, объединяющего точки
,
, а
– скорость только точки
, отмеченной на звене 2 и неизменно связанной с ним. Соответственно,
есть скорость точки
относительно звена 2.
Переносные скорости
и
в приведённой выше системе уравнений известны из предполагаемого анализа предшествующего механизма. Относительные скорости известны своими линиями действия, а именно:
,
. Всего этого достаточно, чтобы решить систему. Результат показан на рис. 3.9, б.
Определение ускорения точки
. Из тех же разложений движения, что и в случае скоростей, следует:
(3.6)
Переносные ускорения
и
известны из предполагаемого анализа предшествующего механизма. Нормальную составляющую вычисляют по формуле
. Входящую сюда скорость
берут из плана скоростей. Тангенциальная составляющая
перпендикулярна
, величина её неизвестна.
Ускорение
точки
относительно звена 2 параллельно
, величина его также неизвестна. Ускорение Кориолиса вычисляют по формуле
. Входящая сюда скорость
предполагается известной из анализа предшествующего механизма. Скорость
берут из плана скоростей, её изображает вектор
. Направление ускорения Кориолиса получают поворотом вектора
на
° в сторону скорости
. Таким образом, ускорение
известно и по величине, и по направлению. На рисунке его изображает вектор
.
Перед решением системы уравнений ускорение
переставляют на последнее место, т. к. оно известно только линией действия. На пересечении линий действия последних слагаемых получают конец f ускорения
(рис. 3.9, в).
Рассмотренный общий случай анализа цепи 4, 5 распадается на два частных. В первом случае (рис.3.10, а) эта цепь приводится
в движение слева, во втором (рис. 3.10, б) – справа. Круговой стрелкой на обеих схемах отмечено звено с заданным движением.
Рис. 3.10. Частные случаи присоединения цепи 4, 5
При определении скоростей в первом случае из системы (3.5) выпадает нижнее уравнение, во втором – верхнее. При определении ускорений в первом случае из системы (3.6) выпадает также нижнее уравнение, во втором – выпадает только ускорение
. Решение упростившихся уравнений не составляет труда, поэтому далее не рассматривается.
Метод кинематических диаграмм
Построение диаграмм
Этот метод применяют, когда интерес представляет положение и движение только выходного звена механизма. Пусть этим звеном является ползун 3 кривошипно-ползунного механизма, изображённого на рис. 3.11, а. Схема механизма вычерчена в масштабе. Положение ползуна характеризует координата
. Её отсчитывают от одного из крайних положений этого звена, обычно – от наиболее удалённого от точки
. Именно это и принято на рисунке. В крайнем положении кривошип 1 и шатун 2 вытягиваются в одну прямую
. При этом
, где
и
– длины звеньев 1, 2.
принимают за начало отсчёта координаты
. Этой координате придают ряд равноотстоящих значений в диапазоне от нуля до
. Для каждого
строят схему механизма, отмечая и нумеруя положения точек
и
. По положениям точки
находят координату
.
Рис. 3.11. Кинематические диаграммы
кривошипно-ползунного механизма
Каждую пару значений координат
и
откладывают по заранее заготовленным осям графика
(рис. 3.11, б). Масштабные пересчёты делают руководствуясь формулой (3.1). Зависимость координаты выходного звена от координаты входного, в данном случае зависимость
, называют функцией положения механизма.
Двукратным дифференцированием получают графики
и
. Принципиально точным является дифференцирование методом касательных. Согласно этому методу в точке дифференцирования, например
, проводят касательную
(рис. 3.11, б).
Из произвольной точки
, лежащей на оси
следующего графика, проводят луч, параллельный касательной. Отрезок, отсекаемый лучом на оси
, изображает в некотором масштабе производную в точке
. Продолжая дифференцирование, из той же точки
проводят лучи, параллельные другим касательным к кривой
, и получают прочие значения первой производной.
При построении графика второй производной касательные проводят к графику первой производной. По завершении построений определяют масштабы, на которых не останавливаемся.
С помощью производных определяют скорость и ускорение ползуна для любого
. Скорость
есть производная от координаты
по времени
:
. Координата
зависит от
, а
от
:
. По правилам дифференцирования сложных функций получают
. Поскольку
, то скорость ползуна
. (3.7)
Ускорение есть производная по времени от скорости. Как показывает формула (3.7), скорость представляет собой произведение двух переменных –
и
, причём,
есть известная функция угла
(см. рис. 3.11, б), а
, как и прежде, некоторая функция
.
С учётом всего этого
. Производная
есть ускорение кулачка
. В итоге, ускорение ползуна
. (3.8)
Используя компактные формы обозначения производных, формулы (3.7), (3.8) представляют в виде:
;
.
Эти формулы применимы не только к рычажным механизмам, но также к кулачковым и даже зубчатым механизмам. Важно лишь, чтобы движение на входе у них было вращательное, а на выходе поступательное.