Скорость по диаграмме Ф. Виттенбауэра

Рис. 7.3. Диаграмма Виттенбауэра

Решение рассмотренной задачи обретает новые свойства, если воспользоваться диаграммой, предложенной в начале прошлого столетия немецким учёным Фердинандом Виттенбауэром. Диаграмма Виттенбауэра представляет собой зависимость кинетической энергии от приведённого момента инерции . Диаграмма строится по графикам и . Для этого при каждом замеряют , и откладывают замеренное по одноимённым осям диаграммы (рис. 7.3).

Каждую точку диаграммы нумеруют соответственно разбивке оси исходных графиков. Точки 0 и соответствуют началу и концу всего периода работы машины. Режиму установившегося движения соответствует замкнутый участок диаграммы. Текущая точка диаграммы пробегает по этому участку столько раз, сколько циклов содержит установившееся движение. Глядя на диаграмму, не следует думать, что кинетическая энергия зависит от приведённого момента инерции физически. Диаграмма всего лишь объединяет два графика в один.

Пусть , есть масштабные коэффициенты по осям диаграммы Виттенбауэра, – угол радиус-вектора текущей точки диаграммы. Тогда согласно формуле (5.1), в точке скорость звена приведения

. (7.2)

Как показывает формула, скорость изменяется соответственно углу . Например, если , то и ; если растёт, то и растёт. Следя за углом, можно предсказать поведение скорости, не производя вычислений. В этом состоит достоинство диаграммы Виттенбауэра.

Дифференциальное уравнение движения машины

Пусть механизм машины имеет одну степень свободы и звено приведения совершает вращательное движение. Тогда динамическая модель машины будет иметь вид, показанный на рис. 7.4.

Согласно известной теореме, приращение кинетической энергии машины равно приращению работы внешних сил: .

Приращение работы . С учётом этого, . Отсюда: .

Рис. 7.4. Динамическая одномассовая модель механизма

Отношение к можно рассматривать как производную от кинетической энергии по углу поворота звена приведения. Кинетическая энергия . Дифференцируя по правую часть выражения момента, получают: . Произведение приводимо к более простому и понятному виду:

.

После подстановки в исходное выражение формула приведённого момента принимает вид:

. (7.3)

Это и есть дифференциальное уравнение движения машины. Оно проще, чем уравнения Лагранжа второго рода, но применимо к механизмам только с одной степенью свободы. Интегрированием дифференциального уравнения находят закон движения машины.

Подбор маховика

Как уже отмечалось, при установившемся движении диаграмма Виттенбауэра имеет вид замкнутой кривой (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Диаграмма Виттенбауэра при установившемся движении

Рис. 7.6. Скорость звена приведения при установившемся движении

Переходя от одной точки диаграммы к другой и следя за углом радиус-вектора, находят, что звено приведения вращается неравномерно, его скорость периодически меняется, колеблясь около некоторого среднего значения (рис. 7.6).

Индекс происходит от английского и означает – среднее. Экстремальным скоростям , соответствуют экстремальные углы , радиус-вектора. При экстремальных углах радиус-вектор становится касательным к диаграмме Виттенбауэра. Проводя касательные и замеряя углы их наклона, находят экстремальные скорости , . Как следует из формулы (7.2),

. (7.4)

Верхние индексы – для , нижние – для . Степень неравномерности вращения звена приведения оценивают коэффициентом неравномерности

, (7.5)

где среднюю скорость вычисляют упрощённо, а именно как среднее арифметическое:

. (7.6)

Пусть у исследуемой машины неравномерность вращения звена приведения оказалась больше, чем требуется, т. е. , где – требуемый коэффициент неравномерности. Тогда из формул (7.5), (7.6) выводят требуемые экстремумы скорости

.

Затем из (7.4) выводят и вычисляют требуемые углы касательных

.

Проводя касательные под требуемыми углами, находят, что начало координат должно переместиться из точки 0 в точку 0^¢. При этом приведённый момент инерции и кинетическая энергия машины должны возрасти на некоторую величину. Увеличение момента инерции обеспечивают путём установки на вал звена приведения массивного диска, называемого маховиком. Момент инерции маховика

.

На рис. 7.7 показан кривошипный механизм с маховиком 1, установленным на валу кривошипа. Кривая 2 показывает скорость кривошипа до установки маховика, кривая 3 – после. Как видим, после установки размах колебаний скорости становится меньше.

Рис. 7.7. Влияние маховика на неравномерность вращения кривошипа