Логика и «математическая логика»

 

Как было сказано, не может быть более одной логики. Но выраже­ние «математическая» логика указывает на то, что возможна еще и другая логика. Выражения «математическая», «формальная», «диалектическая» указывают на необходимость многих логик, что невозможно. Поэтому следует употреблять слово «логика» без всякого добавления. Мы добав­ляем к логике выражение «диалектическая» только с целью различения ее от логики «формальной», но на самом деле лучше употреблять просто выражение «логика».

Логика не может быть «математической», поскольку математические методы не являются существенными и всеобщими для всех наук, в про­тивном случае, все науки в конечном счете превратились бы в математи­ку. Правда, все предметы имеют количественную сторону, поэтому мате­матическое и может быть общим для многих, но, вместе с тем, ведь и качество является общим для многих предметов; сведение качества к ко­личеству невозможно, поскольку признание только количества является признанием качества Количества. Определенное бытие количества уже есть его качество; таковы мера, сущность и другие категории. Предмет опре­деляет метод, а не наоборот; предмет логики определен ее методом. Мате­матические методы являются соответствующими предмету математики методами.

Об отношении логики и «математической логики» здесь мы в общих чертах укажем на то, что в последующем будет рассмотрено более подробно. Логика есть и должна быть наукой о категориях логики — наипервей­ших, наиболее общих основаниях и средствах мышления и знания вооб­ще, а математическая логика опирается на сосуществование и последова­тельность; в ней имеют существенное значение временные и пространст­венные отношения, математические отношения предметов[8]. Именно поэтому и говорят, что аксиоматический метод основывается на философской уста­новке Канта о том, что логическое основано на нелогическом — на чув­ственной интуиции[9], т.е. на «транцендентальной эстетике» (учение о времени и пространстве) Канта. Поэтому и подчеркивают, что ма­тематическая логика имеет эстетический характер и представляет собой применение некоторых положений логики как «канона»[10]. Конструктивная математическая логика тоже непосредственно опирается на нелогическую природу времени и пространства, на интуицию времени и пространства.

Именно математический предмет и определяет основные методы и понятия математической логики, например, аксиоматический метод и по­нятия функции и переменного. Необходимость функционального отноше­ния является специфической для математики, она не есть необходимость отношения основания-следствия, т.е. логическая необходимость. Для ло­гического не характерно также и понятие переменного. Понятие перемен­ного есть специфическое и основное понятие математики (как это и выяс­нится ниже). Именно понятие переменного и дает возможность для приме­нения такого математико-механического метода, каковым является правило подстановки, применение чего в математической логике придает доказа­тельству характер механического процесса (например, при решении проб­лемы разрешимости).

Именно математический предмет и определяет математическую логи­ку, как символическую логику. В математической логике, вместо всеобщ­ности, применяются условные знаки и схемы, тогда как в логике, разви­тую форму которой представляет диалектическая логика, наиболее общими понятиями и связями являются категории логического и их взаимо­связи.

Применение в математической логике modus ponens в виде металоги­ческого правила означает, что здесь заранее подразумевается логика, как таковая; это обстоятельство подтверждается и тем, что модусы первой фигуры категорического силлогизма принимаются за аксиомы и содержа­ние логики сводят к редукции других модусов к этим аксиомам (Лукасевич). Это значит, что математическая логика есть применение логики в определенной, а именно, в математической сфере; математическая логика — прикладная логика, где основные понятия логики (понятие, суждение, умозаключение, доказательство) принимают совершенно своеобразный ха­рактер (об этом ниже); вместо отношения основания и следствия берут­ся импликации, вместо суждения — предложения, вместо понятия — про­позициональные функции; доказательство понимается как последователь­ность формул, которая строится в соответствии с металогическими пра­вилами и не является внутренним следованием. Из природы аксиом, без метаправил, ничего не выводится; а применение правил подстановки и modus ponens придает последовательности формул характер механическо­го процесса.

Математическая логика не занимается исследованием понятия, суж­дения и умозаключения как форм мышления; для нее это непонятно[11]. Она в основном изучает временные и пространственные отношения, например, отношение симметричности, что якобы было непонятно для старой логи­ки[12]. В действительности симметричностью характеризуются сами предме­ты, которые не изучаются логикой. Поэтому она будет оставаться «непо­нятной» для логики. Провозглашение предметом логики предметных от­ношений не только не расширяет сферу логики, как это думают предста­вители математической логики, а наоборот, в конечном счете, упраздняет ее.

Как это будет выяснено в последующем, невозможна формализация философской логики. Математическая логика, как аксиоматическая и фор­мализованная наука, представляет специальную, именно, математическую науку; аксиомы, как недоказуемые положения (здесь подразумеваются как аксиомы, так и метаправила математической логики; обе группы положе­ний являются недоказуемыми и в общем логическом смысле аксиомами) непригодны в качестве исходных положений философской логики. Ввести в доказательство недоказанное или базировать доказательство на недока­занном, разумеется, логически неоправданно и несостоятельно. В строгом смысле, в математической логике изучается не общий логический метод, а «логистический метод»[13] (об этом ниже).

Но главное, что характерно как для традиционной (начиная с Ари­стотеля), так и для математической логики, состоит в том, что как пер­вая, так и вторая признают только однозначность понятий и не понима­ют двузначности, например, того, что отрицательное имеет и положитель­ное значение и т.д.[14]. То, что было непреодолимым в старой логике, преодолено и решено в диалектической логике.

Наука, которая пользуется недоказанным, может быть только част­ной дисциплиной, поскольку ее основания должны быть рассмотрены в другой науке, именно в философии. Все частные науки применяют такие категории и законы, которые изучаются только в философии. Такова и математическая логика, как специальная математическая наука, которая имеет колоссальное техническое применение (философия имеет очень большое практическое, но не техническое применение. Техническое не тождест­венно с практическим).

«Математическая логика» опирается на законы общей логики, но при­рода этих законов не изучается в ней. Можно сказать еще больше; Лукасевич поставил перед собой задачу аксиоматизации аристотелевской ло­гики; он принял модусы первой фигуры категорического силлогизма за аксиомы, тогда как главным для Аристотеля было именно выяснение при­роды этих модусов. В «математической логике» (как и в других специаль­ных науках) не рассматривается ни одна философская категория, тогда как без применения философских категорий она (как и другие частные науки) теряет всякий смысл.

То, что математическая логика — специальная, нефилософская наука, признают и специалисты этой науки. Повод для обоснования логики пос­редством аксиом дал Аристотель, но «Органон» самого Аристотеля (в осо­бенности «Вторая аналитика») представляет собой неформализуемую тео­рию знания (поэтому и необходимо развитие ее в этом направлении).

Математическая логика, как было сказано, опирается ца философ­ские категории (например, на категории существования, общего и т.п.), но эти категории остаются за ее пределами, тогда как диалектическая ло­гика, первым долгом, является логикой категорий. Невозможно ввести категории в математическую логику, поскольку, как известно, невозмож­на формализация категорий.

Невозможна формализация и аксиоматизация логики, поскольку не­возможно, чтобы логика имела выходящие за ее пределы логические пред­посылки. Всякая логическая предпосылка возможна только внутри самой логики; она должна находиться в ней с необходимостью, в противном случае, разрушилась бы единая логика, т.е. именно логика как таковая (ниже специально будет рассмотрена невозможность аксиоматизации ло­гики).

Сведение логики к исчислению, что имеет место в математической ло­гике, является заблуждением, поскольку исчисление имеет механический характер, а логическое имеет совершенно другую природу. Гегель справедливо указывал на то, что в логике машинное мышление так же, как и мышление невежды, является несчастьем. Сведение логики к исчисле­нию упраздняет логическое, упраздняет природу понятия. Ошибку в ис­числении нельзя отождествлять с логической ошибкой. Символы имеют смысл только тогда, когда мы понимаем то, что обозначается этими сим­волами и когда мы понимаем сами символы; поэтому символ только нечто вторичное и он не может заменить существенного — первичного.

Следовательно, «математическая логика» не является логикой, кото­рая представляет собой философскую науку.