Квантовые состояния и уравнение Шредингера

 

Так как частицы проявляют волновые свойства, хотя в строгом понимании волной не являются, то оказывается невозможным охарактеризовать эти свойства с помощью уравнений классической механики. Шредингер (1925г.), анализируя поведение частиц с позиций квантовой механики, пришел к выводу, что положение частицы в данный момент времени можно определить с помощью волновой функции . Статистический смысл волновой Ψ - функции состоит в том, что она определяет вероятность ω того, что частица находится в области Δх при одномерном ее движении вдоль оси х. Вероятность ω пропорциональна:

(5.21)

Такой подход хорошо согласуется с волновыми свойствами частиц и с соотношением неопределенностей (5.19). Основное (временное) уравнение Шредингера (при V<<с):

, (5.22)

где m-масса частицы; ; ;

Δ -оператор Лапласа;

U -потенциальная энергия частицы.

Для стационарного состояния частицы, движущейся со скоростью V<<с вдоль оси х:

(5.23)

где m -масса частицы; Е - полная энергия; U=U(х) -потенциальная энергия частицы;

Ψ(х) -волновая функция, описывающая состояние частицы.

Если частица свободная, то U(х) в уравнении (5.23) равна нулю. Если частица находится в определенном энергетическом состоянии с энергией Е=const, то вероятность ω ее обнаружить в области Δх или в объеме ΔV не зависит от времени. Это состояние частицы называется стационарным состоянием. Атом в таком состоянии не излучает энергии.

Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме (ящике). Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия U частицы меньше, чем U за ее пределами. Пусть яма будет бесконечно глубокой (рис.5.4). Ширина ямы L. Частица свободная U=0.

 

 

Рис.5.4

 

Условия: при х<0 U= ∞; 0<x<L U=0; x>L U= ∞

Уравнение Шредингера для движения частицы вдоль оси х

Обозначив через ω² перепишем уравнение

Решением его будет . Исследуем его.

При х = 0 , т.е. вероятность нахождения частицы за пределами х£0 равна 0 и α = 0.

При х=L -вероятность нахождения частицы справа от ямы равна 0. Ψ(L) = 0, если (n=1, 2, 3,…). Из этого следует, что решение уравнения (5.23) будет иметь место лишь при определенных значениях . Иначе говоря, энергия частицы в потенциальной яме квантуется. Полагая разные значения n, получим энергетические уровни частицы в яме (ящике).

(n=1, 2, 3,…) (5.24)

Соответствующие значения n называются квантовыми числами.

Определим интервал между энергетическими уровнями:

Найдем, для примера электрона в атоме (, ) n эВ. Сравним с кинетической тепловой энергией электрона эВ (в атоме ).

Функции , удовлетворяющие уравнению (5.23), называются нормированными собственными функциями . Для нахождения воспользуемся условием нормировки:

- частица с вероятностью ω=1 находится в ящике (яме)

Среднее значение , умножим на ширину ящика L, тогда откуда .

Нормированная собственная волновая функция для нашего случая частицы в ящике (яме):

(5.25)

 

Подставляя (5.25) в уравнение (5.21), находим вероятность w нахождения частицы в яме или энергетические уровни по (5.24). График нормированной функции y представлен на рис.5.5, а, а график вероятности нахождения частицы в пределах 0<х<L на рис.5.5, б (здесь y^* - комплексно сопряженная функция с y).

 

 

Рис.5.5

 

Из графика 5.5, б следует, что частица при квантовом числе n=1 имеет больше вероятности находится в середине ящика, при n=2 равновероятно находиться как в правой так и в левой части ящика и т.д.

Рассмотрим еще один пример, показывающий различие в поведении частицы при рассмотрении с позиций квантовой и классической механики. Пусть частица находится в силовом поле и на ее пути потенциальный барьер высотой U (рис.5.6). Если частица имеет

 

 

 

Рис.5.6.

 

полную энергию Е<U меньше высоты барьера, то с классической точки зрения она не может преодолеть барьер (пройти через область II). С позиций квантовой механики она это способна сделать. Неопределенность энергии ΔЕ (см.5.20) частицы может привести к «просачиванию» частицы через барьер, когда изменение кинетической энергии может стать

ΔЕ_к >U – E

Волновая функция и в области II ψ ¹0.

Таким образом, частицу можно обнаружить в запрещенной для нее с классической точки зрения области (часть частиц отражается от барьера, часть проходит, что подобно тому как свет проходит через границу двух сред). Прохождение частиц сквозь потенциальные барьеры называется туннельным эффектом, а любой барьер характеризуется соответствующим коэффициентом прозрачности.

Туннельный эффект играет заметную роль при радиоактивном распаде (излучение a - частиц ядрами), холодной эмиссии электронов из металлов и др.

Частица с массой m, которая колеблется с собственной частотой w₀ вдоль оси х в яме под действием квазиупругой силы F = -kx, называется линейным (одномерным) гармоническим осциллятором.

Атом

 

Как было показано выше, энергия частицы в потенциальном поле принимает дискретные значения, кратные квантовому числу n (см.5.24). Дискретность энергетических уровней в атоме была подтверждена опытами Франка и Герца (рис.5.7).

 

 

а)

 

Рис.5.7

 

Трубка заполнялась разряженными парами ртути ~ 1 мм рт. ст. На сетку подавалось задерживающее напряжение ~0,5 В. Снималась зависимость анодного тока I_а от напряжения между катодом К и анодом А. Ход кривой на рис.5.7, б объясняется следующим. Электроны в трубке могут испытывать с атомами ртути упругие или неупругие столкновения. При неупругих столкновениях электрон отдает часть своей энергии атому ртути и, будучи «ослабленным», он захватывается сеткой (ток I_а продолжает спадать). Затем при Е_к > 5,4 эВ ток начинает расти. В дальнейшем электрон с большей энергией может испытывать по несколько неупругих столкновений с атомами, отдавая им ΔЕ, равные 4,9; 9,8; 14,7 эВ и т.д. энергии. Таким образом, было доказано, что атомы могут поглощать не любую энергию, а определенными порциями, т.е. было доказано существование в атомах дискретных энергетических уровней. Точно также они могут излучать энергию определенными порциями, о чем свидетельствует линейчатые спектры газов.