Вопрос 31: Уравнение Шредингера.

Э. Шредингер (1926) постулировал фундаментальное соотношение – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, справедливость которого (как и всяких постулатов) подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов. Уравнение Шредингера – нерелятивистское уравнение относительно основной характеристики состояния микрообъектов – волновой функции ψ(r,t) – и имеет вид

, (79)

где ħ = h/(2π), m – масса частицы, Δ – оператор Лапласа , i – мнимая единица, U (r,t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором частица движется. Это уравнение называют временным уравнением Шредингера. Если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U (r) не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии, то решение уравнения (79) можно искать в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая – только времени: ψ(r,t) = ψ(r)·φ(t) (80)

Подставив функцию (80) в уравнение Шредингера (79) и разделив левую и правую части на произведение ψ(r)·φ(t), получим

(81)

Так как левая часть уравнения (81) зависит только от r, а правая – только от t, то их можно приравнять одной и той же постоянной разделения, в качестве которой, как можно показать, можно выбрать Е – полную энергию частицы. Таким образом,

(82)

(83)

Уравнение (82) называют стационарным уравнением Шредингера. Его обычно записывают в более удобном виде:

(84)

Явный вид стационарного уравнения Шредингера определяется конкретной зависимостью U (r).

Решая уравнение (83), получаем, что , (85)

где С – произвольная постоянная. Подставляя (85) в (80), видим, что в случае стационарного силового поля состояние частицы описывается волновой функцией

[постоянная С включена в функцию ψ(r) ], откуда следует, что стационарность состояния не исключает зависимости волновой функции от времени, а только ограничивает ее гармоническим законом . В стационарном состоянии плотность вероятности выражается только через ψ(r) и не зависит от времени. Общепринято ψ(r) также называть волновой функцией, хотя она является только координатной (амплитудной) частью волновой функции ψ(r,t) стационарного состояния. Временное уравнение Шредингера имеет вид [см. (79)]

, (102)

где ψ = ψ(x,y,z,t). С учетом того, что гамильтониан , уравнение (102) примет вид (103)

– уравнение Шредингера в операторной форме Подставив в стационарное уравнение Шредингера

оператор полной энергии [см. (101)] ,

получим стационарное уравнение Шредингера в операторной форме: (104)

 

Вопрос 29: Принцип неопределенности Гейзенберга.

Во многих случаях классические представления неприменимы для описания микрообъектов. В. Гейзенберг (1927) выдвинул идею о принципиальной невозможности измерения определенных пар связанных между собой характеристик частицы так, чтобы они одновременно имели точные значения. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно точных значений координаты (х, у, z) и компонентов импульса (р_х, p_y, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условию

Δx·Δp_x ≥ ħ,

Δy·Δp_y ≥ ħ, (74)

Δz·Δp_z ≥ ħ,

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка ħ. Следовательно, чем меньше неопределенность одной из величин (х, у, z или р_х, р_у, p_z), тем больше неопределенность другой. В квантовой теории важна еще одна пара канонически сопряженных величин, для которой соотношение неопределенностей (соотношение неопределенностей для энергии и времени) имеет вид

ΔEΔt ≥ ħ, (75)

где ΔЕ – неопределенность энергии некоторого состояния системы, Δt – промежуток времени, в течение которого оно существует. Поэтому если в классической механике наличие координат и импульсов (скоростей) системы точно задает ее поведение во времени и пространстве, то предсказание поведения квантовой системы должно носить вероятностный характер.

 

Вопрос 28: Волны Де Бройля.

Луи де Бройль в 1924 г. постулировал, что корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер и распространяется не только на световые корпускулы (фотоны), но и на все частицы материи: частицы вещества (в частности, электроны) наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами. Количественные соотношения, связывающие корпускулярные (энергия и импульс) и волновые [частота (длина волны)] характеристики микрочастиц, такие же, как для фотона:

E = hv = ħω, p = h/λ = ħk, где k = 2π/λ – волновое число, а ħ = h/2π – постоянная Планка.

Длина волны, связанная с частицей, , (71)

где р – импульс частицы, λ называется длиной волны де Бройля.

Для нерелятивистской частицы длина волны де Бройля , где т₀ – масса покоя частицы. Если Т – кинетическая энергия частицы [ Т=р²/(2т) ], то (71)

Для релятивистской частицы длина волны де Бройля

(в данном случае ). Выразив с помощью соотношения импульс частицы р через ее полную энергию Е, найдем

Если Т – кинетическая энергия частицы, то Е = Т + т₀с².

Тогда .

Гипотеза де-Бройля была блестяще подтверждена экспериментально. Дэвиссон и Джермер обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от кристаллической пластинки, дает дифракционную картину. Томсон и независимо от него Тартаковский получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу. Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств микрочастиц привело к выводу о том, что мы имеем дело с универсальным явлением – общим свойством материи Простейшей волной с частотой ω и волновым вектором k является плоская монохроматическая волна

, (72)

где А – постоянная амплитуда волны, k – волновой вектор (его направление совпадает с направлением распространения волны, а модуль равен 2π/λ).

Согласно корпускулярно-волновому дуализму материи, ω = E/ħ и р = ħk. Учитывая эти соотношения и выражение (72), видим, что с движением частицы, имеющей определенные энергию и импульс, связывается волна вида ,

называемая плоской волной де Бройля.

 

Вопрос 27: Эффект Комптона.

Эффект Комптона – упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и γ – излучений) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны.

Разность Δλ = λ' - λ (комптоновскип сдвиг) не зависит от длины волны λ падающего излучения и от природы рассеивающего вещества, а зависит только от угла θ между направлениями рассеянного и первичного излучений: , (68)

где λ_c = h/(m_oc) – комптоновская длина волны электрона [ т₀ – масса покоя электрона, λ_c = 2,42631058·10^-12 м].

Рис. 59

Уменьшение энергии фотона означает увеличение длины волны рассеянного излучения. При каждом таком столкновении выполняются законы:

закон сохранения импульса p = p' + p

или, используя теорему косинусов, (69)

закон сохранения энергии W₀ + E = W + E', (70)

где p = hv/c, p' = hv'/c, W_o = m_oc² – энергия электрона до столкно­вения (m₀ – масса покоя электрона), E = hv – энергия налета­ющего фотона, – энергия электрона после сто­лкновения E ' = hv' – энергия рассеянного фотона.

 

Вопрос 26: Фотоэффект.

Фотоэффект – явление, подтверждающее гипотезу фотонов. Различают фотоэффект внешний, внутренний и вентильный. Внешним фотоэффектом (фотоэффектом) называют испускание электронов веществом (металлом, полупроводником, диэлектриком) под действием электромагнитного излучения. Внутренний фотоэффект – это вызванные электромагнитным излучением переходы электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связанных состояний в свободные без вылета наружу. Разновидностью внутреннего фотоэффекта является вентильный фотоэффект – возникновение э.д.с. (фото-э.д.с.) при освещении контакта двух разных полупроводников или полупроводника и металла (при отсутствии внешнего электрического поля). Вентильный фотоэффект открывает пути для прямого преобразования солнечной энергии в электрическую. Фотоэффект обнаружен Герцем. Первые фундаментальные исследования фотоэффекта выполнены русским ученым А. Г. Столетовым. Два электрода (в вакуумной трубке подключены к батарее так, что с помощью потенциометра R можно изменять не только значение, но и знак подаваемого на них напряжения. Ток, возникающий при освещении катода монохроматическим светом, измеряется включенным в цепь миллиамперметром. Облучая катод светом различных длин волн, Столетов установил следующие закономерности, не утратившие своего значения до нашего времени: 1) наиболее эффективное действие оказывает ультрафиолетовое излучение; 2) под действием света вещество теряет только отрицательные заряды; 3) сила тока, возникающего под действием света, прямо пропорциональна его интенсивности. Чтобы фототок стал равным нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение U_o. При U = U_o ни один из электронов, даже обладающий при вылете из катода максимальной скоростью V_max, не может преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода. Следовательно, . (66)

Измерив задерживающее напряжение, можно определить максимальные значения скорости и кинетической энергии фотоэлектронов. Внешний фотоэффект подчиняется следующим трем законам, полученным из обобщения опытных данных:

I. Закон Столетова: при фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода за единицу времени, пропорционально интенсивности света.

II. Максимальная начальная скорость (максимальная начальная кинетическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой ν.

III. Для каждого вещества существует «красная граница» фотоэффекта, т. е. минимальная частота v₀ света (зависит от химической природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен.

Объяснение фотоэффекта дано на основе квантовой теории. Фотоэффект описывается уравнением Эйнштейна, выражающим закон сохранения энергии при фотоэффекте: , (67)

т. е. энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону максимальной кинетической энергии. Подставляя в уравнение Эйнштейна (67) выражение (66), приходим к объяснению второго закона фотоэффекта

.

 

«Красная граница» зависит лишь от работы выхода электрона, т. е. от химической природы вещества и состояния его поверхности. Объяснение безынерционности фотоэффекта на основе квантовых представлений тривиально: испускание фотоэлектронов происходит сразу, как только на фотокатод падает излучение с ν > ν₀.