Дифференциальная форма закона Ома

 

Введем понятие плотности тока: , т.е. j - численно равен току dI через площадь dS, перпендикулярную току. Выделим в проводнике элементарный цилиндр с образующими, параллельными .

 

 

Рис. 3.9

 

Выразим:

dI = jdS,

 

dU = dφ = Edℓ, (см. 3.22)

 

dI = , (с учетом 3.41) R =

 

Тогда jdS = dI = =

 

или

= , (3.43)

где γ=1/ρ- удельная проводимость; - вектор напряженности поля.

 

Работа постоянного тока силой I на участке цепи с напряжением U и сопротивлением R за время t:

(3.44)

Полная мощность, развиваемая источником с ЭДС ε:

Р=Iε (3.45)

Полезная мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении R:

(3.46)

КПД источника тока

(3.47)

Сопротивление проводников:

- при последовательном соединении;

- при параллельном соединении;

где R_i – сопротивление i-того проводника.

 

 

Закон Джоуля-Ленца

 

При протекании постоянного тока по проводнику в нем выделяется количество тепла Q:

Q= I²Rt=UIt (3.48)

Когда ток постоянен, а проводник неподвижен, то вся работа сторонних сил расходуется на его нагревание.

Если сила тока меняется, то количество тепла dQ, выделившегося на сопротивлении R за время dt при прохождении через него электрического тока:

dQ . (3.49)

Пусть сила тока I является некоторой функцией времени. В случае:

,

где k-коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:

С учетом этого, формула (3.49) примет вид:

dQ= (I₀ + kt)² Rdt

Для определения тепла, выделившегося за конечный интервал времени Δt, проинтегрируем в пределах от t₁ до t₂:

Q= (3.50)

Если начальный ток I₀=0, то:

Q= (3.51)

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

В формулу (3.49) подставим R=ρdℓ/dS и j=dI/dS, получим:

dQ , где dS · dℓ = dV -объем,

тогда удельная тепловая мощность тока (в 1м³ в 1с):

, с учетом формулы (3.43)

 

ω=γЕ ² (3.52)

Подсчет конечной величины тепла:

Q

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей.

 

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

При этом токи, подходящие к узлу, считаются положительными, а токи, отходящие от узла, - отрицательными.

Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивление соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре.

 

При этом, если токи по направлению совпадают с выбранным направлением обхода контура, то они считаются положительными, а несовпадающие - отрицательными.

ЭДС источника берется со знаком “плюс”, если при выбранном обходе контура осуществляется переход внутри источника от отрицательного полюса к положительному, в противном случае ЭДС берется со знаком “минус”.

 

Магнитное поле

 

В 1820 году датский физик Эрстед обнаружил, что протекающий по проводнику ток действует на магнитную стрелку. Опыт показал также, что неподвижные заряды не создают вокруг себя магнитное поле. В отличии от электростатического магнитное поле имеет вихревой характер, т.е. линии этого поля всегда замкнуты (рис.3.10). Направление линий определяется правилом буравчика или правой руки.

 

 

 

Рис.3.10

 

Основной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции . Он направлен всегда по касательной к линии поля в любой точке.

Кроме вектора магнитной индукции , магнитное поле характеризуют такие напряженностью

, (3.53)

где m - магнитная проницаемость среды (для вакуума m=1);

- магнитная постоянная в СИ системе.

Сила Лоренца действует на заряд Q, движущийся в магнитном поле с индукцией В со скоростью V

или F_л = QVB sin α, (3.54)

где α - угол между векторами .

Сила Лоренца равна нулю, когда заряд движется вдоль магнитного поля (sinα =0), и максимальна, когда заряд движется перпендикулярно к нему (sinα =1).

Направление F_л определяется по правилу левой руки (для положительного заряда). Ладонь располагается так, чтобы линии индукции в нее входили, четыре пальца указывали направление вектора скорости движения заряда. Тогда отставленный большой палец укажет направление действия силы. При движении отрицательного заряда сила направлена в противоположную сторону (рис.3.11).

а) б)

Рис.3.11

 

Пусть положительный заряд Q движется перпендикулярно линиям вектора магнитной индукции (рис.3.11, а). Тогда перпендикулярен к вектору скорости и сообщает заряду нормальное ускорение а_n, т.е. , где m – масса частицы с зарядом Q.

Частица в данном случае будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Радиус R этой окружности найдем из условия, что сила Лоренца является здесь центростремительной силой.

 

т.к. a_n = V² / R (см.2.12)

 

Тогда .

Далее по формулам V = wR = 2pnR = можно вычислить угловую скорость w вращения частицы, частоту ее вращения n или период Т.

В общем случае угол α в формуле (3.54) не обязательно равен 90⁰. Тогда заряд будет двигаться в магнитном поле по винтовой линии с периодом и шагом и радиусом .

Эффект Холла заключается в том, что при протекании тока в проводнике или полупроводнике в них возникает поперечная току разность потенциалов Δφ. Этотакже можно объяснить действием силы Лоренца на подвижные заряды (ток). Рассмотрим пластину с током I, перпендикулярным постоянному магнитному полю с индукцией В (рис.3.12)

 

Рис. 3.12

 

Под действием силы Лоренца F_л = QVB происходит разделение зарядов и между поверхностями пластин создается разность потенциалов Δφ. Возникшее электрическое поле действует на заряды с силой . При равенстве разделение зарядов прекращается, при этом Δφ=ℓVB. Ток в пластинке можно выразить через объемную плотность заряда Qn, площадь поперечного сечения ℓd проводника, скорость заряда V, т.е. I= Q nℓdV, откуда:

тогда , (3.55)

где K -постоянная Холла.

Определив K, можно рассчитать концентрацию носителей.

Сила Ампера действует на элемент тока dℓ в магнитном поле с индукцией В

или , (3.56)

где α-угол между вектором и направлением тока I.

Направление силы Ампера F находится по правилу левой руки:

вектора - в ладонь, четыре пальца – ток, большой палец – сила (рис.3.13)

 

 

 

Рис.3.13

 

Из формулы (3.56) следует, что ,

если F = 1H, I = 1A, ℓ= 1м, то В будет 1 Тл (Тесла)

 

1Тл =

т.е. 1 Тл это индукция такого магнитного поля, которое на проводник длиной 1 м с током в 1 А действует с силой в 1 Н.

Магнитный момент контура с током:

(3.57)

где S-площадь контура;

-единичный вектор нормали к плоскости контура.

Вектор р_m перпендикулярен к площади контура и определяется правилом буравчика, вращаемого по току (рис.3.14)

 

 

Рис. 3.14