Задача стабилизации скорости вращения электродвигателя

Объект управления – электрический двигатель постоянного тока. Задача: поддержание угловой скорости w вращения двигателя на заданном уровне w₀.

Согласно обозначениям, принятым на общей функциональной схеме САУ, здесь z (t) – возмущение (нагрузка на двигатель, момент нагрузки); y (t) º w – выход (угловая скорость вращения); u (t) – вход (напряжение).

Математическая модель (уравнение) объекта:

w = au – bz,

т. е. угловая скорость w пропорционально возрастает с увеличением подаваемого напряжения u и убывает с ростом нагрузки z.

1. Управление по разомкнутому циклу.

В этом случае u = u (t). Как получить эту зависимость? Так как
w₀ = au – bz, то очевидно следует принять u (t) = (w₀ + bz)/ a.

Если все хорошо известно заранее (коэффициенты a и b – характеристики двигателя и z (t) – характер и величина нагрузки), то u (t) компенсирует нагрузку и получим то, что хотели:

2. Управление по возмущению.

z (t) – заранее неизвестна, моментная нагрузка меняется, но мы имеем возможность ее измерить: z ^(t). Отметим, что вообще говоря, z ^(t) ¹ z (t).

За управление естественно принять

u (t) = (w₀ + bz ^)/a Þ w = w₀ – b (z – z ^).

Ошибка поддержания скорости Dw = b (z–z ^) определяется точностью измерения возмущения. Если измерения абсолютно точны, то Dw = 0.

3. Управление с обратной связью.

Управление с отрицательной обратной связью базируется на обработке ошибки e (t) = w₀ – w(t). Зададим такую связь:

Это, так называемый, интегральный закон управления: сигнал управления является интегралом от ошибки (отклонения скорости от требуемого значения). Смысл такого управления в следующем:

- w = w₀, , u = Const, w = Const = w₀.

- w(t) > w₀,

- ,

По идее все правильно, проверим.

Напряжение u ₀(t) на двигатель, при котором его скорость равна требуемому значению w₀, определяется из условия:

w₀ = au ₀(t) – bz (t) Þ w – w₀ = a (u – u ₀) Þ

где u ₀– «идеальное» управление, обеспечивающее требуемую скорость w₀, D u = u – u ₀ – ошибка управления.

Далее для простоты рассмотрим случай z (t) = Const (постоянная, но неизвестная величина).

Итак, можно управлять двигателем, практически ничего не зная о нем. w₀ ¾ то, что хотим получить; w(t) ¾ измерили; Dw = w₀ – w(t) ¾ сформировали. Чтобы решить проблему w(t) ® w₀, достаточно взять любые положительные значения k.

Таким образом, мало, что зная об объекте, можно им управлять. Однако ничего не бывает даром. Dw(t) ® 0 постепенно (а вот при программном управлении – сразу, но для этого все об объекте нужно знать заранее).

Анализ линейных непрерывных систем автоматического управления

Описание САУ

Объекты и СУ состоят из элементов различной природы. Описание каждого элемента дается на языке соответствующей научной дисциплины. Например, для механических объектов используются уравнения Лагранжа, Ньютона, для электрических – законы Ома и Кирхгофа, для гидродинамических – уравнения Бернулли, Стокса и т. д. Для анализа свойств системы в теории автоматичеееского управления используется единообразное, стандартное описание. Суть его в следующем:

· каждый реальный элемент рассматривается как звено системы, в котором осуществляется преобразование одного процесса (входного воздействия) в другой (выходную реакцию) или просто преобразование "вход ® выход".

 

u Звено y u – вход; y – выход.

 

· взаимодействие между звеньями задается путем описания связей между их входами и выходами; эти связи определяют структуру системы.

Универсальным языком теоретического естествознания, служащим для моделирования взаимосвязей процессов в природе и технике, является язык дифференциальных уравнений. Любые реальные системы являются нелинейными. Поэтому в общем случае система описывается нелинейным дифференциальным уравнением
n -го порядка (или системой нелинейных дифференциальных уравнений) и соответствующими начальными условиями.

Например, нелинейное уравнение колебаний математического маятника имеет вид

где m – масса «материальной точки»; l –длина подвеса; j – угол поворота подвеса относительно вертикальной оси; M – приложенный момент.

Наряду с дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления широко используются уравнения состояния.

Пространство состояний

По характеру реакции на входные воздействия все системы или их отдельные элементы можно разделить на статические и динамические. В статических звеньях выход y (t) определяется только значением входа u (t) в данный момент времени t; все, что было с системой до этого, никакого влияния не оказывает. Такие системы описываются статической характеристикой:

y (t) = f (u (t)).

В динамических системах информации о входном воздействии в данный момент недостаточно, чтобы узнать выходной сигнал; также важна и предыстория изменения входа и начальное состояние:

y (t) = S (x (t ₀), u [ t ₀, t ]),

где x (t) – некоторая характеристика, которая называется состоянием системы.

Относительно понятия «состояние системы» справедливы следующие утверждения:

- состояние системы в данный момент времени содержит всю информацию о системе и позволяет определить ее поведение в будущем;

- состояние динамической системы определяется входным процессом и начальным состоянием;

- состояние системы определяется не единственным образом, а с точностью до взаимно-однозначного преобразования.

Множество X = { x } возможных состояний системы называется пространством состояний.

Для непрерывных систем уравнения состояния могут быть представлены в виде системы

Первое уравнение (собственно уравнение состояния) описывает изменение состояния системы во времени в зависимости от начального состояния и входного сигнала и характеризует динамику системы. Второе уравнение (уравнение выхода) устанавливает связь выходного сигнала с текущими значениями состояния и входа; оно является статическим соотношением.

Следует иметь в виду, что x (t), y (t) являются векторами, а функции f (), g () – вектор-функциями от векторных аргументов, в общем случае нелинейными. Видим, что уравнение состояния представляется в форме Коши.

Рассмотрим в качестве примера описание в пространстве состояний свободных колебаний математического маятника. Математическая модель свободных колебаний имеет вид

В пространстве состояний в качестве переменных можно принять: . Тогда получим следующие уравнения состояний:

и уравнение выхода в виде y = x ₁.

Отметим, что подобный выбор переменных состояния не является единственно возможным.