Синтез модального регулятора

Название «модальное управление» объясняется используемым в зарубежной литературе термином «мода» для обозначения отдельных составляющих свободного движения. Суть модального управления состоит в определении значений коэффициентов передачи безынерционных обратных связей по всем переменным состояния объекта (u = –k×x) с целью обеспечения заданного распределения корней характеристического уравнения замкнутой САУ.

Корни характеристического уравнения САУ полностью определяют устойчивость линейной системы. В свою очередь, корни однозначно зависят от коэффициентов уравнения, поэтому модальное управление можно трактовать как целенаправленное изменение коэффициентов характеристического уравнения объекта с помощью безынерционных ОС.

Из литературы известны стандартные виды характеристических полиномов 1-8 порядков и соответствующие им графики переходных процессов с указанными на них показателями качества (биномиальные полиномы Ньютона, полиномы Баттерворта и др.). Исходя из порядка объекта и заданных в техническом задании показателей качества САУ, можно выбрать требуемый график переходного процесса и соответствующий ему «стандартный» характеристический полином, а затем выполнить синтез модальных ОС, обеспечивающих заданные показатели качества САУ. Таким образом, теория модального управления позволяет осуществлять синтез многоконтурных замкнутых САУ с заранее заданными показателями качества.

Основные достоинства модального управления:

1. Синтезированная модальная САУ не требует проверки на устойчивость (так как она заранее должна быть устойчивой и обладать требуемыми запасами устойчивости).

2. Синтезированная модальная САУ не требует введения дополнительных корректирующих устройств (так как она сама уже удовлетворяет требуемым показателям качества).

3. Введение модальных ОС, в силу их безынерционности, не повышает порядок объекта и не нарушает его управляемость и наблюдаемость (что может произойти при введении пассивных инерционных корректирующих устройств).

4. Техническая реализация модальных САУ осуществляется относительно просто и экономично с помощью маломощных измерительно-преобразовательных устройств и электронных усилителей.

Рассмотрим методику синтеза модальных регуляторов.

3.5.1 Синтез для случая полностью управляемого объекта
с одним входом

Уравнение полностью управляемого объекта с одним входом имеет вид:

, .

Требуется определить коэффициенты передачи модального регулятора

,

при которых замкнутая САУ имела бы желаемый «стандартный» характеристический полином

Q *(p) = pⁿ + g ₁ p^{n -1} + … + g_n- ₁ p + g_n.

1. Определяем характеристический полином Q (p) матрицы A

Q (p) = | p E – A | Þ pⁿ + q ₁ p^{n -1} + … + q_n- ₁ p + q_n.

2. Вычисляем коэффициенты передачи регулятора в каноническом базисе, которые записываются в виде вектор-строки

Элементы вектора определяются как разности соответствующих коэффициентов желаемого характеристического полинома Q *(p) и характеристического полинома Q (p) матрицы A:

3. Составляем матрицу управляемости R в исходном базисе

.

4. Для полинома Q (p) составляем каноническую пару

5. Составляем матрицу управляемости в каноническом базисе

.

6. Вычисляем матрицу преобразования P

7. Вычисляем вектор-строку коэффициентов передачи регулятора в исходном базисе k ^T

Для проверки полученного решения задачи целесообразно вычислить матрицу G = A – bk ^T и определить ее характеристический полином

Совпадение коэффициентов этого полинома с соответствующими коэффициентами желаемого полинома (3.47) указывает на правильность решения задачи.

Указанный алгоритм легко реализуется для вычислений на компьютере на базе стандартных программ матричной алгебры.

Пример 1. Заданы структурная схема и параметры объекта (рис. 3.22).

Рис. 3.22. Структурная схема объекта

Корни характеристического уравнения данного объекта
p ₁ = –1/ T ₁ = –2; p ₂ = –1/ T ₂ = –1, следовательно, степень его устойчивости η = 1. Требуется определить коэффициенты обратных модальных связей k ₁, k ₂, обеспечивающие желаемые значения корней p ₁ = p ₂ = –3 и соответствующую им степень устойчивости η = 3 замкнутой системы.

Уравнения звеньев объекта

Отсюда

при этом матрицы A и b уравнения (3.45) имеют вид

Далее действуем согласно приведенному выше алгоритму.

1. Определяем согласно (3.48) характеристический полином Q (p) матрицы A

Q (p) = | p E – A | = Þ q ₁ = 3, q ₂ =2.

2. Определяем согласно (3.47) желаемый характеристический полином Q* (p)

Q* (p) = (p – p ₁)(p – p ₂) = (p + 3)(p + 3) = p ² + 6 p + 9 Þ g ₁ = 6, g ₂ =9.

3. Вычисляем коэффициенты передачи регулятора в каноническом базисе согласно (3.49)

.

4. Составляем матрицу управляемости R в исходном базисе согласно (3.50)

.

5. Для полинома Q (p) составляем каноническую пару согласно (3.51)

6. Составляем матрицу управляемости в каноническом базисе согласно (3.52)

7. Вычисляем матрицу преобразования P согласно (3.53)

8. Вычисляем вектор-строку коэффициентов передачи регулятора в исходном базисе k ^T согласно (3.54)

Итак, k ₁ = 0,25; k ₂ = 1,5.

Выполним проверку. Согласно (3.55) вычисляем G = A – bk ^T

Тогда

Полученный характеристический полином замкнутой модальной системы совпадает с указанным ранее желаемым полиномом Q* (p), следовательно, коэффициенты k ₁, k ₂ определены правильно.

Безынерционные модальные обратные связи изменяют общий коэффициент передачи системы и тем самым влияют на установившееся значение выходной переменной объекта. Чтобы исключить такое влияние, достаточно на входе системы (рис. 3.22) установить безынерционный усилитель, коэффициент усиления k _y которого определяется из условия равенства коэффициента усиления K замкнутой модальной САУ и коэффициента усиления k ₀самого объекта:

3.5.2 Синтез для случая объекта, заданного
передаточной функцией

Модель объекта представлена в форме передаточной функции

Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение

Введя обозначения x = x ₁, далее получим

или в более компактной форме

Здесь матрицы A и b уже имеют нормальную форму (3.51), т. е.
A = , b = , поэтому согласно (3.52) , а согласно (3.53) . Тогда на основании (3.54) имеем

Первое из равенств (3.61) означает, что в данном случае коэффициенты передачи модального регулятора сразу же могут быть вычислены по формулам (3.49). Последнее равенство в (3.61) означает, что на выходе такого регулятора последовательно с ним должен быть включен общий для всех каналов регулятора усилитель с коэффициентом усиления равным величине (это равноценно уменьшению всех расчетных коэффициентов регулятора в раз).

Подставив (3.61) в (3.60), получаем

Для проверки решения следует, как и ранее, вычислить матрицу
G = A – bk ^T и определить ее характеристический полином.

Пример 2.Пусть объект представляет собой апериодическое звено второго порядка (рис. 3.23) с теми же значениями параметров. Отличие же состоит в том, что теперь доступной для управления является только одна выходная переменная объекта x ₁.

Требуется определить коэффициенты k, k ₁, k ₂, при которых “стандартный” характеристический полином модальной САУ имел бы ранее принятый вид

Q *(p) = p ²+ g ₁ p + g ₂ = p ² + 6 p + 9.

 

Рис. 3.22. Структурная схема объекта

Подобно (3.56) представим передаточную функцию объекта в следующей форме

Далее находим искомые коэффициенты

k = 1/ b ₀ = 1/4;

=>

Таким образом, при тех же параметрах объекта, но измеряемой только одной из его переменных получили увеличенные, по сравнению с примером 1, значения коэффициентов модальных ОС.

Проверка.

Записываем матрицы объекта в нормальной форме

;

Далее вычисляем

и тогда

Полученный полином совпадает с ранее принятым “стандартным” характеристическим полиномом Q (p), следовательно, коэффициенты k ₁, k ₂ определены правильно.

Для определения коэффициента усилителя k _y запишем коэффициент передачи всей системы и приравняем его к коэффициенту передачи самого объекта:

,

т. е. получили то же значение, как и в примере 1, что дополнительно подтверждает правильность вычисленных коэффициентов k, k ₁, k ₂.