Определение линейных скоростей точек механизма и угловых скоростей звеньев механизма

Точка А кривошипа ОА совершает вращательное движение, поэтому вектор скорости u , м/с, точки А направлен перпендикулярно звену 1 в сторону вращения и численно равен по модулю

, (1.4)
Где – угловая скорость звена ОА, с^-1; – длина звена ОА, м.

Для определения скорости точки В составляют векторные уравнения, связывающие искомую скорость точки с известными скоростями точек А и С. Так как точка В принадлежит звену 2, то ее скорость равна векторной сумме абсолютной скорости точки А и скорости точки В относительно точки А. В то же время точка В принадлежит звену 3 и ее скорость равна векторной сумме абсолютной скорости точки С и скорости точки В относительно точки С. Следовательно,

 

, (1.5)

В этой системе уравнений известны по модулю и направлению векторы скоростей точек А и С (скорость точки А была определена выше, а скорость точки С равна 0). Векторы относительных скоростей неизвестны по величине, но известны по направлению: вектор перпендикулярен к звену АВ, а вектор перпендикулярен к звену ВС. Таким образом, система двух векторных уравнений (1.5) содержит четыре неизвестных и может быть решена графическим методом с помощью построения плана скоростей.

Для построения выбираем на плоскости произвольную точку Р_u – полюс плана скоростей, которая является началом отсчёта, и откладываем на ней отрезок , перпендикулярный к звену ОА, в направлении движения точки А.

Этот отрезок изображает на плане скоростей вектор скорости точки А. Назначив его длину, определяют масштабный коэффициент , , плана скоростей:

= . (1.6)

В соответствии с первым уравнением системы (1.5) на плане скоростей через точку а проводим прямую, перпендикулярную к звену 2 механизма (линия вектора ). В соответствии со вторым уравнением через полюс (точка C совпадает с полюсом) проводим на плане прямую, перпендикулярно к звену 3 механизма (это линия вектора ). Точка b пересечения этих двух прямых, является концом вектора , изображающего на плане вектор скорости и равного ему вектора . Вектор изображает в масштабе относительную скорость .

Для определения действительной величины скорости любой точки достаточно умножить длину соответствующего вектора на масштабный коэффициент :

× ; × ;

; ; (1.7)

 

Чтобы определить скорость точки D, воспользуемся теоремой подобия. Величину отрезка находим из пропорции:

 

= ; . (1.8)

 

Действительная величина скорости точки D равна:

 

= × .
_____________________________________________________________________________________

 

2.7. Определение ускорений точек звеньев механизма

Определение ускорений точек звеньев механизма выполняется в той же последовательности, что и определение скоростей.

Первой точкой, ускорение которой надо определить, является точка А входного звена 1.

При вращательном движении кривошипа ОА ускорение точки А можно представить в виде векторной суммы двух составляющих: нормальной и тангенциальной

 

. (1.11)

 

Так как звено 1 вращается с постоянной угловой скоростью (w₁ = const), то

(1.11, а)

 

Следовательно, в этом частном случае полное ускорение точки А определяется только величиной нормальной составляющей , которое по модулю равно:

(1.12)

 

и направлено параллельно звену ОА от точки А к точке О (центру вращения). Рассматривая точку В, как принадлежащую одновременно звеньям 2 и 3, ускорение точки В может быть представлено в виде суммы двух векторов:

, (1.13,а)

 

Относительные ускорения и представим в виде суммы двух составляющих: нормальной и тангенциальной. Тогда:

 

, (1.13,б)

 

Величины нормальных составляющих относительных ускорений

, (1.14)

 

Вектор нормальной составляющей направлен вдоль звена АВ от точки В к точке А, а вектор нормальной составляющей – вдоль звена ВС от точки В к точке С.

Тангенциальные составляющие ускорений и по абсолютной величине неизвестны, но известны по направлению: они направлены перпендикулярно к нормальным составляющим.

Таким образом, выражения (1.13,б) представляют систему двух векторных уравнений с четырьмя неизвестными, которая может быть решена графическим методом с помощью построения плана ускорений. Для этого выбираем на плоскости произвольную точку Р_а – полюс плана ускорений, которая является началом отсчёта, и откладываем от неё отрезок параллельно звену ОА в направлении от точки А к точке О в соответствии со схемой механизма (см. рисунок 3,в). Длина этого отрезка изображает на плане вектор ускорения точки А и выбирается произвольно. Тогда масштабный коэффициент плана ускорений ,

 

= / . (1.15)

 

В соответствии с первым уравнением системы (1.13,б) через точку а, плана ускорений проводим прямую, параллельную звену АВ в направлении от точки В к точке А, и на ней откладываем отрезок , мм

 

= / , (1.16)

 

величина которого в масштабе изображает вектор нормальной составляющей ускорения .

Через точку n₂ перпендикулярно к звену АВ (или тоже самое, что перпендикулярно отрезку ) проводим линию вектора тангенциальной составляющей .

В соответствии со вторым уравнением системы (1.13,б) из полюса Р_а (точка С совпадает с полюсом) проводим прямую, параллельную звену ВС, в направлении от точки В к точке С и откладываем отрезок

 

/ . (1.17)

 

Через точку n₃ перпендикулярно звену ВС проводим линию вектора тангенциальной составляющей ускорения .

Точка b пересечения двух прямых, изображающих линии действия тангенциальных составляющих ускорений, представляет графическое решение системы (1.13, б). Соединяя точку b с полюсом плана ускорения P_a, получим отрезок , изображающий на плане ускорений вектор ускорения точки В механизма. Величину этого ускорения находим с помощью масштабного коэффициента:

 

а _В = × . (1.18)

 

Вектор , проведённый из точки а в точку b, на плане ускорений соответствует масштабному выражению вектора полного относительного ускорения , абсолютная величина которого равна:

 

= × . (1.19)

 

Значения тангенциальных составляющих относительных ускорений вычисляем по формулам:

= × , (1.20)

= × .

 

Для определения ускорения точки D воспользуемся теоремой подобия. Величина отрезка может быть найдена из соотношения:

 

= , т.е. . (1.21)

 

Численная величина абсолютного ускорения точки D механизма равна

 

а_D = × . (1.22)

 

Ускорения a_si центров масс звеньев определяются аналогично с помощью теоремы подобия. Например, в соответствии с исходными данными центр массы S₃ звена 3 делит отрезок CD пополам. На плане ускорений точка s ₃ также будет делить отрезок cd пополам. Ускорение центра масс а _s3, м∙с^-2

 

а _s3 = × .

 

Аналогично а _{s 2} = × .