Кручение. Расчет на жесткость

Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в поперечных сечениях возникает только одно внутреннее усилие – крутящий момент М_к. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на оставшуюся часть стержня со стороны отброшенной части момент направлен против хода часовой стрелки. Стержень, испытывающий деформацию кручения, называется валом.

Условие жесткости записывается в виде

Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравнивается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

При кручении деформация оценивается углом закручивания: . Здесь φ - угол закручивания; γ – угол сдвига; l - длина бруса; R - радиус; R=d/2. Откуда . Закон Гука имеет вид τk = Gγ. Подставим выражение для γ, получим

откуда

.

Произведение GJ_P называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G 0,4Е. Для стали G = 0,8·10⁵ МПа.

Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на:дин метр длины бруса (вала) φ_о.

Условие жесткости при кручении можно записать в виде

,

где φ_о — относительный угол закручивания, ;

[φ_о] ≈ 1град/м = 0,02 рад/м - допускаемый относительный гол закручивания.
_____________________________________________________-_________________________

 

1.16
__________

1.17 Изгиб

Изгиб — вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Прямой изгиб возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, называется косым.

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб.

Часто термин «прямой» в названии прямого чистого и прямого поперечного изгиба не употребляют и их называют соответственно чистым изгибом и поперечным изгибом.

Опоры балок, рассматриваемых как плоские системы, бывают трех основных типов.

1. Подвижная шарнирная опора (рис. 3.2, а). Такая опора не препятствует вращению конца балки и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и проходит через центр катка.

Схематичное изображение подвижной шарнирной опоры дано на рис. 3.2, б.

Подвижные опоры дают возможность балке беспрепятственно изменять свою длину при изменении температуры и тем самым устраняют возможность появления температурных напряжений.

2. Неподвижная шарнирная опора (рис. 3.2, в). Такая опора допускает вращение конца балки, но устраняет поступательное перемещение ее в любом направлении. Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие - горизонтальную и вертикальную.

3. Жесткая заделка, или защемление (рис. 3.2, г). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре может в общем случае возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (вертикальную и горизонтальную) и момент защемления (реактивный момент).

Балка с одним заделанным концом называется консольной балкой или просто консолью.

Если опорные реакции могут быть найдены из одних уравнений статики, то балки называют статически определимыми. Если же число неизвестных опорных реакций больше, чем число уравнений статики, возможных для данной задачи, то балки называют статически неопределимыми. Для определения реакций в таких балках приходится составлять дополнительные уравнения - уравнения перемещений.

1. Определение опорных реакций

 

Рассмотрим пример

 

 

1. Приравняем нулю сумму проекций на ось Х всех сил, действующих на балку: Sх=0, А_х=0.

2. То же, на ось У:

Sу=0 А_у – Р₁ – q·а₃=0

А_у = Р₁ + q·а₃ = 20 + 20·2= 60 кН

Вертикальная составляющая реакций в консольной балке равна сумме сил, приложенных к балке.

1. Составляем третье уравнение равновесия. Приравняем нулю сумму моментов всех сил относительно какой-либо точки, например точки А:

SМ_А=0 М_А + Р₁·2 + q· 2 · 5=0

М_А = -Р₁·2 - q· 10 = -20·2 - 20· 10= -240 кН ·м

Знак (-) показывает, что направление момента следует изменить на обратное. Реактивный момент в заделке равен S моментов внешних сил относительно заделки.

 

1. Определение внутренних усилий при изгибе

При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях возникают два внутренних усилия М изгибающий и поперечная сила Q.

Для их определения применим метод сечений. Сделаем мысленно разрез балки на расстоянии х от опоры А

 

 

 

 

Отбросим одну из частей (правую) и рассмотрим равновесие левой части. Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями: М изгибающий и поперечная сила Q. Для определения М_изг. и Q используем 2 уравнения равновесия:

1. Sу=0 А_у – Р₁ + Q =0; Q = Р₁ – А_у; Q = S (Р_i) у

2. S М₀ =0 А_х – Р₁ (х –а₁) + М = 0

М = Р₁ (х –а₁) – А_х; М = S т₀ (Р_i)

Таким образом, поперечная сила Q в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения.

Эпюры поперечных сил, изгибающих моментов. Общий порядок построения.

1. Определяем опорные реакции и делаем проверку.

2. Разбиваем балку на участки. За границы участков нагружения принимаем сечения, где приложены внешние силовые факторы, а также начало и конец распределенной нагрузки.

3. Применяя метод сечений, составим выражения для поперечных сил Q и изгибающих моментов М_изг.

4. По этим выражениям строим эпюры Q и М_изг., соблюдая правила знаков Q и М_изг.

5. На эпюре Q в месте приложения сосредоточенной нагрузки есть скачок равный этой силе, на эпюре М_изг скачок равен моменту, приложенному в данном сечении.

I Σ _Х = 0 R_ХА = 0

Σ_У = 0 R_АУ + R_ВУ – 2Р = 0

R_АУ + R_ВУ = 2Р

R_АУ = R_ВУ = Р

Проверка:

Σ М_А = 0 R_ВУ · 4а – Р · 3А – Р_А = 0 0 = 0

 

II 3 участка нагружения

III Метод сечений:

Первое сечение

Q = R_А = Р М_изг = R_АХ₁; если Х₁ - 0 →

Второе сечение

М_изг = 0; если Х₁ = а → М_изг = Р_а

Q = R_А - Р = Р – Р = 0

М_изг = R_А · (а + х₂ ) – РХ₂ = РХ₂ Ра – РХ₂ = Ра

Третье сечение

Q = -R_В = - Р

М_изг = R_В X₃ = РХ₃

Если Х₃ = 0 → М_изг = 0

Если Х₃ = а → М_изг = Ра

­________________________________________________________________________________