Напряжение в любой точке поперечного сечения

Рис. 27.2

Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2). dQ = τdA, где τ — касательное напряжение; dA — элемен­тарная площадка. В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары.

Элементарный момент силы dQ относительно центра круга

dm = pdQ,

где р — расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:

.

После преобразования получим формулу для определения напря­жений в точке поперечного сечения: Эвольвентное зубчатое колесо и его параметры. Толщина зуба колеса по окружности произвольного радиуса. Понятие о исходном, исходном производящем и производящем контурах. Станочное зацепление. Основные размеры зубчатого колеса. Виды зубчатых колес. Подрезание и заострение колеса. Понятие о области существования зубчатого колеса. Эвольвентная цилиндрическая зубчатая передача и ее параметры. Основные уравнения эвольвентного зацепления.

, где .

При ρ = 0 τк = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл Jp называется полярным моментом инерции сечения. Jр является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.

Анализ полученной формулы для Jр показывает, что слои, рас­положенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)

Мк — крутящий момент в сечении; ρВ — расстояние от точки В до центра; τВ — напряжение в точке В; — максимальное напря­жение.

Рис. 27.3

Решение первой задачи сводится к определению необходимого числа функций времени (уравнений движения), однозначно определяющих положение каждой точки тела в пространстве. Решение второй задачи заключается в определении зависимостей, позволяющих по известным уравнениям движения определить траекторию, а также скорость и ускорение любой точки тела в любой момент времени.

Поля́рный моме́нт ине́рции — интегральная сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния их от полюса — ρ² (в полярной системе координат), взятая по всей площади сечения. То есть:

Эта величина используется для прогнозирования способности объекта оказывать сопротивление кручению. Она имеет размерность единиц длины в четвёртой степени (м⁴, cм⁴) и может быть лишь положительной.

Для площади сечения, имеющей форму круга радиусом r полярный момент инерции равен:

Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то

потому что .

 

Полярный момент инерции для некоторых случаев

Распределение касательных напряжений при кручении

Для круглого сплошного сечения:

где D — диаметр круга.

Для кольцевого сечения (полый вал):

где

D — внешний диаметр кольца,

d — внутренний диаметр кольца.

 

 

Кручение

Круче́ние — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил(момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор— крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы.

При деформации кручения смещение каждой точки тела перпендикулярно к её расстоянию от оси приложенных сил и пропорционально этому расстоянию.

Угол закручивания цилиндрического стержня в границах упругих деформаций под действием момента T может быть определён из уравнения закона Гука для случая кручения

где:

— геометрический полярный момент инерции;

— длина стержня;

G — модуль сдвига.

Отношение угла закручивания φ к длине называют относительным углом закручивания

Деформация кручения является частным случаем деформации сдвига

ГУКА ЗАКОН - основной закон теории упругости, выражающий линейную зависимость между напряжениями и малыми деформациями в упругой среде. Установлен P. Гуком (R. Hooke) в 1660.

При растяжении стержня длиной l его удлинение пропорц. растягивающей силе F; в этом случае Г. з. имеет вид , где - нормальное напряжение в поперечном сечении стержня, - относит. удлинение, S - площадь поперечного сечения. Константа материала E наз. модулем Юнга. При этом относит. изменение поперечных размеров стержня пропорц. относительному удлинению: . Константа наз. коэф. Пуассона.

При расчетах на прочность при кручении (также как и при растяжении) могут решаться три задачи:

а) проверочный расчет – проверить, выдержит ли вал приложенную нагрузку;

б) проектировочный расчет - определить размеры вала из условия его проч­ности;

в) расчет по несущей способности - определить максимально допустимый
крутящий момент.

При проверочном расчете на прочность рекомендуется следующий порядок расчета валов при кручении:

· по схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят
эпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;

· выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого ма­териала допускаемое напряжение ;

· для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при кручении

(5.15)

Проектировочный расчет проводится, исходя из условия прочности на основе следующего соотношения:

(5.16)

Для сплошного круглого сечения , отсюда можем записать вы­ражение для определения диаметра вала из условия его прочности:

(5.17)

Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал на жесткость по формуле

, (5.18)

где - допустимый относительный угол закручивания вала.

Если данное условие не выполняется, то необходимо выбрать размеры вала из условия жесткости:

(5.19)

Учитывая, что для сплошного круглого сечения , можем запи­сать выражение для определения диаметра вала из условия его жесткости:

(5.20)

Окончательно выбирают диаметр d, удовлетворяющий условиям прочности и жесткости.

_____________________________________________________________________________________