Кинематический анализ механизмов методом диаграмм

С помощью графиков перемещений, скоростей и ускорений какой-либо точки можно проследить изменение кинематических параметров точки за полный цикл движения механизма.

Имея один из графиков, путем графического дифференцирования или интегрирования можно получить два остальных, так как между перемещением, скоростью и ускорением точки существует зависимость

т.е. скорость точки в определенный момент времени представляет собой первую производную от перемещения точки по времени, а ускорение – первую производную от скорости по времени. Следовательно, имея график перемещений точки, можно путем дифференцирования его получить график скоростей, а путем дифференцирования графика скоростей – график ускорений.

Если исследуется движение точки, совершающей поступательное движение, то для нее строится график линейных перемещений.

Если же исследуется движение точки, совершающей вращательное движение, то для нее строится график линейных перемещений (при этом надо очень тщательно измерять перемещение точки по дуге) или график угловых перемещений звена, к которому относится заданная точка. При дифференцировании графика угловых перемещений получится соответственно график угловых скоростей, а при дифференцировании последнего – график угловых ускорений.

Известно несколько методов графического дифференцирования. Предпочтительными из них являются метод касательных и метод хорд.

Пример 6. Для механизма (рис. 4) построить график перемещений точки и, дифференцируя его методом касательных, график скоростей этой точки. Кривошип имеет частоту вращения об/мин.

Решение. Строим систему координат графика перемещений (рис. 9). По оси ординат будем откладывать перемещение точки , по оси абсцисс – время. Откладываем время одного цикла движения механизма произвольным отрезком . При длительности цикла

и длине отрезка , равной 80мм, масштаб времени по оси абсцисс

 

Рис. 9

 

Делим отрезок на восемь равных частей. Точки 1, 2, 3 и т.д. соответствуют моментам времени, когда механизм занимает 1, 2, 3-е и т.д. положения.

Перемещение точки Е при движении механизма из нулевого положения в первое выражается отрезком . Если отрезок измерить непосредственно на схеме механизма и отложить ординатой 1-1´, равной ее длине на схеме, то масштаб перемещений графика совпадает с масштабом длин схемы механизма.

Однако для того чтобы рационально использовать поле чертежа, т.е. чтобы график был не слишком сжат и не слишком вытянут, удобно задаться максимальной ординатой . Принимаем эту ординату равной 57 мм. Откладывать ее надо из точки , положение которой на оси абсцисс графика перемещений находим из соотношения

,

где и - длины отрезков на оси абсцисс графика перемещений; и - отрезки траектории точки А, соответствующие переходу механизма из четвертого положение в положении максимального удаления точки В и в пятое положение.

По рис. 4 = 9мм, = 23,5мм; по рис. 9, 1 = 10мм;

= = 4мм.

Из полученной точки откладываем ординату

Определяем масштаб графика перемещений по формуле

Определяем длины ординат и т.д. графика перемещений точки Е, предварительно измерив соответствующие отрезки и т.д.,:

= 4мм;

и т.д.

Из точек 1, 2, 3 и т.д. на оси абсцисс откладываем полученные расчетом ординаты и т.д. Полученные точки и т.д. соединяем плавной кривой (рис. 9, 1) Это и будет график линейных перемещений точки

Для построения графика скоростей точки Е полученный график продифференцируем методом касательных. С этой целью в точках и т.д. к кривой графика проводим касательные.

Под графиком перемещений точки Е строим новую систему координат для графика скоростей. Влево от начала этой системы координат (точка О) на оси абсцисс произвольно выбираем полюс (рис. 9, 2). Из него проводим лучи, параллельные касательным в точках и т.д. графика перемещений, до пересечения с осью ординат (скоростей) в точках соответственно 1, 2 и т.д. Отрезки 0-1, 0-2 и т.д. на оси ординат нового графика пропорциональны скоростям точки Е в первом, втором и т.д. положениях механизма.

Далее, на оси ординат точки 1, 2, 3 и т.д. проецируем соответственно на перпендикуляры к оси абсцисс, восстановленные из точек и 1, 2, 3 и т.д. деления отрезка этой оси. Получаем точки I, II, III и т.д. дифференциальной кривой. Поскольку за начальное положение механизма принято одно из крайних его положений, т.е. скорость точки Е в этот момент равна нулю, то график скоростей будет исходить из начала системы координат. Соединяем точки О, I, II, III и т. д. плавной кривой, учитывая, что она пройдет через нуль в точке соответствующей экстремальному значению функции перемещений (рис.9, 2).

Из построений следует, что ординаты графика пропорциональны значениям скоростей в различных положениях механизма.

По известной формуле определяем коэффициент пропорциональности – масштаб скоростей:

где = 13,3 мм – полюсное расстояние (рис 9, 2).