Динамический анализ механизмов

Основная задача динамического анализа состоит в определении управляющего силового воздействия - уравновешивающей силы или уравновешивающего момента, приложенного к кривошипу. Эти силовые факторы являются функциями положения кривошипа и в данный момент обеспечивают движение звеньев механизма по заданному закону и уравновешивание механизма.

Дополнительной задачей динамического анализа механизмов является определение реакций в кинематических парах. Знание этих сил необходимо при расчете звеньев механизма на прочность, жесткость, износостойкость, виброустойчивость и других расчетах при проектировании механизмов.

Для проведения динамического исследования применяется метод кинетостатики, основанный на принципе Д^,Аламбера, применительно к механизмам сущность этого метода можно сформулировать так: «Если ко всем внешним, действующим на звено механизма, силам присоединить силы инерции, то под действием всех этих сил звено можно рассматривать условно находящимся в равновесии».

Силовой расчет с применением принципа Д^,Аламбера называется кинетостатическим.

Определение сил и моментов инерции звеньев

Изучение сил и моментов инерции, действующих на звено механизма, ведут в зависимости от характера движения звена.

Общий случай. Звено АВ совершает плоскопараллель­ное движение (рис. 10). Все точки звена совершают движе­ния с различными по величине и направлению ускорениями. Соответственно этому к каждой материальной точке звена может быть приложена присущая ей элементарная сила инерции:

Как известно из теоретической механики, все эти элемен­тарные силы инерции могут быть сведены к главному вектору сил инерции , приложенному в центре тяжести S звена и к главному моменту сил инерции , которые со­ответственно выражаются формулами:

где т — масса звена, кг; — ускорение центра тяжести, м/с²; — момент инер­ции звена относительно оси, проходя­щей через центр тяжести, кгм²; — угловое ускорение звена, 1/с².

Знаки минус в формулах указывают на то, что главный вектор и главный момент сил инерции направлены в сто­роны, противоположные направлениям соответствующих ускорений.

Рис. 10

Частные случаи.

1. Звено совершает вращательное движение вокруг оси, не проходящей через центр тяжести (рис. 11). Здесь аналогично все элементарные силы инерции приводятся к главному вектору сил инер­ции , (H) и к главному моменту сил инерции (Нм). Если звено вращается равномерно ( = 0), то = 0, а ускорение центра масс будет равно нормальной составляющей = , тогда = .

Рис. 11 Рис. 12

 

2. Звено вращается вокруг оси, проходящей через центр тяжести его (рис 12), например ротор электродвигателя. В этом случае = 0 следовательно главный вектор сил инерции = 0. Если угловое ускорение , то к звену прикладывается только главный момент сил инерции

3. Звено совершает поступательное движение (рис. 13) с ускорением a_s > 0. Считая, что масса звена сосредоточена в центре тяжести S, главный вектор сил инерции выразится так: . Поскольку угловое ускорение ε = 0, то главный мо­мент сил инерции М_и = 0.

 

Рис. 13

 

3.2 Кинетостатический расчет механизмов методом планов сил

Кинетостатический расчет механизмов ведется по структурным группам, так как они обладают нулевой подвижностью и являются статически определимыми системами. Для структурной группы принципД^,Аламбера можно сформулировать так: «Если ко всем действующим на звенья группы внешним силам присоединить силы инерции и реакции связей, то под действием всех этих сил структурную группу можно условно рассматривать находящейся в равновесии».

Кинетостатический расчет начинается с расчета структурной группы, наиболее удаленной от входного звена, и заканчивается расчетом кривошипа.

При выполнении кинетостатического расчета механизма должна быть задана кинематическая схема механизма и проведен полный кинематический анализ. Кроме того, должны быть заданы массы звеньев и внешние силы, действующие на механизм. Эти силы можно условно разбить на группы:

1. Движущие силы и движущие моменты - они же являются уравновешивающими; их требуется определить.

2. Силы и моменты полезного (производственного) сопротивления – они приложены к выходному звену.

3. Силы тяжести звеньев.

Пример 7. Произвести кинетостатический расчет механизма (рис. 4) в положении, определяемом углом ₁ поворота ведущего звена О₁A, если, к ползуну (звено 5) приложена сила по­лезного сопротивления , график изменения которой показан на рис. 14, = 140 Н; уравновешивающая сила _у приложена в точке А звена 0₁А перпендикулярно к оси звена. Размеры звеньев берем по условию примера 5, = 55°, частота вращения кривошипа п₁ =120 об/мин в направлении часовой стрелки;

массы звеньев: ;

моменты инерции звеньев: = 0,00094 кгм², = 0,00084 кг-м², = 0,00575 кг-м².

 

Рис. 14

Решение. Составим схему нагружения механизма внешними силами и силами инерции (рис. 15).

1. Определим силы тяжести по величине:

,

, .

Векторы сил тяжести , , , направлены вертикально вниз и приложены в точках центров масс звеньев S₂, S₃, S₄, S₅.

 

 

Схема нагружения механизма μ_l=0,01[м/мм]

Рис. 15

 

2. Определим величины и направле­ния сил и моментов инерции, приложенных к звеньям механизма, для этого воспользуемся планом ускорений из примера 5 (рис. 7).

По условию задачи звено О₁А вращается с постоянной угловой скоростью, и центр тяжести звена совпадает с осью вращения (т. к. положение центра тяжести не задано), поэтому инерционная нагрузка этого звена будет равна нулю:

,

.

Звено АВ (шатун) совершает плоскопараллельное дви­жение, при этом возникают сила инерции

Н,

направленная противоположно ускорению a_s2 центра тя­жести и приложенная в точке S₂, и мо­мент инерции

Н·м,

направленный противоположно угловому ускорению звена АВ.

Для удобства силового расчета механизма момент инерции представляем эквивалентной парой сил, направление вращения которой совпадает с направлением момента. Плечо пары сил принимаем равным длине звена АВ. В точке А перпендикулярно к оси звена АВ прикла­дываем силу вверх, в точке В перпендикулярно к оси звена АВ прикладываем силу , вниз (рис. 15). Сила

Н.

Полученная пара сил заменяет действие момента инерции - поэтому в дальнейшем расчете его учитывать не будем, а будем учитывать пару сил и на плече АВ.

Звено О₂В (коромысло) совершает возвратно-вращательное движе­ние, в этом случае также имеет место сила инерции _, и момент . Определяем силу инерции:

Н.

 

Силу прикладываем к точке S₃ в сторону, противо­положную ускорению центра тяжести a_s3.

Момент инерции:

Н·м.

Заменяем М_и3 эквивалентной парой сил на плече О₂В (рис. 15). Определяем величины сил пары:

Н.

Звено DE (шатун) совершает плоскопараллельное движение. Определяем возникающие при его движении силу инерции и момент инерции:

Н.

Н·м.

Силу инерции Р_и4 прикладываем в точке S₄ в сторону, противоположную ускорению a_s4, момент инер­ции заменяем эквивалентной парой сил:

Н.

Силу прикладываем к точке Е вниз перпендику­лярно к оси звена DE, силу — в точке D вверх (рис. 15).

Звено 5 (ползун) совершает поступательное движение вдоль неподвижной направляющей. В этом случае возни­кает только сила инерции

Н,

направленная противоположно ускорению a_Е центра тя­жести звена 5.

3. Сила производственного сопротивления Р_п.с. приложена к ползуну в точке Е и направлена противоположно вектору скорости V_E точки Е. Для определениявеличины этой силы в заданном положении механизма построим график зависимости Р_п.с. = Р_п.с. (S_E) (рис. 16). По оси абсцисс отложим отрезок Е₀Е_m, соответствующий максимальному перемещению ползуна. Если этот отрезок измерить непосредственно по планам положений (рис. 4), то масштабный коэффициент будет тот же. По оси ординат отложим значения силы сопротивления в произвольно выбранном масштабе . На отрезке Е₀Е_m отметим заданное положение ползуна - точку Е. Так как это положение механизма соответствует рабочему ходу (ползун удаляется от кривошипа О₁А), то значение силы сопротивления Р_п.с. равно максимальному 140 Н.

 

 

Рис. 16

4. Определим реакции в кинематических парах.

Механизм состоит из первичного механизма I класса и двух двухповодковых структурных групп. II класса 4 —5 и 2 — 3 (см. рис. 2).

Силовой расчет ме­ханизма начинаем с наиболее удаленной от веду­щего звена группы 4 —5, состоящей из звеньев 4 и 5, двух вращательных пар D и E и одной крайней посту­пательной пары F. Эту группу вычерчиваем отдельно в том же масштабе, что и схема механизма (рис. 17). На группу 4 —5 дейст­вуют известные по величине и направлению силы G₄, C₅, , , , и Р_{п с}. Освобождаем группу 4—5 от свя­зей и приклады­ваем вместо них две реак­ции: одну реакцию — в поступательной паре Е, пер­пендикулярную к направ­ляющей ползуна и неизвест­ную по величине (направление R₀₅ принимается перпендикулярным к направляю­щей в условиях, когда силы трения не учитываются);

Рис. 17

Рис. 18

 

другую — в шарнире D, неизвестную по величине и направлению. Реакцию представляем в виде двух составляющих: тангенциальной , направленной перпендикулярно к оси звена DE, и нормальной , направленной вдоль звена DE. Направлением составляющих задаемся произ­вольно, как показано пунктирными векторами на рис. 17. Чтобы определить реакции в кинематических парах D и F, составляем векторное уравнение равновесия сил, действующих на группу 4—5, причем сначала в уравнение записываем все силы, действующие на звено 4, затем на звено 5:

(3.1)

 

Поскольку это уравнение решается путем построения плана сил, то силы и в уравнение не записываем как взаимно уравновешивающие друг друга (равные по величине, но противоположно направленные).

Реакцию , входящую в уравнение, можно опреде­лить аналитически, - для этого составляем уравнение мо­ментов всех сил, действующих на звено DE, относительно точки Е:

,

 

откуда

Здесь длины отрезков h_P , h_G и DE взяты в миллиметрах из чертежа. Поскольку составляющая получилась со знаком минус, то это значит, что ее действительное направление противоположно выбранному.

Для построения плана сил, исходя из величин сил, вхо­дящих в уравнение (3.1), задаемся масштабом плана = 2 Н/мм и вычисляем длины векторов, изображающих известные силы:

мм; мм;

мм; мм;

мм; мм.

 

От произвольной точки а — полюса плана сил (рис. 18) параллельно силе откладываем в том же направлении вектор ab, изображающий эту силу. Из конца вектора ab точки b параллельно силе откладываем в том же направлении вектор be. Далее откладываем последова­тельно векторы: cd силы G₄, de силы Р_И5, ef силы G₅, fq силы Р_{п. с}. Через точку а плана сил параллельно звену DE проводим линию действия силы , а через точку q перпендикулярно к направляющей ползуна — линию дей­ствия силы . Точка h пересечения этих линий действия определит векторы qh силы и ha силы :

Н;

Н.

 

Вектор , являясь геометрической суммой векторов ha и ab, представляет в масштабе полную реакцию :

Н.

 

Чтобы определить реакции в кинематической паре Е, составляем уравнение равновесия сил, действующих на звено 4:

,

 

где — реакция со стороны звена 5 на звено 4.

Векторы сил (), (), () на плане сил (рис. 18)уже имеются, поэтому неизвестная реакция будет представлена замыкающим вектором ah на этом плане:

Н.

Реакция со стороны звена 4 на звено 5 равна по величине реакции и противоположна ей по направ­лению:

 

Переходим к расчету группы 2 — 3, состоящей из звеньев 2 и 3 и из трех вращательных пар А, В и 0₂. На группу 2 — 3 дейст­вуют известные по величине и направлению силы G₂, G₃, , = — , = — , , — реак­ция со стороны звена 4 на звено 3, связанная с реак­цией зависимостью = — . Осво­бождаем группу 2—3 от связей (рис. 19) и приклады­ваем вместо них две реакции: в шарнире А и в шарнире 0₂, неизвестные по величине и направлению. Представляем реакции и в виде тангенциальных и нормальных составляющих. Ориентировочные направле­ния тангенциальных составляющих и показаны пунктирными векторами (рис. 19).

Для определения реакции составляем уравнение моментов всех сил, действующих на звено 2, относительно точки В:

откуда Н.

Знак «минус» показывает, что действительное направле­ние реакции противоположно выбранному.

Для опре­деления реакции составляем уравнение моментов всех сил, действующих на звено 3, относительно точки В:

 

откуда

Н.

Знак «плюс» показывает, что выбранное направление реакции соответствует действительному.

Рис. 19

Рис.20

 

Для определения реакций в кинематических парах А и 0₂ построим план сил для двухповодковой группы 2 — 3 в це­лом согласно векторному уравнению

(3.2)

Силы и , и в уравнение не записываем, так как при построении плана сил они взаимно уравновешиваются. Масштаб плана сил = 2 Н/мм. Вычисляем длины векторов, изображающих известные силы, входящие в уравнение (3.2) и строим план сил (рис. 20).

Из плана сил определяем величины и направ­ления сил и , а также полных реакций = + и = + :

Н;

Н;

Н;

Н.

Чтобы определить реакции в кинематической паре В, составляем уравнение равновесия сил, действующих на звено 2 (отбросив звено 3, а действие его на звено 2 выра­зив реакцией ):

Согласно плану сил реакцию определяет по вели­чине и направлению вектор :

Н.

Реакция равна по вели­чине реакции ипротивопо­ложна ей по направлению:

.

Производим расчет ведущего звена. На кривошип О₁А дейст­вуют: со стороны звена 2 ре­акция и со стороны стойки реакция . Кроме этих сил в точку А кривошипа перпенди­кулярно к оси звена приложим уравновешивающую силу (рис. 21). Сила полностью известна (по величинe и направлению), а силы и не известны.

Вначале определяем величинy силы . Для этого состав­ляем уравнение моментов всех сил, действующих на звено 1, относительно точки О₁:

откуда Н.

Реакцию = — по величине и направлению оп­ределяем путем построения плана сил (рис. 21), дейст­вующих на звено 1, согласно векторному уравнению

.

Масштаб плана сил принимаем Н/мм.

Рис. 21

 

Рис. 22

Из плана Н.

Полученные искомые величины реакций и уравновеши­вающей силы в соответствующих кинематических парах вносим в таблицу 5:

Таблица 5

,Н	, Н	, Н	,Н	, Н	, Н	, Н	,Н
44	44	40	104	115	130	100	9,3

3.3 Определение уравновешивающей силы методом Жуковского

Уравновешивающую силу, приложенную к ведущему звену механизма, можно определить на основании теоремы Н. Е. Жуковского о жестком рычаге, суть которой заключается в следующем: «Если какой-либо механизм с од­ной степенью подвижности под действием внешних сил, находится в равновесии, то в равновесии находится и повернутый на 90° план скоростей этого механизма, рассматриваемый как жесткий рычаг, вращающийся вокруг полюса р, и нагру­женный теми же силами, приложенными в одноименных точках».

План скоростей, повернутый на 90^°, с приложенными к нему внешними силами и силами инерции называют рычагом Жуковского.

Пример 8. Определить уравновешивающую силу, приложенную в точке А кривошипа О₁А методом Н.Е. Жуковского для механизма, изображенного на рис. 15. Значения внешних сил и сил инерции взять из примера 7.

Решение. Строим в произвольном масштабе повернутый на 90° план скоростей механизма (рис. 23). Для удобства прини­маем масштаб = 0,00285 [м/с·мм], при этом длины векторов повернутого плана скоростей увеличатся вдвое по сравнению с векторами построенного ранее плана ско­ростей. Переносим на этот план заданную силу производственного сопротивления , силы веса G₂, G₃, G₄, G₅, силы инерции , , , . Перечисленные силы (рис. 15) переносим параллельно самим себе и прикладываем в одноименных точках повер­нутого на 90° плана ско­ростей: силы , , G₅ - в точке е плана; силы и G₂ - в точке s₂; силы и G₃ - в точке s₃; силы и G₄ - в точке s₄. Пары сил и , и , и от моментов инерции , и также переносим в одноименные точки, но так, чтобы направление вращения пары сил совпадало с направлением соответствующего момента. Так, например, пара сил и , приложенная в точках а и b, вращает отрезок а b плана по часовой стрелке и момент инерции также имеет направление по часовой стрелке. Пару сил и переносим в точки b и р, направление вращения пары сил – по часовой стрелке; пару сил и переносим в точки d и e, направление вращения – по часовой стрелке.

В точке а пла­наперпендикулярно к вектору pa прикладываем силу , причем направление выбираем произвольно.

Составляем уравнение моментов всех перенесенных на план скоростей сил от­носительно полюса р:

откуда:

 

где длины плеч измеряем на чертеже в миллиметрах.

Так как численное значение уравновешивающей силы получили положительное, то направление было выбрано верно.

Сравним величины уравновешивающих сил, полученных силовым расчетом механизма () и с помощью рычага Н.Е. Жуковского (), и вычислим относительную погрешность, приняв за основу результат, полученный с помощью рычага Жуковского:

,

Относительная погрешность в вычислениях не превысила допустимой.

 

Рис. 23

Вопросы для самоконтроля.

1. Три этапа анализа механизмов и машин.

2. Задачи структурного анализа рычажных механизмов с низшими кинематическими парами по Ассуру.

3. Подвижность механизма. Формула Чебышева для определения подвижности плоского механизма.

4. Первичный механизм и группы Ассура. Класс и порядок механизма.

5. Задачи кинематического анализа механизма. Кинематические характеристики передаточные функции (аналоги скоростей и ускорений) механизма.

6. Кинематический анализ рычажных механизмов методом планов положений.

7. Кинематический анализ рычажных механизмов методом векторных уравнений и их графическое решение в форме планов скоростей и ускорений.

8. Прямая и обратная задачи динамики.

9. Динамические параметры механизма.

10. Силы, действующие в механизмах и их классификация.

11. Силы в кинематических парах без учета трения.

12. Инерционная нагрузка звеньев механизма.

13. Задачи, метод и последовательность кинетостатического анализа.

14. Кинетостатический расчет графоаналитическим методом планов сил.

15. Уравновешивающая сила (момент) и ее расчет по Жуковскому Н.Е.

 

 

Литература

1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1975. 638 с.

2. Иванов М. Е, Павленко В.С. Теория механизмов и машин. Решение задач по структуре, кинематике и кинетостатике плоских рычажных механизмов. Киев:«Вища школа», 1977. 48 с.

3. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин /Кореняко А.С. и др./ под ред. А.С. Кореняко. Изд. 5-е.: Киев: «Вища школа», 1970. 330 с.

4. Матвеев Ю.А., Матвеева Л.В. Теория механизмов и машин: Учебное пособие.- М.: Альфа-М: ИНФРА-М, 2009. 320 с.

5. Махова Н.С., Поболь О.Н., Семин М.И. Основы теории механизмов и машин: учебное пособие для технических вузов. М: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2006. – 287 с.

6. Теория механизмов и машин: Учебник для втузов /К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др. / Под ред. К.В. Фролова. Изд. 5-е М.: Высш. шк., 2005. 496 с.