Точность при периодических воздействиях

В случае полиномиальных воздействий x (t), n (t) точность САУ в установившемся режиме определяется коэффициентами ошибок. Такой путь неприемлем в случае периодических воздействий x (t), n (t) (рис. 2.51).

Рис. 2.51. Периодическое воздействие и его частотный спектр

В этом случае число членов ряда в разложении

e _уст(t) = c ₀ x (t) + c ₁ x ⁽¹⁾(t) +... + c_mx ^(m)(t) + d ₀ n (t) +... + d_ln ^(l)(t)

должно было бы быть бесконечным, так как задающий (и/или возмущающий) сигнал не является медленно меняющимся (для медленно меняющегося сигнала все производные по времени, начиная с некоторого номера, равны нулю).

Если сигнал x (t) – периодический, т. е. x (t+T) = x (t), где T – период, то он может быть представлен в виде ряда Фурье

x (t) = S A_k sin (w _kt +y _k), w _k = 2p k/T.

Периодический сигнал характеризуется спектром. Спектр – совокупность гармонических колебаний, на которые может быть разложено данное сложное колебательное движение. Составляющие спектра - обертоны (гармоники). Для периодического сигнала спектр включает обертоны с частотами, кратными основной частоте w =2p/ T. Если ввести величину А ² =1/ T ò x ²(t) dt, то А ² – есть средняя мощность на периоде, А ² = S А_k ², А_k ² – характеризуют распределение мощности по частотам.

Ge/x (p)

Aksin (w kt +y k )

Ak | Ge/x (i w k)| sin (w kt +y k +a k)

 

Ошибка по полезному сигналу

e_x (t) = [1 - G_y/x (p)] x (t) = G_e/x (p) x (t), x (t) = S A_k sin (w _kt +y _k).

Согласно принципу суперпозиции, выходной сигнал e_x (t) можно рассматривать как сумму реакций на каждую из отдельных составляющих входного сигнала:

e_x (t) = S A_k ½ G_e/x (i w _k)½ sin (w _kt + y _k + arg { G_e/x (i w _k)}).

Для анализа точности по полезному сигналу нужно знать АЧХ (амплитудно-частотную характеристику) и спектр сигналов. Сопоставление спектра и АЧХ позволяет оценить точность (рис. 2.52).

Рис. 2.52. Сопоставление АЧХ и частотного спектра воздействий

Проанализируем, при каких условиях система имеет высокие точностные показатели.

L (w)=20 lg | G _раз(i w)|

 

e_x (t) = S A_k /½1+ G _раз(i w _k)½ x (t)

w_ср4 72MrGEIhNxq6GMdcytB06ExY+RGJu08/ORM5Tq20kzkx3A1ynSRKOtMTP3RmxKrD5mt/dBpcKqtq 2cbnus3mbf3y8XR2r2etr6+WxwcQEZf4N4ZffVaHkp0O/kg2iEGDyjLFUw3rWxDc32cqBXHgrECW hfzvX/4AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAA AAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAgTPK2TsCAAB1BAAADgAAAAAAAAAA AAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAELSK1dsAAAAHAQAADwAAAAAA AAAAAAAAAACVBAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAJ0FAAAAAA== " o:allowincell="f"> w

частота среза w_c: L _раз(w_c) = 0.

При w << w_c: L _раз(w) >> 0, т. е. A ₀ A ₁

½G_раз(iw)½>> 1. A_k

w w

На практике всегда можно выделить полосу частот, где x (t) существенно зависит от w, т. е. при w > w⁺: A_i» 0 (спектр ограничен). w⁺ определяет полосу частот, существенных для сигнала x (t). Чтобы обеспечить точность отработки полезного сигнала, необходимо выполнить условие:

w_с >> w⁺.

Такимобразом, полоса пропускания (w_c) должна быть достаточно большой, чтобы пропустить на выход (не отфильтровать) все существенные гармоники полезного сигнала. Чем шире полоса пропускания (чем больше частота среза), тем больше составляющих «пройдут» на выход без искажения (и тем меньше будет ошибка отработки полезного, задающего воздействия).

«Вспомним» теперь о том, что кроме полезного сигнала в системе действует возмущение. Сигнал помехи в случае ее циклического характера аналогичным образом может быть представлен (разложен) в виде ряда Фурье:

n (t) = n (t+T)=S B_k sin(w _kt +y _k).

 

 

Сигнал ошибки, обусловленный помехой, имеет вид:

e_n (t) = -S B_k ½ G_y/n (i w _k)½sin(w _kt + y _k + arg{ G_y/n (i w _k)})

Чтобы выполнить требование e_n (t) ® 0, необходимо, чтобы выполнялось условие ½ G_y/n (i w)½» 0.

Рассмотрим наиболее простую ситуацию, когда помеха действует на входе (рис. 2.53).

Рис. 2.53. Возмущение на входе системы

Видим, что те составляющие, для которых ½ G _раз(i w _k)½» 0, не вносят погрешностей в систему. Если для всех составляющих w _k спектра помех ½ G _раз(i w _k)½» 0, то все в порядке. Итак, в этом случае желательно, чтобы выполнялось условие

w_с << w^-,

где w^- - нижняя граница спектра сигналов возмущения.

Пусть w^- _n - нижняя граница спектра помех, а w⁺ _x - верхняя граница спектра полезного сигнала. Тогда свойства системы должны быть такими, чтобы выполнялось условие

w⁺ _x << w_с << w^- _n.

Рис. 2.54. Проверка условия w⁺_x << w_с << w^-_n

Такой расклад (задаваемый сигнал низкочастотный, а помеха высокочастотная) получается не всегда. Может происходить наложение спектров (рис. 2.55). Те гармоники, для которых не выполняется условие w⁺ _x << ^-w_с << w^- _n, и приводят к ошибке.

 

 

 

А₀ А₁ А₂ B₁ А₃ B₂ А₄ B₃ B₄

 

w_ср w

Рис. 2.55. Наложение спектров «полезного» сигнала и возмущений

В этом случае нужно менять элементы системы, принцип управления. Иначе высокой точности не добиться.

Замечание. Приведенные рассуждения относятся, конечно, к установившимся режимам и установившимся ошибкам. Рассматриваемые процессы не обязательно должны быть периодическими (т. е. гармоники могут быть произвольными, не кратными):

x (t) = S A_k sin (w _kt +y _k), w _k ¹ 2p k/T.

 

Тест (15 мин)

1. Для заданного звена построить график y (t) при x (t) = 1[ t ].

2. Для системы, заданной уравнениями

построить структурную схему и определить передаточные функции G_y/z, G_y/n.

3. Определить передаточную функцию G_y/x

Фильтрация сигналов

Фильтрацию обычно применяют для отделения информативного сигнала от возмущений. Для предварительной обработки сигнала и его последующего анализа используют фильтры трех основных типов: фильтры нижних частот, фильтры верхних частот и полосовые фильтры.

Фильтр нижних частот (рис. 2.56) пропускает низкочастотные составляющие сигнала, подавляя составляющие на частотах выше граничной частоты (частоты среза).

Рис. 2.56. Пассивный R-C -фильтр нижних частот:
схема и частотная характеристика

Фильтры верхних частот (рис. 2.57) в основном используют для исключения собственного низкочастотного шума датчиков или других нежелательных частотных составляющих сигнала перед проведением анализа. Эти составляющие, хотя и не представляют интереса с точки зрения проводимого анализа, могут существенно перегрузить измерительное устройство, вызывая уменьшение его динамического диапазона.

Рис. 2.57. Пассивный R-C-фильтр высоких частот: схема и частотная характеристика

Полосовые фильтры применяют для выделения определенных полос частот. Применение фильтрации особенно важно, если измерения проводят в широком динамическом диапазоне значений сигнала. Если в спектре сигнала, например, присутствуют составляющие, как с большими, так и с малыми амплитудами, то их нельзя оценить с одинаковой точностью ввиду ограничений на динамический диапазон измерительного устройства. В таких случаях может потребоваться «вырезать» составляющие с большой амплитудой, чтобы повысить точность анализа оставшихся компонент сигнала.

Качество САУ

Стандартные требования к САУ, определяющие ее качество:

а) замкнутая система должна быть устойчива и иметь необходимые запасы устойчивости;

б) ошибка отработки заданных воздействий не должна превышать пороговую величину;

в) время переходного процесса должно быть не больше заданного.

Указанные характеристики могут быть оценены по переходной характеристике системы (замкнутой) и/или по логарифмической амплитудно-частотной характеристике разомкнутой части системы.

Переходная характеристика - реакция системы на единичный скачок (ступеньку), поданный в начальный момент времени при нулевых начальных условиях. Определить переходную характеристику можно различными способами:

а) с помощью преобразования Лапласа

 

Обратное преобразование Лапласа можно определить, например, по таблице преобразований Лапласа.

б) интегрированием дифференциального уравнения с известной правой частью x (t) = 1 при нулевых начальных условиях.

в) экспериментально: подаем на вход ступеньку и измеряем выходной сигнал.

В качестве характеристик переходного процесса указывают вид, время переходного процесса, перерегулирование, количеством колебаний до входа в ± 5% зону.

По виду различают апериодический без перерегулирования (1), апериодический с перерегулированием (2) и колебательный (3) переходный процесс (рис. 2.58).

0,95

1,05

y 2

t

Рис. 2.58. Вид переходного процесса:
1 – апериодический без перерегулирования;
2 – апериодический с перерегулированием; 3 – колебательный

В целом ряде систем перерегулирование недопустимо (например, при наличии препятствий в рабочей зоне манипулятора). С другой стороны, процесс (2) предпочтительней с точки зрения времени.

Время переходного процесса t _пп определяется моментом, когда процесс входит в ± 5% зону от установившегося уровня и не покидает ее.

Перерегулирование d = (y_max - y ₀)/ y ₀ < 0,1...0,2.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы (ЛАХ) позволяет определить время переходного процесса, оценить устойчивость и полосу пропускания системы.

Время переходного процесса оценивается по частоте среза системы w_спо формуле t _пп» (5...10)/ w_с.

Система обладает нужными запасами устойчивости, если угол наклона ЛАХ в районе частоты среза равен -20 дБ/дек, и если длина участка с таким наклоном не меньше декады.

Полоса пропускания также оценивается по частоте среза.

 

Тест (15 мин). Найти передаточные функции G_y/x (p), G_y/n (p), коэффициенты ошибок по положению и скорости для сигналов x (t), n (t), значение установившейся ошибки при x (t) = 3 t + 2, n (t) = t + 1, построить ЛЧХ разомкнутой системы, найти запасы устойчивости по амплитуде и фазе, учитывая уравнение объекта управления: