Обучение детей элементам вычислительной деятельности

Издавна среди учителей и методистов обсуждался вопрос о том, с чего надо начинать обучение вычислениям: с числового примера или с арифметических задач. Одни доказывали необходимость начинать обучение с числового примера, на котором проще показать прием вычисления, другие — с арифметических задач.

В настоящее время школа одновременно дает задачи и числовые примеры, на основе которых составляются простейшие задачи. Так, опираясь на умения детей увеличивать или уменьшать число на единицу, дается задание начертить отрезок длиной 5 см (а не в 5 клеточек), а затем увеличить его длину на 1 см. Это задание дальше превращается в задачу — ставится вопрос: «Какой же длины стал отрезок?» Дети выполняют задание, объясняют, как они делали, и отвечают на вопрос задачи.

Другой пример. Дается задача: «Мальчик должен был сделать 3 флажка, а он сделал на 1 флажок меньше. Сколько флажков сделал мальчик?» Дети анализируют структуру задачи и записывают арифметическое действие в виде числового примера.

В практике работы дошкольных учреждений принято знакомить детей с арифметическими действиями и приемами вычисления на основе простых задач, в которых отражаются действия самих детей. Задача помогает детям понять, например, смысл нахождения суммы по двум слагаемым. Разнообразие же задач на сложение и вычитание способствует постепенному осознанию смысла постоянно употребляемых терминов: прибавить, отнять, получится, останется, т. е. осознанию смысла арифметических действий.

Особенности усвоения детьми сущности арифметической задачи.

Усвоение самой простой задачи требует анализа ее содержания, выделения числовых данных, осмысливания отношений между ними, а стало быть, и тех действий, которые должны быть совершены. Решая задачу, ребенок должен подняться от простого различения численности окружающих предметов и явлений к осознанию сложных количественных отношений между ними.

Не сразу, как показали исследования, дети осознают и саму структуру задачи. Этому должно способствовать обучение. Вслед за пониманием условия задачи, отличающейся от рассказа и загадки, дети должны осмыслить отношения между числовыми данными.

Особую сложность для детей представляет постановка вопроса к задаче. Чем обусловлена эта трудность? Вопрос определяет сущность задачи, направляет мысль на осознание отношений между числовыми данными, помогает осмыслить характер эмпирического действия и найти соответствующее арифметическое действие, которое должно быть произведено. Но вопрос содержит две стороны: социально-бытовую и арифметическую. Ребенок их еще не дифференцирует и воспринимает вопрос к задаче как личное обращение к себе. Он привык, что, когда его спрашивают, надо отвечать на вопрос, а не повторять его. Поэтому, повторяя задачу, дети, как правило, не воспроизводят вопрос, а сразу включают ответ в задачу; они спешат дать ответ на вопрос. Иной функции вопроса они еще не знают. Чтобы раскрыть новую для детей сторону вопроса — арифметическую, надо опереться сначала на то, что уже известно детям, поставить каждого из них в положение придумывающего задачу, решить которую должны его слушатели. В такой ситуации необходимость вопроса для задающего задачу станет очевидной. Осмыслить значение вопроса в арифметической задаче помогает также и разный характер вопросов. Постепенно дети должны уяснить, что вопрос направляет внимание на отношения между числовыми данными и понимание того, что требуется узнать в задаче.

Решение разнообразных задач должно подвести детей к пониманию сущности арифметических действий, к пониманию того, что в этих действиях над числами обобщается многообразная практическая деятельность людей с множествами. Она получает отражение в таких обобщенных понятиях, как прибавить, вычесть, получится, равняется и др., при этом сами числа являются показателями мощности множеств. Усвоение всех этих математических терминов поднимает мысль детей до обобщения эмпирических практических действий.

Усвоение детьми значения суммы также происходит не сразу. Вначале она понимается как практическое объединение множеств. Однако сумма — это лишь мысленное сложение чисел. Поэтому предварительная работа по объединению разных подмножеств в единое множество, по выделению правильной части множества и т. д. имеет существенное значение в подготовке детей к усвоению смысла арифметических действий.

Усвоению элементарных приемов вычисления (присчитывания и отсчитывания по единице) с п о с о б -ствует понимание детьми последовательности чисел и натурального ряда, взаимно-обрат-

ных отношений между смежными числами и отношений числа к единице (количественный состав числа из единиц). Поэтому так много внимания и уделяется этим вопросам при обучении детей счету. Вот почему дети, не овладевшие пониманием этих отношений, как правило, не могут подняться до усвоения приемов вычислительной деятельности, находясь все время на уровне практической деятельности счета (дети пересчитывают оба слагаемых или считают остаток). Решение задач по представлению недоступно этим детям, ибо оно требует умения мысленно разбить число на единицы, отчетливого понимания отношений между смежными числами в прямом и обратном порядке.

§ 5. Способы обучения детей решению арифметических задач в детском саду

Отбор числовых Д^ля ознакомления детей с задачами, арифме-данных из таблицы тическими действиями и способами решения сложения. необходимо прежде всего определить, на каких числовых данных должны строиться задачи.

В «Программе воспитания» указывается, что арифметические действия сложения в детском саду ограничиваются случаями, когда к большему числу прибавляется меньшее, а действия вычитания — когда вычитаемое меньше остатка.

Чтобы понять эту оговорку в программе, необходимо проанализировать таблицу сложения в пределах 10 и выяснить, чем обусловлено выделение именно этих случаев.

Таблица сложения

I часть II часть

1+1	2+1	3+1	4+1	5+1	6+1	7+1	8+1	9+1
1+2	2+2	3+2	4+2	5+2	6+2	7+2	8+2
1+3	2+3	3+3	4+3	5+3	6+3	7+3
1+4	2+4	3+4	4+4	5+4	6+4
1+5	2+5	3+5	4+5	5+5
1+6	2+6	3+6	4+6
1+7	2+7	3+7
1+8	2+8
1+9

Таблицу сложения можно условно разделить на три части. Первая часть — это те случаи, когда сумма не превышает чисел первого пятка. Вторая часть — когда к большему числу прибавляется меньшее или число, равное первому слагаемому (3 + 3, 4 + 4, 5 + 5). И третья часть — когда к меньшему числу прибавляется большее.

В первый десяток входит столько же случаев вычитания, сколько и сложения: из суммы вычитается второе слагаемое: 5 + 2 = 7; 7 — 2 = 5; 5 + 3 = 8; 8 — 3 = 5и т. д.

Первая строчка таблицы является не чем иным, как раскрытием в арифметическом действии отношений между натуральными числами в прямом порядке, а при вычитании единицы раскрываются отношения между смежными числами в обратном порядке:

1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 7+1 8+1 9+1 2—1 3—1 4 — 1 5 — 1 6 — 1 7 — 1 8—1 9—1 10 — 1

Вторая и третья строчки таблицы сложения и вычитания включают в основном случаи, когда в сложении к большему числу прибавляется меньшее, а при обратном действии вычитаемое число меньше остатка или равно ему.

Например: 4-2 5-2 6-2 7-2 8-2 9-2 10-2

6-- 3 7 — 3 8 — 3 9 — 3 10 — 3

В первую часть таблицы входят случаи сложения и вычитания в пределах первого пятка. Но обычно эти пять случаев сложения и четыре случая вычитания, как действий, обратных сложению, дети легко запоминают и не решают путем отсчитывания по одному. А если дети и пользуются этими приемами, разложение числа два и три на единицы и их присчитывание и отсчитывание не представляет трудности. Поэтому первые три строчки таблицы сложения и обратных сложению случаев вычитания и отбираются для обучения детей вычислительной деятельности.

Поскольку в детском саду дается в основном лишь один прием вычисления — присчитывание и отсчитывание по единице, то второе слагаемое или вычитаемое, выражаемое числом два или три и лишь в отдельных случаях числом четыре (5 + 4, 6 + 4, 9 — 4, 10 — 4), легко разбивается на единицы и легко присчи-тывается и отсчитывается.

Что же касается третьей части таблицы сложения, которую будут изучать в школе и в которой большее число прибавляется к меньшему, то ознакомление учащихся с приемом перестановки слагаемых позволит упростить решение и этих случаев: при перестановке слагаемых все они становятся теми случаями, которые входят во вторую или первую часть таблицы (2 + 6, 6 + + 2; 3 + 7, 7 + 3 и др.). Вот почему изучение первой и второй части таблицы имеет особое значение, и нет необходимости спешить в детском саду с переходом к изучению третьей части.

На какие же законы и свойства арифметических действий опираются вычислительные приемы?

Прием присчитывания опирается на сочетательное свойство сложения. Известно, что результат не меняется, будем ли мы

прибавлять число сразу или разобьем его на меньшие числа и будем прибавлять по единице.

Например: 4 + 3 = 4+1 + 1 + 1=4 + 2+1 =7.

Однако прибавлять или отнимать по единице на первых этапах обучения проще, поскольку увеличение и уменьшение числа на единицу опирается на счет, на понимание детьми взаимно-обратных отношений между числами натурального ряда.

Выделение случаев сложения, когда вторым слагаемым являются числа один, два, три, которые прибавляют к числам первого десятка, не выходя за его пределы, обусловлено необходимостью обеспечить доступность и последовательность в обучении.

Следует отметить, что вычитание изучается параллельно сложению и вычитать надо те же числа один, два, три, пользуясь приемом отсчитывания по одному.

Планирование

работы

по изучению задач

и арифметических

действий.

Изучение особенностей усвоения детьми вычислительной деятельности позволяет планировать работу с детьми, дозируя программный материал.

В обучении решению задач наметились два последовательных этапа. 1 этап. Детям рассказывают, что такое задача, показывают, как она составляется, объясняют, из каких компонентов она состоит, т. е. знакомят с ее структурой (условием, в котором раскрываются отношения между числовыми данными задачи, и вопросом). Детей обучают умениям повторить задачу в целом и по основным частям, самостоятельно поставить вопрос, правильно ответить на него, решив задачу. Детей знакомят со способами решения задач, с теми арифметическими действиями, которые нужно произвести, чтобы найти решение, учат формулировать эти действия (сложение и вычитание). Дети учатся практически различать компоненты этих действий: в действии сложения слагаемые (первое и второе), в действии вычитания — уменьшаемое и вычитаемое. Чтобы сосредоточить внимание детей на указанных вопросах, целесообразно на этом этапе ограничиться простейшими числовыми данными, которые бы не вызывали у детей затруднений (прибавление числа один ко всем числам первого десятка и обратное действие вычитания).

Дети легко решают эти задачи, так как они опираются на знания последовательности чисел натурального ряда и убывающей последовательности натуральных чисел.

Однако внутри этого этапа целесообразно сохранить некоторую постепенность. Так, при изучении структуры задачи дети учатся вначале давать лишь правильный ответ на вопрос задачи, но от них еще не требуется формулировать арифмети-

ческое действие. И только после этого дети учатся различать и формулировать действия сложения и вычитания и различать компоненты этих действий, учатся «записывать» их при помощи карточек с цифрами и знаками.

На II этапе в задачи вводятся более сложные числовые данные, когда вторым слагаемым и вычитаемым становится сначала число два, а затем число три. На этом этапе главная задача — научить детей приемам вычисления путем присчитывания и отсчитывания по одному. Дети разбивают второе слагаемое на единицы н, не пересчитывая первого слагаемого (им число известно из задачи), присчитывают к нему второе слагаемое по одному. Аналогично этому при вычитании они из уменьшаемого отнимают по одному вычитаемое (из шести вычесть два: шесть без одного —пять, пять без одного — четыре. Значит, из шести вычесть два, получится четыре).

Следует отметить, что воспитатели нередко сами допускают ошибки, воспринимая слова считать и присчитывать как синонимы. Счет, как деятельность, направленная на определение всех элементов множества, всегда начинается с числа один. Присчитывание же есть способ вычисления, когда к какому-либо известному числу прибавляется другое число, как бы в дополнение к нему, поэтому, поскольку первое слагаемое заранее известно, к нему надо присчитать по частям (в данном случае по единице) второе слагаемое. Иллюстрация способа решения задачи должна способствовать усвоению именно приема присчитывания (отсчитывания), а не счета. Поэтому рекомендуется после показа множества предметов, представляющего пер-вбё слагаемое (уменьшаемое), спрятать эти предметы (грибы — в корзину, карандаши — в коробку) или закрыть первое слагаемое (уменьшаемое) платочком, как это рекомендует Г. В. Бель-тюкова для первоклассников, или, оставив первое слагаемое открытым, назвать его, обводя круговым движением. В этом случае закрепляется необходимость помнить численность данного множества и к нему прибавлять второе слагаемое по единице.

Внутри второго этапа также необходимо соблюдать постепенность: сначала научить прибавлять и отнимать число два, т. е. изучить вторую строчку таблицы сложения и обратные случаи вычитания, а затем перейти к прибавлению и отниманию числа три по одному, т. е. изучить третью строчку таблицы. Этим можно и ограничиться в подготовительной группе. Но, конечно, не возбраняется изучить и четвертую строчку таблицы — прибавление и отнимание числа четыре — тоже сначала путем присчитывания и отсчитывания по одному: но здесь можно показать детям н другой прием — присчитывание и отсчитывание сразу группою по два, поскольку дети уже изучили- вторую строчку таблицы сложения и запомнили многие результаты. Однако спешить с этим не следует: гораздо важнее, чтобы у детей

сформировались прочные, вполне осознанные навыки присчитывания и отсчитывания по одному второго слагаемого.

Намеченная постепенность и последовательность в изучении вычислительной деятельности является целесообразной — обеспечивается системность в усвоении новых знаний при отсутствии какой-либо излишней перегрузки. Приобретение новых знании и радость, которую испытывают дети, видя свои успехи, создает у них все большую заинтересованность занятиями по счету.

Дети, усвоившие программный материал подготовительной группы, вполне готовы к изучению арифметики в I классе, поскольку процесс обучения в детском саду способствует не только усвоению определенных знаний и умений детей, но и их общему развитию: формированию интереса к счету и эмоционально положительного отношения к изучению арифметики; стимулированию и развитию умственных действий (анализ, синтез, обобщение в единстве с конкретизацией, умение оперировать элементарными понятиями, абстракциями).

Известно, что задачи делятся на простые и составные. В простой задаче — одно действие, в составной — несколько действий.

В некоторых простых задачах арифметическое действие как бы непосредственно вытекает из содержания. Например: «У Леши было четыре красных флажка, ему дали еще один синий флажок. Сколько флажков стало теперь у Леши?» Слово дали само по себе свидетельствует о том, что количество флажков у Леши увеличилось, значит, надо произвести действие сложения.

В других же задачах, чтобы найти арифметическое действие, которое следует произвести, надо содержание задачи подвергнуть более глубокому анализу. Например: «В графине была вода. Когда вылили пять стаканов, остался один стакан воды. Сколько же воды было в графине?» В задаче говорится, что воду вылили, количество воды в графине уменьшилось, а чтобы ответить на вопрос задачи, надо произвести действие сложения.

Таким образом, если в одних задачах вопрос как бы подсказывает действие, которое надо совершить, то в других задачах вопрос как бы противоречит излагаемому содержанию; он требует восстановить прежнюю ситуацию.

Тем не менее оба вида этих задач вполне доступны детям подготовительной группы, но в известной последовательности. Сначала детей следует учить решать задачи первого вида. По мере же осмысливания сущности арифметических действий и усвоения способов решения допустимо решение и задач второго вида, но сначала с облегченными числовыми данными (когда второе слагаемое или вычитаемое является единицей).

Не следует спешить и с самостоятельным составлением устных задач детьми: главное, чтобы дети поняли, что такое задача, разобрались в ее структуре.

Виды наглядного

материала,

используемого

для решения задач.

По характеру используемого материала задачи условно могут быть разделены на задачи-драматизации, задачи-картинки, задачи-иллюстрации. Каждая разновидность этих задач обладает своими особенностями и раскрывает перед детьми те или иные стороны (роль тематики, сюжета, характера отношений между числовыми данными и др.), а также способствует развитию умения отбирать необходимый жизненный материал, учит логически мыслить.

Особенность задач-драматизаций состоит в том, что содержание их непосредственно отражает жизнь самих детей, то, что дети только что делали или обычно делают. Например, по заданию воспитательницы Саша приносит четыре флажка и ставит в бокал, а Лена приносит один флажок и держит его в руках. «Что можно рассказать про Сашу и Лену?» Дети составляют рассказ-условие. «А что можно узнать из этого рассказа?» — «Можно узнать, какого цвета флажки принес Саша, какого Лена, где они их взяли».— «Но тогда это не задача, а рассказ. В задаче же на вычисление всегда хотят узнать о количестве. Поэтому какой вопрос можно поставить в задаче про Сашу и Лену?» — «Сколько флажков они принесли вместе?»

В задачах-драматизациях наиболее наглядно раскрывается их смысл. Дети начинают понимать, что в задаче всегда отражается конкретная жизнь людей. Еще К. Д. Ушинский писал: «Задачи выбираются самые практические, из жизни, с которой дети знакомы, и у хороших преподавателей дело выходит так, что арифметическая задача есть вместе весьма занимательный рассказ, урок сельского хозяйства или домашней экономии, или историческая и статистическая тема и упражнение в языке» '.

Приучая детей вдумываться в соответствие содержания задачи реальной жизни, мы способствуем более глубокому познанию жизни, учим детей рассматривать явления в многообразных связях, включая количественные отношения.

Задачи-драматизации особенно ценны на первом этапе обучения: дети учатся составлять задачи про самих себя, рассказывать о действиях друг друга, ставить вопрос для решения. Структура задачи становится доступной детям.

Задачи-картинки готовятся заранее, некоторые из них издаются. Эти задачи могут быть различными. На одних из них все предопределено: и тема, и содержание, и числовые данные. Например, на картине нарисованы три елки и один пенек.

¹ К- Д. Ушинский. Собрание сочинений, т. 3. М.— Л., Изд-во АПН РСФСР, 1948, стр. 532-533.

С этими данными можно составить лишь несколько вариантов задач. «На поляне растут три елки, а одну срубили, остался только пенек. Сколько елок росло на поляне?» Так чаще всего и формулируют задачу дети. Можно ее составить и несколько иначе: «На поляне росли елки. Когда срубили одну, остались три елки. Сколько вначале было елок на поляне?»

Но задачи-картинки могут иметь и более динамичный характер. Например: дается картина-панно с фоном озера и берега; на берегу нарисован лес. На изображении озера, берега и леса сделаны надрезы, в которые можно вставить небольшие контурные изображения разных предметов. К картине прилагаются наборы таких предметов, по 10 штук каждого вида: уток, грибков, зайцев, птиц и других. Таким образом, тематика и здесь предопределена, но числовые данные и содержание задачи можно в известной степени варьировать (утки плавают, выходят на берег, их может подстрелить охотник и др.) так же, как создавать различные варианты задач о грибах, зайцах, птицах (см. цветной рис. 6).

Создать задачу-картинку может и сама воспитательница. Она изображает схематически задачу, предлагая детям придумать условие. Например, рисует вазу, на которой лежат пять яблок, и одно яблоко на столе около вазы. Дети могут составить задачи на сложение и вычитание.

Особое место в системе наглядных пособий занимают задачи-иллюстрации. Если в задачах-драматизациях все предопределено, если в задачах-картинках имеются лишь частичные ограничения тематики, сюжета и числовых данных, то в задачах-иллюстрациях при помощи игрушек создается простор для разнообразия сюжетов, для игры воображения (в них ограничиваются лишь тематика и числовые данные). Например, на столе слева стоят пять уток, а справа — один селезень. Содержание задачи (условие ее) может варьироваться, отражая знания детей об окружающей жизни, их опыт. Эти задачи стимулируют припоминание интересных случаев, развивают воспроизводящее воображение, учат по памяти отбирать факты в их логических связях, развивают у детей умение самостоятельно придумывать задачи, подводят их к решению и составлению устных задач.

Таким образом все перечисленные наглядные пособия способствуют усвоению смысла и сущности арифметической задачи, ее структуры.

Методические