Развитие у детей первых математических знаний о множестве, числе и счете

Задача обучения детей первоначальным математическим зна­ниям и умениям заключается в том, чтобы выделить наиболее существенные из них, которые обеспечивали бы общее развитие способностей к самостоятельному нахождению связей в усваи­ваемых знаниях и умениях.

Чтобы раскрыть существенные особенности предметов и яв­лений, показать их в разных взаимозависимостях, необходимо подвести детей к общим закономерностям.

Как же подвести детей к пониманию математических взаимо­связей и взаимозависимостей, к формированию простейших ма­тематических понятий? Когда и на каком этапе развития детей они могут быть усвоены?

В кратком историческом обзоре были раскрыты разные взгляды педагогов на то, как ребенок воспринимает число и как он овладевает счетом на начальных этапах своего развития.

Весьма распространенная прежде точка зрения симультанно­го восприятия группы, как врожденной способности, не оправ­дала себя. Ребенок действительно может опознать группу без счета, если она находится в едином поле зрения и является стан­дартной (два глаза, две руки, две йоги, пять пальцев и др.). Но при ином расположении этих же количеств данная группа не опознается детьми, например пять кукол, стоящих на столе в ряд, две чайные ложки, упавшие на пол, два окна на разных сте­нах комнаты и т. д.

Сторонники теории восприятия групп предметов, как мы ви­дели, пытались придать группе ту или иную стандартную фор­му, помогающую ее опознанию (числовые фигуры). Но в таких случаях опознавалась форма, а не количество. Необходимо было выяснить, верна ли была эта психологическая теория, ко­торая являлась основой монографического метода.

Другая психологическая теория, называемая теорией счета, исходила из иных фактов. По наблюдениям сторонников этой теории, дети, не имея никаких представлений о числах, однако рано запоминали и называли по порядку слова-числительные, иногда даже в большом объеме. Однако устно бегло «считая», они не могли определить численности предметов. Отсюда делал­ся вывод, что дети овладевают сначала смыслом порядка чисел, а не количества. Поэтому надо учить называнию числительных 54

по порядку, а затем уже соотнесению чисел с предметами. На такой точке зрения, как указывалось в главе II, стояли многие методисты XIX в., разделяющие теорию метода действий. Но по­скольку авторы имели дело лишь с детьми школьного возраста и не изучали особенности развития детей до восьми лет, они умо­зрительно полагали, что восприятие групп предметов и наиме-нозание группы числом характерно и для дошкольников.

Поэтому в советской дошкольной педагогике оставался неяс­ным целый ряд вопросов, весьма важных для разработки мето­дики обучения детей счету и числу до школы.

1. Что же такое счет: деятельность или операция? Какова его
структура и как овладевают счетом маленькие дети? Является
ли счетом устное называние по порядку слов-числительных?

2. Что такое число: представление или понятие? Если чис­
ло — понятие, то что является его чувственной основой и как со­
вершается у детей переход от представления к понятию числа?

3. Известно, что, пересчитывая предметы совокупности, дети
приходят к числу. Какую роль в таком случае играет в опреде­
лении числа прострапстаенный фактор?

4. В каких взаимоотношениях находятся число и счет, что
чему предшествует? Если это единство, а не тождество, то како­
ва структура этого единства?

На некоторые из этих вопросов мы уже можем дать ответ. Так, из истории происхождения числа и счета известно, что люди считали даже тогда, когда в их словаре не было еще никаких слов-числительных. Счет представлял собой в то время чисто практическое установление взаимно-однозначного соответствия между различными конкретными множествами (см. «Ручной счет», «Счет при помощи узлов на ремне», «Обмен товарами по принципу один к одному», «Счет при помощи зарубок» и т. д.). Что было главным в счете этого периода? Умение видеть каж­дую отдельность совокупности, не пропустить ее. А этому выде­лению во многих случаях помогало однородно повторяемое сло­во (например, у папуасов: бе-бе-бе-бе-бе = ибон-бе, т. е. рука).

Что же отражалось в сознании человека в процессе такого сравнения двух совокупностей? Равенство или неравенство чис-ленностей сопоставляемых совокупностей на основе установле­ния между ними взаимно-однозначного соответствия.

Отсюда следует вывод, что для первобытного человека пер­вичной была практическая деятельность сравнения двух сово­купностей и понимание равенства и неравенства между ними. Число же, появившееся значительно позднее, явилось продуктом практической деятельности человека с множествами. Рассмот­ренные нами стадии в развитии числа свидетельствовали о раз­вивающейся у человека потребности — все более точно определять численность совокупностей при их сопоставлении путем поэле­ментного сравнения.

Так постепенно сформировался и современный натуральный ряд чисел как совокупность различных классов множеств, именуемых разными числами, каждое из которых служит показа­телем своего индивидуального класса множеств (пять частей света, пять пальцев на руке, пять мерок в данной протяженности, пять мерок в исчислении времени и мн. др.). Общим для всего разнообразия привлеченных совокупностей является класс, име­нуемый числом пять. Следовательно, число есть показатель клас­са множеств, понятие класса.

Формированию этого понятия послужили представления о конкретных множествах, о действиях с ними и понимание того, что множества могут быть равными и неравными по численности.

Выводы: 1} Счет — это деятельность с присущими всякой дея­тельности признаками: наличием цели, средства — операция со-считывания и результата — в виде итогового числа как показа­теля определенного класса множеств.

2) Сущность деятельности счета состоит в том, что между
элементами конкретной совокупности и членами натурального
ряда чисел как стандартного множества чисел (каждое из кото­
рых является показателем определенного класса множеств)
устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

3) Специфика деятельности счета заключается в том, что опе­
рации совершаются с конкретными совокупностями, т. е. с конеч­
ными множествами, воспринимаемыми различными анализато­
рами (зрительным, слуховым, осязательным и др.). Тем самым
устное называние слов-числительных по порядку отнюдь не яв­
ляется деятельностью счета, поскольку отсутствует цель — пред­
мет счета (конкретные множества) и нет результата.

На протяжении многих лет оставалось неясным: как же фор­мируются первые представления о множестве? Какую роль в восприятии множества играет та или иная пространственная форма расположения множеств? Какую роль в формировании представления играют различные анализаторы? Как совершает­ся переход от представления о множестве к понятию числа как показателя класса множеств? Каково своеобразие усвоения дея­тельности счета детьми на разных возрастных этапах? Как фор­мируется у детей представление о натуральном ряде чисел?

Получить ответы на эти вопросы помогли психологические исследования, проведенные в Советском Союзе.

§ 1. Развитие у детей представлении о множестве¹

Уже в раннем возрасте у детей накапливаются представления о совокупностях, состоящих из однородных предметов: «Много кукол», «Три кубика», «Пять пальчиков на руке». Эти пер-

вые представления начинают обобщаться, отражаясь сначала в пассивной речи детей. Так, исследования показывают, что ребе­нок 1 года 3 мес. выполняет задание построить «маленький до­мик» или «маленькие домики», «большой домик» или «большие домики», принести «вагончик» или «вагончики», посадить «цве­ток» или «цветочки» (Л. Г. Калинина, В. В. Данилова и др.).

Малыш 1 года 6 мес., овладевая активной речью, называет отдельные предметы или их совокупности, пользуясь единствен­ным и множественным числом имен существительных: «Это ку­бик, это кубики»; «Домик—домики»; «Кукла — куклы»; «Дя­дя J_ дяди» и т. д. Детей этого возраста привлекают группы од­нородных предметов (шарики, пуговицы, кольца и др.). Они перебирают их, перекладывают, рассыпают, вновь собирают, раскладывают на столе по горизонтали, в виде кривой линии. Дети любят захватить много предметов в руку и, разжимая пальчики, наблюдать, как они рассыпаются (например, пугови­цы). Восприятию множественности предметов, явлений способ­ствует все окружение ребенка — множество людей, знакомых и незнакомых, множество двигающихся перед глазами ребенка предметов (дома, деревья, транспорт), однородно повторяющие­ся звуки, т. е. однородные шумы и звуки (тикающие часы, их бой). Разнообразие множественности предметов и явлений ребе­нок воспринимает различными анализаторами: слуховым, зри­тельным, кинестетическим и др. Он сам многократно произво­дил однородные движения: бросал из манежа одну и ту же игрушку, стучал ложкой по столу и т. д. Все эти виды однород­ных действий, впечатлений оставляли следы в коре головного мозга, суммировались. По этому поводу И. М. Сеченов писал: «...Частое повторение так называемых однородных воздействий должно вести за собой обособление той суммы путей, которая соответствует постоянным элементам впечатлений» ¹.

Первоначальное формирование представления о множествен­ности предметов и об их отдельности и создает основу для раз­личения детьми единственного и множественного числа имен существительных и прилагательных и раннее усвоение этой грам­матической формы при развитии речи.

В математике дается следующее определение понятия мно­жества: «Множество—это совокупность объектов, рассматрива­емых как одно целое»². Множества рассматриваются как ко­нечные, так и бесконечные. Маленькие дети имеют дело лишь с конечным множеством.

У ребенка па первых ступенях развития представление о мно­жестве еще весьма диффузно: оно не имеет четких границ и не

воспринимается элемент за элементом. Такое восприятие харак­теризует скорее неопределенную множественность, а не множе­ство как структурно-целостное единство; не осознается еще точ­но и количественная его сторона. Например, ребенок радуется, видя много одинаковых маленьких кукол или разноцветных пу­говиц в коробке. Однако, взяв несколько экземпляров, он тут же забывает об остальных. Маленькие дети не замечают также, если число элементов множества уменьшается и часть их исчезает. Этот уровень представления о множественности соответствует использованию в речи окончаний слов в единственном и множе­ственном числе: в них ведь не отражается точный количествен­ный состав.

Представление о неопределенной множественности характер­но для детей в возрасте до двух лет. В этом легко убедиться на таких жизненных примерах: ребенку предлагают убрать все ку­бики в коробку или собрать на столе все ложки и отнести их няне. Ребенок же ограничивается лишь тем, что убирает не­сколько кубиков или относит несколько ложек и считает задание выполненным («Ты все кубики убрал?» — «Все»,—отвечает он). Слово в-с-е для взрослого означает совокупность множества как структурно-целостного единства, а для ребенка слово все означает некую неопределенную множественность.

Дети трех лет часто уже воспринимают множество в его гра­ницах, однако четкое восприятие всех элементов множества еще отсутствует и у них, они не умеют следить за каждым эле­ментом множества.

Отсюда вытекает первый вывод: необходимо у маленьких де­тей сформировать представление о множестве как структурно-целостном единстве и научить видеть и четко воспринимать каж­дый элемент множества. Этому и нужно посвятить обучающие занятия в группах детей третьего и четвертого года жизни.

Однако переход от восприятия неопределенной множествен­ности к восприятию множества как структурно замкнутого цело­го является длительным процессом и имеет несколько этапов. Один из первых — это этап формирования множества как конеч­ного. На этом этапе внимание ребенка сосредоточивается глав­ным образом на «границах множества». Например, ребенку пред­лагают раздать тарелки всем пяти куклам, стоящим в ряд, или накормить их всех. Ребенок кормит лишь первую и пятую, не обращая внимания на промежуточные между ними. Однако он твердо убежден, что накормил всех. То же самое он делает, когда ему предлагается на карточку с четырьмя нарисованными в ряд грибками наложить грибки. Он закрывает грибками лишь крайние картинки: первую и четвертую, при этом задание свое ребенок считает выполненным полностью.

Подобные факты свидетельствуют, что для детей главным на этом этапе становится восприятие границ множества и действен­ное их обозначение.

В чем же причина возникшей перед ребенком трудности? Де­ло в том, что при восприятии множественности ребенок всегда действовал от какой-либо одной точки отсчета, например начи­нал от середины и раскладывал предметы в обе стороны от нее. Теперь, при восприятии структурно-целостного множества, по­явились две точки отсчета, и действия его изменились от концов к середине, как показывают наблюдения за движениями его рук и глаз. Изменившийся характер движения свидетельствует о пе­рестройке восприятия множества. Восприятие двух «конечных точек» множества стало главным, существенным для ребенка.

Концентрация внимания детей на границах множества есте­ственно ослабила внимание к восприятию всего состава элемен­тов: остальные элементы множества, кроме конечных, как бы не замечаются детьми.

Отсюда следует вывод: необходимо новое побуж­ден невзрослого, чтобы дети восприняли все промежуточные элементы множества между крайними. Однако это не сразу дается ребенку. Обычно при задании наложить предметы на рисунки, расположенные в ряд, ребенок начинает заполнять всю часть карточки между край­ними элементами, не накладывая каждый предмет на рисунок, а тесно прижимая предметы друг к другу, т. е. дети просто запол­няют площадь между крайними элементами, а не воспроизводят еще количество элементов. Точности воспроизведения элементов множества не всегда помогает и показ. Это свидетельствует о том, что восприятие количественного состава множества еще весьма диффузно.

Что же касается подражания показу, то известно, что форми­рование двигательного навыка путем подражания представляет еще большие трудности для маленького ребенка. Недостаточ­ность двигательного опыта, отсутствие необходимых зрительных и кинестетических связей приводят к тому, что зрительные впе­чатления еще не всегда могут вызвать у детей нужные двига­тельные ассоциации (А. В. Запорожец, Г. А. Кислюк и другие.).

Очень важно иметь в виду и следующие факты, вскрытые в исследованиях. При восприятии множественности дети исходят в своих движениях из одной точки, чаще всего расположенной ' центре множественности. Такому восприятию способствует собственная структура тела, в частности сагиттальное направле­ние рук (направо и налево). Дети обычно так и размешают предметы: направо — правой рукой, налево — левой рукой. При восприятии множеста как структурно-целостного единства по­являются уже две точки отсчета в движениях рук и глаз: от гра­ниц множества к его центру. Помережетого как дети осваивают эта две точки, исчезает необходимость фиксировать их обе. Действие начинается от одной из точек, а вторая уже не обозна­чается, но ребенок не выходит за границы площади между эти­ми двумя точками. При этом, если начальной точкой становится

правая граница множества, действие производится правой рукой справа налево и, наоборот, если начальная точка — левая гра­ница множества, ребенок действует левой рукой слева направо по всему ряду. Подобный стереотип движения складывается с двух-трех лет и сохраняется весьма долго. А поскольку правая рука с возрастом становится все более активной, характер дви­жения правой руки и глаз справа налево становится все более устойчивым. Нередко он сохраняется и в школьном возрасте, о чем можно судить по многим характерным ошибкам в распо­ложении букв в слове мама (ам-ам], в записи арифметических примеров 7 — 9 — 2; ошибки в решении примеров, какие приво­дятся А. С. Пчелко: 83 — 67 — 24; 52 — 28 =-36; 12 — 8 = 16 и мн. др. «А куда идет работающая рука, туда же идут сведен­ные друг с другом зрительные оси глаз» ',— пишет И. И. Сеченов,

Отсюда следует вывод: необходимо своевременно формировать движение правой руки и глаз слева направо в соответствии с пространст­венным расположением нашей письменности.

множества, распо­ложенного в виде числовой фигуры.

Своеобразие методике обучения арифметике издавна воз-восприятия детьми никал вопрос о роли числовых фигур в форми­ровании числа ².

Защитниками числовых фигур, как прави­ло, были сторонники симультанного восприя­тия множества маленькими детьми. Они доказывали, что целост­ное восприятие группы доступнее, если кружки расположены не в ряд, а.им придана какая-либо форма (В. А. Лай, Фолькель, Д. Л. Волковский, Л. В, Глаголева, Ф. Н. Блехер и другие).

Каковы же особенности восприятия маленьким ребенком множества, расположенного в ряд или в виде числовой фигуры, и в чем заключается различие?

Исследование этого вопроса показало, что пространственная замкнутость множества в числовой фигуре действительно боль­ше способствует восприятию множества как структурно-целост­ного единства, чем линейное его расположение. Даже самые ма­ленькие дети, видя на карточке три, четыре, пять нарисованных пуговиц, расположенных в виде числовой фигуры, обычно берут одной рукой горсть пуговиц из коробки и высыпают их на кар­точку. Более старшие дети пытаются накладывать пуговицы на их изображения, но далеко не всегда в том же количестве; они заполняют и промежутки между отдельными рисун­ками. Следует отметить, что движения рук и глаз детей иные, чем при воспроизведении линейно расположенного множества. Как правило, дети в данном случае, накладывая пуговицы на

² Числовыми фигурами называются карточки, на которых;о или иное ко­
личество-фигур • располагается в разных формах. Разные авторы предлагали
различные формы расположения (см. Лаевскне квадратные фигуры).

рисунки, действуют одной рукой. Если ребенок раскладывает пуговицы правой рукой, он обычно начинает от нижнего рисунка справа и направление его движения идет по кругу против часо­вой стрелки. Если же раскладывание пуговиц проводится левой рукой оно начинается тоже обычно с нижней пуговицы слева и направление движения идет по часовой стрелке.

Эти особенности движения позволяют считать, что множест­во, изображенное в виде числовой фигуры, действительно вос­принимается детьми как единое замкнутое целое, хотя, как и при линейном расположении, оно не воспроизводится в адекватном количестве. Однако сравнительное сопоставление данных о вос­произведении количества элементов при линейном расположе­нии множества н в виде числовой фигуры свидетельствует о пре­имуществах линейного расположения. Чем меньше дети, тем большее значение для восприятия количества приобретает ли­нейное расположение множества. Пользуясь приемом наложе­ния пуговиц на рисунки, дети в возрасте 1 года 6 мес.— 2 года точнее воспроизводят множество, расположенное в ряд {75% против 50% при расположении в числовой фигуре). К трем го­дам эти показатели выравниваются, так как дети усваивают прием наложения.

Итак: расположение элементов в виде квадрата или треуголь­ника действительно способствует симультанному восприятию множества как единого пространственно замкнутого целого, од­нако эта более сложная форма расположения значительно за­трудняет выделение отдельных элементов. Для обучения же счетной операции самым важным является четкое выделение всех элементов множества.

Отсюда вытекает педагогический вывод: на начальных ступенях обучения счетной операции путем установления между элементами множеств взаимно-однозначного соответствия целесо­образно располагать ту или иную совокуп­ность предметов линейно.