Методы обучения детой арифметике в XVIII—XIX вв. В начальной школе

Какими методами обучения пользовались в древности, точно неизвестно, но есть основания полагать, что методы эти были догматическими, бездоказательными. Например, в рукописях египтян имеются такие указания: «Делай это так...» или «Делай это, как принято...». В рукописях древней Индии даются анало­гичные рекомендации: «Смотри...», «Смотрите...». В некото­рых же памятниках Греции иногда встречаются заключения: «Что и требовалось доказать»,— значит, появляются попытки обосновать то или иное правило.

Учебников в нашем современном понимании в древние вре­мена не было, а встречающиеся арифметические сборники пред­ставляли собой перечень практических указаний о том, как про­изводятся те или иные арифметические вычисления, т. е. отвеча­ли чисто практическим потребностям (колониальной торговле, различного рода расчетам и т. д.).

Как же обучали детей математике в России в XVIII—XIX вв.?
Некоторое представление о методах преподавания мате-
матики мы получаем по первой печатной русской «Арифметике»
Леонтия Филипповича Магницкого (1669—1739),'написанной в
1703 г. Эта книга сделала эпоху в развитии отечественной мате­
матики.

Л. Ф. Магницкий был одним из выдающихся людей России Петровского времени как по своему общему образованию, так и по математическим знаниям. Первоначальное образование Маг­ницкий получил в Московской славяно-греко-латинской акаде­мии. Там он изучил греческий и латинский языки, а затем само­стоятельно — голландский, немецкий, итальянский и математи­ку, что позволило ему познакомиться с литературой по матема­тике, имевшейся в разных странах. Таким образом, в его «Арифметике» отразилось состояние математики не столько в России, сколько в Европе.

Конечно, характер этого учебника для нашего времени не-обычный: в нем, например, рассуждения иногда излагаются в стихотворной форме, текст сопровождается символическими кар­тинками и т. д.

Вот как определяет арифметику Магницкий: «Арифметика, или числительница, есть художество честное, независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древ­нейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков изобретенное и изложенное» '.

Магницкий определяет арифметику как «художество», имея в виду искусство решать задачи.

Следует отметить и другие особенности этой книги. Так, весь шрифт и нумерация страниц были славянскими, вычисления же записывались арабскими цифрами. Магницкий указывает на преимущества арабской системы нумерации и лишь вскользь го­ворит о латинской и славянской.

Цифры Магницкий именует «знаменованиями», в отличие от нуля, который называет цифрою. Числа он делит на группы: от единицы до десяти — это «персты» (что по-славянски означает «пальцы»); числа, обозначающие десятки, сотни — «суставы», все же остальные числа, промежуточные между круглыми десят­ками и сотнями, например 12, 304, 468 и др., Магницкий называ­ет «сочинениями». Эту терминологию Магницкий заимствовал у древнеримских авторов, где особенно широко использовался пальцевой счет.

Приведем определение Магницким нумерации: «Нумерация есть счисление, которое учит называть все числа, обозначенные десятью такими знаками: 1, 2, 3, 4...». Таблицу чисел в пределах 10²⁴ Магницкий заканчивает в стихотворной форме: «Число есть бесконечно, умам недотечно. И никто не знает конца, кроме всех Бога творца» ².

Русская математическая терминология еще не была разрабо­тана, поэтому все названия действий даются Магницким на ла­тинском и в переводе на русском языках, например: «нумера-цио», или «счисление»; «аддицио», или «сложение»; «субстрак-цио», или «вычитание»; «мультипликацио», или «умножение»; «дивизио», или «деление». (Магницкий считает «нумерацию» особым действием.) В его книге впервые введены понятия о де­сятичных дробях, о прогрессии, квадратном уравнении и др., которых до него не было в русской литературе. Таким образом «Арифметика» Л. Ф. Магницкого сыграла огромную прогрессив­ную роль как общеобразовательная книга, в которой рекомен­дуемые практические приемы разъяснялись теоретически.

Однако, несмотря на все достоинства этой книги для своего времени, в ней был отражен и характерный догматизм — усвое­ние правил без доказательств.

По «Арифметике» Магницкого учились более 50 лет, \\ в школе основным методом была зубрежка: заучивались ну­мерация, определение действий, результаты решения примеров, задач без каких-либо пояснений. Например, об изучении табли­цы умножения говорится так: «Необходимо следующую таблицу настолько твердо в памяти иметь, чтобы без всякого замедления отвечать или написать, сколько будет дважды два, трижды три и проч.».

Показательным для того времени являются воспоминания поэта Г. Р. Державина о том, что в гимназии они обучались геометрии «без правил и доказательств».

Догматические методы преподавания сохранялись в школах даже в XIX в.

В первой половине XIX в. появились педагоги, которые по­нимали, что причина плохих успехов по математике, да и в дру­гих областях знаний, заключается не в отсутствии способностей у детей, а в самом методе обучения. Так, методист-математик П. С. Гурьев (1807—1884), автор книг «Руководство к препода­ванию арифметики малолетним детям» (1839) и «Практичес­кая арифметика», писал: «Дети 4—5 лет сряду учатся в шко­лах арифметике, твердят беспрестанно одно и то же, а все-таки большая часть учащихся по окончанию столь долговременного курса не только не усваивает ее, как бы следовало, но получают отвращение от нее и от всей математики. Между тем, при ином изложении и заблаговременном возбуждении самостоятельности учащихся, нет сомнения, та же самая наука отнюдь не показа­лась бы им столь тяжелою и скучною, ибо они скоро убедились бы, что все, о чем в ней говорится, есть только дальнейшее раз­витие того, что они сами уже делали и делают без всякого посто­роннего посредства» ^!.

Однако книги Гурьева, являясь передовыми, все же не оказа­ли должного влияния на перестройку обучения, и оно продолжа­ло оставаться догматическим.Улучшение преподавания арифметики в русской начальной школе началось во В 1872 г. появилась книга В. А. Евтушевского (1831—1888) под назва­нием «Методика арифметики» — пособие для учительских инсти­тутов, учительских семинарий, преподавателей классов средних учебных заведений и родителей.

Евтушевский за основу своего метода взял исходное положе­ние немецкого методиста А. В. Грубе и швейцарского педагога '. Песталоцци {1746—1828). Песталоцци в Швейцарии про­извел переворот в преподавании арифметики. Он подчеркнул значение наглядности как единственного фундамента всех познаний, в том числе и арифметики: «Упражнения детей в элементар. ном вычислении следует производить, пользуясь реальными предметами или по меньшей мере их изображениями; дети дол­жны прочно усвоить основы арифметики, так как это предохра­нит их от ошибок и путаницы в дальнейшем» *. Песталоцци разра­ботал целую систему обучения детей счету. Число, форма и сло­во— вот та триада, которая составляла основу учения по Песта­лоцци.

Идеи Песталоцци использовал немецкий педагог Грубе, кото­рый в 1842 г. издал книгу «Руководство к счислению в элемен­тарной школе, основанное на эвристическом методе».

В 60-х годах XIX в. это пособие стало известно в России через книгу У. Паульсона, которая называлась «Арифметика по спосо­бу Грубе». Метод Грубе в то время получил широкое распро­странение в Европе и в Америке.

Грубе считал, что все числа от 1 до 100 доступны «непосред­ственному созерцанию, поэтому необходимо себе ясно предста­вить эти числа со всеми составляющими их частями» ².

Поскольку все вычисления над числами свыше 100 происхо­дят по аналогии с числами до 100, Грубе считал особенно важ­ным ясно представлять состав всех этих чисел. Поэтому он пред­лагал изучать числа в последовательности от 1 до 100, сравнивая каждое новое число со всеми предыдущими в разностном и крат­ном их отношениях, т. е. «измерять» число предшествующими числами, как говорил Грубе. Такой метод изучения числа полу­чил название монографического, т. е. метода, описывающего число.

В процессе изучения каждого числа материалом для счета служили пальцы на руках, штрихи на доске или в тетради, а так­же* палочки. Например, при изучении числа 6 предлагалось сна­чала разложить палочки по одной. Затем ставились следующие вопросы: «Из скольких палочек составилось наше число? Сосчи­тайте. Отсчитайте по одной палочке, чтобы получилось шесть. Во сколько раз шесть больше одного? Какую часть шести состав­ляет одна палочка? Сколько раз одна палочка заключается В шести?» и т. д.

Потом изучаемое число точно так же сравнивалось с числом два, предлагалось разложить шесть палочек по две и отвечать на такие вопросы: «Сколько двоек в шести? Сколько раз два со­держится в шести?» и т. д. Так данное число сравнивалось со всеми предшествующими (три, четыре, пять).

После каждой группы таких упражнений действия записывались в виде следующей таблички:

Сравнение числа шесть с предшествующими числами

 

С числом один	С числом два	с числом три	с числом четыре	с числом пять
1+1+1+1+1+1=6	2 + 2 + 2=6	3 + 3=6	4 + 2 = 6	5+1=6
1X6 = 6	2X3=6	3X2 = 6	4X1+ 2 = 6	5X1+ 1=6
1-1-1-1-1-1= 0	6—2—2— 2 = 0	6 -3- 3 = 0	6-4-2	6—5= 1
6: 1=6	6:2 = 3	6:3 = 2	6: 4 = 1 (2)	6:5= 1(1)

Далее результаты таблицу заучивались наизусть с тем, чтобы сразу по памяти производить все арифметические дей­ствия, не прибегая к вычислениям.

По методу Грубе никаким приемам вычисления учащихся не учили. Действия, как таковые, и вычислительные приемы, опи­рающиеся на арифметические законы, не изучались. По методу Грубе учебный материал располагался не по действиям, а по числам. Все четыре действия применялись сразу к каждому изу­чаемому числу. Обратные действия (вычитание, деление) усваи­вались сразу же в форме разностного и кратного сравнения (какую часть одного числа составляет другое).

Монографический метод Грубе приобрел популярность бла­годаря книге В. А. Евтушевского «Методика арифметики», в которой этот метод давался в несколько видоизмененном виде. В. А. Евтушевский рекомендовал начинать с разложения изучае­мого числа, например, числа, шесть, на равные слагаемые, а затем он предлагал ученикам разложить шесть кубиков так, как они сами хотят, и лишь после этого различные виды разложения приводились в порядок и записывались на доске: 5 и 1=6; 4и2=6;ЗиЗ = 6;2и4 = 6; 1 и 5 — 6.

В. А. Евтушевский предлагал таким образом изучать каждое число от одного до двадцати, а в пределе 100 он советовал под­робно останавливаться только на тех, которые имеют много мно­жителей; например 24, 32, 36, 40, 45, 48 и т. д. Свыше ^:100 изуче­ние каждого числа Евтушевским не рекомендовалось. По мето­ду же Грубе подробно изучались все числа до 1000.

Но основное отличие методики Евтушевского от методики

Грубе в другом. Грубе считал, что идея числа является врожденным изначально. Евтушевский же исходил из того, что понятие о числе может быть сформировано лишь на основе многократных наблюдений конкретных количеств: «Ребенок не может иметь врож­денных представлений и понятий о предметах реальных — их нужно образовать... Какое впечатление могут произвести на

сознание ученика сообщаемые ему в первый раз готовые понятия, каковы число, сложение, дробь и т. п., если он не составил сам из множества отдельных представлений. О таком отвлечен­ном понятии, как число, недостаточно сказать начинающему обу­чаться, что оно есть собрание единиц» '.

В отличие от Грубе Евтушевский материалистически подхо­дит к вопросу о развитии понятия числа у детей.

«Понятие о числе вообще образуется, как и всякое другое от­влеченное понятие, путем обобщения представлений частных по­нятий, и притом обобщения постепенного; только на основании действительного счета предметов, и много раз, ребенок может дойти до сознания, что число не есть нечто присущее каким-либо предметам особенного рода, но что оно может относиться ко вся­ким предметам и, наконец, может существовать в -понятии... в абстрактном виде...» «Прежде в уме ребенка образуются поня­тия менее общие, каковы, например, 20 орехов, 20 человек, 20 ар­шин, а потом уже и понятие более общее — 20 единиц» ².

Почему же Евтушевский рекомендует монографический ме­тод для начальной школы?

Он считает, что ребенок до школы приобретает массу кон­кретных знаний, но они случайны, не систематизированы, не ос­мыслены. И надо их привести в систему, а всякая система логич­на. Вот и следует учить ученика началам этой логики. По словам автора, математика доступна для всех; он решительно возражал против утверждения, что математика доступна лишь немногим избранным, что для этого необходим особый склад ума. Дело не в уме детей, говорил Евтушевский, а в способах преподавания, ибо не кто иной, как учитель, складывает ум ученика. «Вольно же ему громоздить в этом уме учебный материал, вместо того, чтобы действительно правильно складывать» ³.

Математика обладает исключительной способностью учить логически мыслить, утверждал Евтушевский, ибо «каждая исти; на в математике опирается па предшествующие и сама становит­ся логическим основанием для последующих» ⁴, а это приучает рассудок ко вниманию, сосредоточенности, к последовательнос­ти, к гибкости, к умениям сопоставлять идеи и истины.

Евтушевский видит в изучении числа и всех его отношении ту систему, которая должна воспитывать мысль учащихся.

Как видим, один и тот же монографический метод по исход­ным позициям и в толковании его задач и основ у Грубе и Евту-шевского диаметрально противоположен. И не случайно, что ме­тодика Евтушевского была принята русским учительством, а его

 

книга выдержала 15 изданий (последний раз она вышла

в 1912г.)-

Однако уже в 70-х годах стали появляться противники моно­графического метода. В 1874 г. подверг его критике и Л. Н. Тол­стой.

«В этих немецких приемах,— писал он,— была еще и та боль­шая выгода для учителей... что при них учителю не нужно... рабо­тать над собою и приемами обучения. Большую часть времени по этой методе учитель учит тому, что дети знают, да, кроме того, учит по руководству, и ему легко» '.

А зот высказывания учителя С. А. Рачинского: «Прием этот, быть может, необходимый, когда приступаешь к делу с пятилет­ними детьми (или с идиотами), отзывает чрезвычайной искус­ственностью, когда имеешь дело с детьми вдвое старше... Нужно избегать слишком долгого пережевывания уже известного уче­никам: оно порождает скуку, отучает их от необходимых умст­венных усилий».

Недовольство методом Грубе—Евтушевского все более на­растало. И в 80—90-х годах целая плеяда русских математиков выступила с его резкой критикой, противопоставляя ему метод изучения действий, или, иначе, вычислительный метод.

В чем же русские математики видели недостатки монографи­ческого метода?

Во-первых, было подвергнуто критике исходное положение этого метода, согласно которому число в пределах 100 (по Гру­бе) или в пределах 20 и больше (по Евтушевскому) можно яко­бы наглядно представить себе как группу единиц. Такой способ­ности не существует, говорили критики. Мы наглядно можем представить себе группу из двух-трех, самое большее из четырех предметов. А при большем количестве всегда приходится прибе­гать к счету. Поэтому изучать числа и их состав путем разложе­ния числа бессмысленно. В пределах 100 таких разложений свы­ше 5000, и одна память усвоить это не в состоянии. Да и психоло­гически это невозможно, поскольку не существует наглядного представления таких чисел (К. П. Аржеников).

Во-вторых, монографический метод критиковали за томитель­ную скуку и крайнее однообразие приемов.

По этому поводу Л. Н. Толстой писал: «Господа эти (Грубе и Евтушевский) велят изучать просто числа 1, 2, 3, 4, забывая то, что числа эти и их отношения выучены без школы каждым ребенком. Не испытав самому той томительной скуки, которую производят такого рода вещи, нельзя было бы понять и почув-5ать всей преступности такой книги, как арифметика Грубе. уже второе издание! Значит, сколько замучено, испорчено дет­ских душ, сколько испорчено наивных учителей... В математике

прежде заучивали определение действий, теперь и самих дейст­вий уже не делают, так как только на третий год, по Евтушевско- му, приступают к нумерации и предполагают, что нужно учить детей в продолжение целого года считать до 10» '.

Поскольку при обучении по монографическому методу дейст­вия, как таковые, специально не изучались, а были подчинены изучению числа путем разностного и кратного его сравнения с предшествующими числами, дети не осмысливали значения каж­дого арифметического действия, не дифференцировали их: обу­чение сводилось лишь к тренировке у детей памяти и навыков. Дети вынуждены были с первых же чисел производить разност­ные и кратные сравнения, что путало их и не обеспечивало зна­ний. А непонимание и механическое усвоение начатков арифме­тики при однообразии и скуке методических приемов отбивало желание у учащихся заниматься арифметикой.

Следует отметить, что критика монографического метода раз­вернулась не только у нас, в России, но и на его родине — в Гер­мании (Грасс, Фальк, Книллинг, Танк, Кнопе, Гартман, Рэтер и другие).

Однако отдельные методисты оставались верны этому мето­ду. В 90-х годах в Германии он был несколько видоизменен не­мецким дидактом и психологом В. А. Лаем (1862—1926). Книга Лая «Руководство к первоначальному обучению арифметике, ос­нованное на результатах дидактических опытов» была переве­дена на русский язык Д. Л. Волковским.

Лай исходил из утверждения о врожденной способности че­ловека воспринимать целостно (симультанно) группу предметов. «Две и три вещи могут быть ясно и отчетливо восприняты и представлены одновременно» ². Далее он пишет: «Искомым су­щественным элементом понятия числа является постуляция, при­знание бытия, т. е. некоторый логический, а не просто чувствен­ный процесс» ³.

Таким образом, по Лаю, число не есть отражение в сознании реальных совокупностей и результат сопоставления их один к одному, а способность, изначально данная человеку утверждать (постулировать) количество в группе, не прибегая к счету, т. е. симультанно воспринимать группу, именуя ее числом.

Считая, что в современном обществе группы в два и три пред­мета узнаются детьми очень рано, Лай искал средства, которые содействовали бы дальнейшему развитию способности воспри­нимать совокупность сразу, симультанно, не прибегая к счету по одному.

Лай использовал различные числовые фигуры, стремясь вы­яснить, какую форму, величину, цвет, яркость, расстояние (груп­пировку и расположение) должны иметь счетные приборы, чтобы давать наилучшие результаты в смысле числового восприятия ¹. Лап ставил такие опыты:

а) Он предъявлял детям числовую фигуру с кружками диаметром 0,5 см; расстояние между кружками было равно диаметру кружка, промежутки меж­
ду квадратами —1,5 диаметрам. Числовая фигура открывалась перед детьми
_на Q5_ I сек и закрывалась. Дети должны были изобразить виденное и отве­ тить hz гвоспрос «сколько?».

И Лай приводит некоторые полученные им данные. Девочка шести лет, пробывшая три года в детском саду, безошибочно изображала числовые фи­гуры — три, четыре, пять, шесть, семь и десять, но не могла ответить, сколько кружков на числовой фигуре семь. Лай делает из этого вывод, что девочка обладала отчетливым представлением числа, хотя и не знала его названия.

Нарисовать же фигуру 12 ей не удалось даже после пятикратного предъяв­ления, при длительности показа свыше 1 сек.

6} Мальчик пяти-шести лет (малоспособный) умел считать только до че­тырех. Числовые фигуры три и четыре не мог правильно изобразить, даже после пятикратного предъявления, причем четыре он определил, не глядя па фигуру. Правильно нарисовал фигуру пять, найти же число при помощи счета не смог.

в) Мальчик трех-четырех лет, в детском саду был около одного года, умел считать до 10. Числовую же фигуру три изобразил одной точкой, при втором предъявлении расположил три точки в ряд, назвать же числа не смог. Чис­ловую фигуру четыре и пять изобразил верно. А фигуру шесть правильно за­рисовал лишь после пятикратного предъявления, рассматривая ее.

Какие выводы из приведенных примеров делает Лай?

!. Дети могут без предварительных упражнений восприни­мать и запоминать числа, представлять их себе и изображать на память.

2, Числовые представления охватывают не только первый де­
сяток, но и большие числа, в то время как представление объек­
тов в ряд не превышает трех.

3. Отчетливые числовые представления могут возникать и су­
ществовать без счета, и при изображении их счет также не игра­
ет никакой роли.

Таким образом, Лай не соглашается с общепринятым мнени­ем, что число возникает только благодаря счету. Опираясь на Песталоцци, Лай утверждает, что число и форма сродни между собой и что первое может быть выведено из второй, и наоборот.

Так Лай пришел к выводу о необходимости формирования отчетливого представления о числе через форму.

Наиболее удобной формой он считал квадрат. Рекомендуемые числовые фигуры и называются «Квадратные числовые фи­гуры», или, иначе, «Числовые фигуры Лая».

Задача обучения, по Лаю, состоит в том, чтобы сформировать:ныи, отчетливый образ каждого числа в пределах 20.

 

 

«Представлять себе число — значит оживить те сенсорные и

моторные элементы, из которых слагается наблюдение числа» '. Как же происходит обучение по Лаю? Детям показывается числовая фигура. Они ее рассматривают, а затем описывают с закрытыми глазами расположение точек. Например, фигура че­тыре: один кружок — в левом верхнем углу, один кружок — в ле­вом нижнем углу, один кружок — в правом верхнем углу и одни кружок —в правом нижнем углу (рис. 1). Лай считал, что, «чем отчетливее, яснее и живее наблюдение вещей, тем от­четливее,.яснее и живее и отражающиеся на него числовые представления» ².

За описанием следует зарисовка данной числовой фигуры и составление ее на лаевских счетах.

о о о о

После работы над образом числа дети переходят к изучению его состава. Закрываются три кружка из четырех (временно), и дети воспринимают один верхний левый, затем он закрывается, а остальные три открываются, и все это описывается: один да три, будет четыре. Затем также объясняется, что два и два будет четыре, три и один будет четыре. После этого на изученный состав числа четыре решаются задачи. Ответ дается сразу, без вычислений, на основе запоминания состава числа.

Рис.

Как видим, у Лая тот же монографический метод, снабженный лишь числовыми фигура­ми. Русские учителя не использовали этот ме­тод. Но поклонник его Д. Л. Волковский — преподаватель московских гимназий — разра­ботал по монографическому методу свою кни­гу (1914). Волковский адресовал ее не только для начальной школы, но и для приготовительных классов женских гимназий, для детских садов и для домашнего обучения.

Так монографический метод проник в дет­ский сад. По этому методу в основном строилось сравни­тельно долгие годы обучение детей счету и в советском детском саду,

В чем же недостатки метода Лая?

Недостатки, вскрытые критиками монографического метода еще в XIX в., характерны и для метода Лая, но у него, как и у Грубе, особенно ярко выявляется идеалистическая философия. Число, по мнению Лая, присуще сознанию человека как посту­лирование бытия, Число упорядочивает бытие, это не что иное, как врожденная логическая категория, которой наделено созна­ние человека. Поэтому надо обучать детей числу, а не счетной

деятельности. Данное исходное положение приводит Лая к поис­кам стимулов, способствующих развитию того, что вложено в со­знание человека, и он видит выход в придании числу наиболее легко запоминающейся формы — квадрата. Так Лай восприятие количества (числа) заменил восприятием формы. Ведь дети в экспериментах Лая, не считая кружков, правильно воспроиз­водили главным образом общую форму их рисунка. Лай же утверждал, что у них отчетливое представление числа. Нам по­нятны ошибки детей, которые они допускали как в изображении, так и в назывании числа. Называние по порядку слов-числи­тельных не является деятельностью счета, а Лай принял это за счет. У ребенка за называемыми словами-числительными ника­ких числовых понятий не было. Естественно, он не смог сосчи­тать и трех точек па числовой фигуре, а воспроизводил лишь форму предъявленного ему рисунка.

Тем самым критика монографического метода была справед­ливой. Она сохраняла свою силу и в отношении метода Лая. Он был отвергнут для школы, ибо не развивал мысль учащихся, а сводился к тренировке их памяти и был скучен.

Этот метод был некритически заимствован работниками советских дошкольных учреждений, поскольку книга Волков-ского прямо адресовалась детским садам. Вот почему так важно знать историю монографического метода и его критику еще в XIX в. ^!.

Метод изучения действий.

На смену монографическому методу пришел в школу метод изучения действий. В основу обучения арифметике было положено изучение приемов выполнения четырех арифметических действий. Числа в данном случае являлись лишь материалом, на котором изуча­лись арифметические действия и приемы вычисления.

Метод изучения действий возник почти одновременно в Рос­сии (П. С. Гурьев— 1807—1884) и в Германии (А. Дистервег-— 1866). Однако в тс годы этот метод не проник глубоко в русскую школу, и лишь в 1885 г., когда развернулась критика монографического метода и вышла книга русского математика.. Гольденберга (1837—1902) «Методика начальной арифме-1кн», метод изучения действий получил широкое распростране­ние. «Обучение детей счислению имеет целью научить произво­дить сознательнодействия над числами и развить в детях навык прилагать эти действия к решению задач общежитейского содер­жания» ².

1ети должны уметь вычислять и понимать вычисления — та->ва сущность метода, т. е. они должны понять смысл и особен-

сих пор находятся сторонники монографического метода, ошибочно е его пригодным для работы с маленькими детьми. • А. И. Гольденберг. Методика начальной арифметики. Спб.,, предисловие, стр. III.

ности действий и основу десятичного счисления. Обучение в вы­числительном методе строится по десятичным концентрам. В пределах каждого концентра изучаются не отдельные числа, а счет и действия.

Обучение Гольденберг рекомендовал начинать с числовых примеров. Он рассуждал так: «Прежде чем решить задачу, надо знать и уметь, как производить действие над числами, а также помнить необходимые табличные результаты, а этому дети на­учаются на примерах. Решение задач, как бы они просты ни были, потребует со стороны малышей некоторой умственной дея­тельности, им предстоит из предложенной задачи выделить ее арифметическое содержание, т. е. тот числовой вопрос, который облачен в форму весьма незамысловатого рассказа». Подоб­ный подход, по мнению Гольденберга, создает непосильную нагрузку для детей, поэтому сначала их надо познакомить с механизмом вычислений на примерах, а потом уже переходить к задачам.

Но были и другие представители метода действий, которые доказывали необходимость идти от задач. Так, С. И. Шохор-Троцкий (1853—1923) в своей «Методике арифметики» пишет: «Для развития у учащихся правильных представлений, а впо­следствии и понятий о четырех действиях соответствующие части курса начальной арифметики можно построить на задачах, и при­том на задачах простых» '. При этом он ссылается на высказы­вание французского педагога Жана Масе, который говорил, что как человечество научилось производить вычисления, исходя из реальных жизненных потребностей, также и дети должны начи­нать учиться «не с отвлеченного правила», а с решения конкрет­ных задач. Эту же точку зрения разделял и другой методист — Ф. И. Егоров (1846—1913), считающий, что обучение арифмети­ке в школе должно начинаться с решения простых задач, в процессе которых дети могут уяснить смысл действий над чис­лами. Так метод изучения действий на материале задач оказал­ся жизненным в дореволюционной школе,

Борьба Изучение педагогической и методической ли-

материалистических тературы второй половины XIX и начала XX в.

и идеалистических свидетельствует о наличии двух направлений

взглядов в методике обучения арифметике в школе: монографиче-

а Диетике ^{ского и} вычислительного, которые оказали влияние и на разработку методов обучения детей до школы. Нередко за борьбой в вопросах методики обу­чения арифметике скрывалась более глубокая борьба материа­листического и идеалистического мировоззрений. Это выявля­лось во взглядах того или иного автора на источник и процесс

развития у детей первых числовых понятий, представлений и

счетных умений.

Ряд авторов утверждал, что понятие числа изначально при­суще сознанию человека. Поэтому в обучении надо идти «от числа к числу». А на основе понятия о числе развивается по­нимание арифметических действий. Такое толкование и было положено в основу монографического метода. На начальных этапах, указывали авторы, множество воспринимается симуль-танно без его сосчитывания и именуется числом, затем число изучается всесторонне, т. е. во всех возможных его комбинациях (состав числа). Усвоенный состав числа, по мнению представи­телей этого метода, обеспечивает само собой усвоение арифмети­ческих действий, поэтому нет необходимости изучать приемы вычисления. Этим и была обусловлена последовательность обу­чения по монографическому методу: а) упражнения в узнавании множества без его сосчитывания и называние его числом (ассо-циационизм); б) изучение состава числа и его запоминание; в) упражнения в арифметических действиях на основе усвоенно­го памятью состава числа.

Другие авторы утверждали, что понятие числа в нашем со­знании формируется лишь на основе отражений количественных отношений предметов и явлений реального мира в процессе дея­тельности человека с множествами, а отнюдь не путем созерца­ния и оживления того, что якобы изначально присуще человеку. Эти авторы на первое место в методике обучения ставили дея­тельность с множествами, т. е. практическое оперирование ими, сравнение их еще до того, как дети научились считать с помощью слов-числительных. Например, дети находят взаимно-однознач­ное соответствие между количеством тетрадей и количеством учеников. Это сопоставление позволяет им установить равенство или неравенство данных множеств. На основе такой деятельнос­ти сопоставления элементов один к одному при сравнении и должно постепенно формироваться понятие числа. Педагоги, принадлежавшие к этой группе, защищали вычислительный ме­тод обучения в школе, иначе называемый методом действий. Они обучали учащихся считать множества, усваивать нумера­цию, а затем переводили детей к изучению арифметических дей­ствий и вычислительных приемов, т. е. шли от практических ма­нипуляций с множествами и их сравнения к усвоению операций счета и пониманию числа, а затем усвоению понятия натураль­ного ряда.

у разных авторов при изложении методов обнаруживаются

азличия в их обосновании. Это обусловлено их взглядами на

происхождение числа, т. е. является ли число, по.мнению автора,

врожденным свойством мысли человека, стремящейся упорядо-

1ть хаос мира, или оно является отражением в сознании реальной

ствительности. Так, например, Шохор-Троцкий,. Егоров

и другие, защищая вычислительный метод обучения арифметике

 

в школе, считали, однако, что понятие числа является изначаль­но данным, поэтому в целях оживления врожденного свойства рекомендовали использовать монографический метод для обуче­ния детей числу до школы. И наоборот, Евтушевский, защищая монографический метод обучения в школе, обосновывал это тем, что практическая деятельность с множествами (в игре, в быту) еще до школы развила у детей умение считать и элементарное понятие числа; однако числовые представления, сформировав­шиеся у детей, еще весьма хаотичны, и школа должна упорядо­чить эти представления. Этому и способствует, по мнению авто­ра, монографический метод.

Таким образом, взгляды на математическое развитие детей определялись не только тем, какой метод защищал тот или иной автор, но главным образом тем, каковы были его исходные по­зиции в понимании происхождения числа. И это особенно яр­ко выявлялось при решении вопроса об обучении детей до школы.

Не могли разрешить спор и представители буржуазной пси­хологии. Соответственно двум методическим течениям были вы­двинуты две теории — теория восприятия групп предметов и тео­рия счета. Каждая из этих теорий пыталась решить вопрос о том, что изначально: счет или число. Сторонники теории во­сприятия групп утверждали, что ребенку свойственна способ­ность схватывать множество как единое пространственно орга­низованное целое, не считая его, т. е. симультанно, поэтому они поддерживали монографический метод обучения.

Представители другой теории утверждали, что врожденным является не само число, а идея последовательности чисел во вре­мени, т. е. усвоение натурального ряда чисел, в силу чего ребе­нок, считая, умеет называть числительные по порядку, но назвать общее количество (сколько всего) не может. Поэтому сначала надо учить порядковому, а не количественному счету. Тем самым эта теория на первый взгляд соответствовала вычислительному методу, однако способность порядкового счета представлялась ее сторонникам изначально данной. Как видим, представители обеих психологических теорий стояли на идеалистических пози­циях и спорили лишь о том, что является изначально данным — число или последовательность ряда чисел.

Таким образом, ограниченные философией идеализма или метафизического материализма, ни педагоги, ни психологи кон­ца XIX — начала XX в. не смогли понять сложнейших переходов в развитии сознания от конкретной деятельности и восприятия конкретных множеств в пространстве и во времени к деятель­ности счета с помощью слов-числительных, к синтезированию элементов множества в понятие числа.

Советская педагогика и методика математики базируются на марксистском понимании происхождения всех математических понятий. Множество, число, счет и многие другие понятия воз-42

никали и развивались в процессе разнообразной деятельности че­ловека и его общения с окружающей материальной средой.

Человек чувственно и действенно воспринимая окружающий его мир, постепенно познавал и абстрагировал существенные стороны предметов и явлений, на основе чего у него формирова­лись понятия, в том числе и математические.

Материалистическая основа математических понятий убеди­тельно раскрыта Ф. Энгельсом. В работе «Анти-Дюринг» он неоднократно подчеркивает: «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления» '.

У маленького ребенка а основном происходит тот же процесс познания окружающей действительности, хотя многие понятия уже сформировались, и он воспринимает их через речь взрос­лых уже готовыми. Однако смысл этих понятий он усваивает по мере того, как сам приобретает чувственный опыт в деятель­ности.

В одной из ранних работ К. Маркс писал: «Известно, что пер­вой теоретической деятельностью рассудка, который еще колеб­лется между чувственностью и мышлением, является счет. Счет — это первый свободный теоретический акт рассудка ре­бенка-» ².

Итак, понятия счета, числа, натурального ряда не врожденны, а формируются в процессе разнообразной деятельности ребенка с множествами предметов и явлений, в процессе сравне