Решение логических задач на установление взаимно-

Однозначного соответствия между множествами

1. В трех мешках находится рис, мука и сахар. На первом мешке написано «рис», на втором «мука». На третьем – «в первом мешке мука». Все надписи неверные. Что находится в каждом мешке?

Решение задачи.

Ответьте на следующие вопросы.

а) Какие множества рассматриваются в задаче?

б) Какое соответствие установлено между ними?

в) Каковы условия задачи?

г) Какие следствия можно вывести из этих условий?

Данную задачу можно решить при помощи графа. Для этого элементы заданных множеств изображают точками, а соответствия между ними – отрезками. Если между элементами множеств нет рассматриваемого соответствия, то их соединяют штриховыми линиями (см. рис. 13).

Рис. 13

Для установления взаимно-однозначного соответствия между множествами, которые рассматриваются в данной задаче, можно воспользоваться таблицей 8:

Таблица 8

Мешки	Рис	Мука	Сахар
Мешок 1
Мешок 2
Мешок 3

 

Выделяем условия задачи. Их три:

(1) Неверно, что в первом мешке рис.

(2) Неверно, что во втором мешке мука.

(3) Неверно, что в первом мешке мука.

Из этих условий выводим следствия и отмечаем результаты в таблице с помощью знаков «+» и «–». Так как соответствие между множествами взаимно-однозначное, то в каждой строке и каждом столбце таблицы обязательно должен быть знак «+», и он должен быть только один.

Из условия (1) данной задачи следует, что в первом мешке риса нет, поэтому в соответствующей клетке таблицы 8a ставим «–». Из условия (2) следует, что во втором мешке нет муки, поэтому в соответствующей клетке ставим «–». Из условия (3) следует, что в первом мешке нет муки, поэтому ставим в соответствующей клетке «–».

Таблица 8а.

Мешки	Рис	Мука	Сахар
Мешок 1	—	—
Мешок 2		—
Мешок 3

 

Но так как в первом мешке нет ни риса, ни муки, то в этом мешке – сахар. Ставим в соответствующую клетку таблицы 8б «+». Из утверждения «В первом мешке сахар» следует, что сахара нет ни во втором, ни в третьем мешке. А так как во втором мешке нет ни муки, ни сахара, то в нем – рис. Аналогично рассуждая, устанавливаем, что в третьем мешке мука. В результате имеем такую картину (см. табл.8б).

Таблица 8б.

Мешки	Рис	Мука	Сахар
Мешок 1	—	—	+
Мешок 2	+	—	—
Мешок 3	—	+	—

 

Таким образом, в первом мешке находится сахар, во втором – рис, а в третьем – мука.

2. В нижеприведенных задачах выделите условия.

а) В лесу проводились соревнования по бегу. Когда у волка спросили, как распределились места между победителями, он ответил, что первое место занял медведь или лиса, второе место занял заяц, а третье место – медведь. Но оказалось, что все эти утверждения ложные. Какое место заняли медведь, лиса и заяц?

б) Три друга – Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один на трамвае, один – на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!» Кто из друзей на чем ездит домой?

3. Решите задачи 2 а) и 2 б), используя графы и таблицы.

4. Решите следующие задачи.

а) Встретились три подруги: Белова, Розова и Краснова. На одной из них было красное платье, на другой – розовое, на третьей – белое. Девочка в белом платье говорит Красновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?

б) Миша, Сережа и Яша участвовали в шахматном турнире. Один из них учится во 2 «А», другой – во 2 «Б», третий – во 2 «В». Первую партию сыграли Миша и ученик 2 «А». Вторую – Сережа с учеником 2 «В», а Миша отдыхал. В каком классе учится каждый из мальчиков?

в) На необитаемом острове растут три дерева – дуб, береза и сосна. Под одним из них пираты зарыли клад, а на деревья повесили таблички. На дуб: «Клад зарыт под сосной»; на березу: «Клад зарыт не здесь»; на сосну: «Клад зарыт под березой». Узнайте, под каким деревом зарыт пиратский клад, если из трех надписей две истинные, а одна ложная.

г) Три клоуна Бим, Бом и Бам вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, но в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Задание. В данной задаче рассматриваются три множества, между парами которых надо установить взаимно-однозначные соответствия. Выделите условия задачи и найдите ее решение с помощью графа (см. рис. 14):

Рис. 14

 

д) У трех подружек – Ксюши, Насти и Оли – новогодние карнавальные костюмы белого, синего и розового цветов, а шапочки тех же цветов. У Насти цвет костюма и шапочки совпали, у Ксюши ни костюм, ни шапочка не были розового цвета, а Оля была в белой шапочке, но цвет костюма у нее не был белым. Как были одеты девочки?