С использованием вспомогательной модели

1. Бревно длиной 10 м распилили на 5 равных частей. Сколько распилов сделали?

Часто школьники находят решение задачи, выполнив деление 10: 5 = = 2. Но таким образом найдена длина одной части, а не количество распилов. Чтобы найти верный ответ, надо выполнить схематический чертеж (см. рис. 18).

Рис. 18

и увидеть, что число распилов равно 4.

Видим, что правильное решение данной задачи требует правильного прочтения вопроса и построения графической модели задачи, которую можно построить, найдя с помощью действия деления длину одной части. Ответ на вопрос задачи находят по модели: распилов сделали 4.

2. Покажите, что решение следующих задач можно найти, выполнив чертеж:

а) Вдоль одной стороны огорода надо поставить изгородь. Длина огорода 10 м. Сколько потребуется столбов, чтобы поставить их по длине огорода на расстоянии 2 м друг от друга?

б) Вдоль беговой дорожки через одинаковое расстояние вкопаны столбы. Старт дан у 1-го столба. Через 12 мин бегун был у 4-го столба. Через сколько минут от начала старта бегун будет у 7-го столба, если он бежит с одинаковой скоростью?

в) Имеются бревна длиной 4 м и 5 м одинаковой толщины. Бревно перепиливается за 1 минуту. Надо напилить 60 бревен длиной 1 м. Можно пилить только 4-метровые или только 5-метровые бревна. Какие бревна надо пилить, чтобы работу закончить раньше? Сколько времени тогда можно сэкономить?

3. Покажите, что решение следующей задачи можно найти, если перестраивать чертежи с учетом найденных результатов:

10 слив имеют такую же массу, как 3 яблока и 1 груша, а 2 оливы и 1 яблоко – как 1 груша. Сколько слив нужно взять, чтобы их масса была равна массе 1 груши?

4. Используя вспомогательные модели (рисунки или схемы), решите следующие задачи:

а) Во время прогулки по лесу Коля через каждые 40 м находил гриб. Какой путь он прошел от первого гриба до последнего, если всего он нашел 20 грибов?

б) Масса двух еловых шишек и одного желудя – 152 г. А масса двух желудей и одной еловой шишки – 94 г. Что тяжелее: одна еловая шишка или один желудь и на сколько?

Решение нестандартных арифметических задач

С использованием вспомогательного элемента (части)

1. Веревку разрезали на 2 куска так, что один кусок оказался в 4 раза длиннее другого. Чему равна длина веревки, если один кусок длиннее другого на 18 см?

Построим вспомогательную модель задачи в виде схемы (см. рис.19).

Рис. 19

Видим, что длина всей веревки состоит из 5 равных частей. Длина 1-го куска – из 4-х таких частей, а 2-го – из одной части. Известно, что первый кусок длиннее второго на 18 см, на которые (как видно на схеме) приходятся три равные части, что позволяет найти длину одной части, а затем и длину всей веревки. По действиям решение задачи можно записать так:

1) 18: 3 = 6 (см) – длина одной из равных частей веревки или длина

2-го куска.

2) 6 · 4 = 24 (см) – длина 1-го куска веревки.

3) 24 + 6 = 30 (см) – длина всей веревки.

Математическую модель данной задачи можно записать иначе – в виде числового выражения, например, такого 18: 3 + 18: 3 · 4 или такого 18: 3 · (4 + 1).

Значение каждого из выражений и будет ответом на вопрос задачи.

Нетрудно видеть, что решение данной задачи свелось к решению трех стандартных задач: нахождению длины 2-го куска веревки (для этого выполнено деление на равные части); нахождению длины 1-го куска веревки (для этого выполнено умножение длины на число) и нахождению длины всей веревки (для этого выполнено сложение двух длин).

2. Покажите, что следующие задачи можно решить, если воспользоваться понятием части:

а) Одного крестьянина спросили, сколько у него денег. Он ответил: «Мой брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех нас ровно 100000 рублей. Узнайте, сколько у меня денег?»

б) Реку Амур, длина которой 2824 км, принято делить на три части: нижний, средний и верхний Амур. Определите длину каждой из этих частей, если известно, что верхний Амур на 43 км короче нижнего и на 93 км короче среднего Амура.

в) Три поросенка – Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф – рождались один за другим через 4 года. Самый старший из них в 5 раз старше самого младшего. Сколько лет младшему поросенку?

г) Было 10 гномов в белых, синих и коричневых колпачках. Гномов в синих колпачках было в 2 раза меньше, чем в коричневых, а остальные гномы были в белых колпачках. Сколько было гномов в белых, синих и коричневых колпачках, если в белых колпачках их было столько же, сколько и в коричневых?

 

Решение нестандартных арифметических задач

Способом подбора

1. Внучке, маме и бабушке вместе 114 лет. Сколько лет в отдельности внучке, маме и бабушке, если возраст каждой выражается двузначным числом, оканчивающимся одной и той же цифрой?

Построим вспомогательную модель этой задачи в таком виде (см. рис. 20).

Б.

М. 114 лет

В.

Рис. 20

Нетрудно догадаться, сумма каких трех однозначных чисел оканчивается цифрой 4. Это число 8. Далее осуществляем подбор: если внучке 18 лет, то маме может быть 38, или 48, или 58, а бабушке – 58, или 68, или 78. Ищем среди них числа, сумма которых равна 114. Получаем: 18 + 38 + 58 = 114, остальные суммы 18 + 48 + 68 или 18 + 58 + 78 условию задачи не удовлетворяют. Таким образом, всем условиям задачи удовлетворяет ответ: внучке – 18 лет, маме – 38, бабушке – 58. Найден он способом подбора.

2. Покажите, что следующие задачи можно решить, если воспользоваться способом подбора:

а) Отец старше сына в 4 раза, через 20 лет он будет старше сына в 2 раза. Сколько лет отцу сейчас?

б) Сумма трех разных двузначных чисел равна 34. Какие это числа?