Занятие 1 (4 ч). Из истории возникновения и развития понятия натурального числа и систем счисления

Литература: основная: [1, 4, 5, 6 (с. 224–226), 7]; дополнительная: [10, 14, 19, 20]

 

Вопросы для обсуждения

1. В настоящее время натуральное число в математике рассматривается с различных позиций: как число количественное, порядковое, как мера величины и компонент вычислений. Как вы понимаете эти трактовки натурального числа?

2. Что такое счет предметов? Как правильно его вести?

3. Как в древности люди сравнивали совокупности (множества) предметов, не имея чисел? Какие при этом возникали трудности?

4. Какие множества называют множествами-посредниками?

5. Множества-посредники – это камешки, зарубки, палочки. Когда же у человека возникло представление о натуральном числе?

6. Как возникал натуральный ряд чисел?

7. Когда говорят о записи чисел, употребляют слова: «система счисления», «нумерация чисел». Что они обозначают?

8. Что значит записать число в десятичной системе счисления?

9. Сколько нужно различных слов, чтобы назвать любое число до миллиарда?

10. Прочитайте следующие предложения:

а) Длина экватора Земли 40 076 км.

б) Площадь поверхности Земли 510 100 000 км².

в) Возраст планеты Земля 4 500 000 000 лет.

г) Жизнь появилась на Земле примерно 500 000 000 лет назад.

д) Человек появился на Земле примерно 2 500 000 лет назад.

е) Расстояние от Солнца до Земли примерно 150 000 000 км.

11. Как возникали системы счета?

12. Используя учебное пособие «Открываю математику» [14], ответьте на следующие вопросы:

а) Как записывали числа в Древнем Египте?

б) Как записывали числа в Древнем Вавилоне?

в) Как записывали числа древние славяне?

13. Когда и где возникла десятичная система счисления, и каков ее путь в Европу?

14. В России десятичная система счисления впервые была описана в книге Л. Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная». Когда это произошло?

15. Десятичная система счисления – позиционная. Что это означает?

16. В Средние века в Европе появилась римская система записи чисел. Что она собой представляет?

 

Решение задач

Выполните упражнения 8 – 17 из пособия «Открываю математику» [14: с. 31–33].

 

Занятие 2 (4 ч). Из истории возникновения и развития знаний об арифметических действиях над натуральными числами и нулем

 

Литература: основная: [5, 6: с. 291–305, 307–309], дополнительная: [10, 14].

 

Вопросы для обсуждения

1. На конкретных примерах продемонстрируйте правила сложения, вычитания, умножения и деления многозначных чисел, записанных в десятичной системе счисления. Какие теоретические факты лежат в основе этих правил?

2. Как складывали и вычитали числа в Древнем Египте?

3. Каковы особенности таблицы умножения в «Арифметике» Л. Магницкого?

4. Какие приемы умножения и деления использовались в «Арифметике» Л. Магницкого?

5. Какие вычислительные инструменты помогали выполнять вычисления с многозначными числами?

Решение задач

1. Из учебника «Математика» [6] решите следующие задачи:

с. 294 №№ 1–4;

с. 297 №№ 1–5;

с. 301 №№ 1, 2;

с. 305 №№ 1–4.

2. Запишите, используя древнеегипетскую систему счисления, выражение 52 + 23 и найдите в ней значение этого выражения.

3. Египтяне заменяли умножение на любое число удвоением. Найдите значение произведений 34 · 5 и 37 · 32, используя этот прием.

Занятие 3 (4 ч). Из истории дробей и целых отрицательных чисел

Литература: основная: [2, 3, 6: с. 326 – 340], дополнительная:

[19].

 

Вопросы для обсуждения

1. Результат измерения длины отрезка не всегда можно выразить натуральным числом. В каких случаях его можно выразить в виде обыкновенной дроби?

2. Известно, что древние египтяне рассматривали только дроби с числителем 1. Как они действовали, если надо было записать, например, дробь ⁵/₆?

3. Какими дробями пользовались в Вавилоне? Древней Греции? На Руси?

4. Какие дроби называются десятичными и когда они появились и стали использоваться на практике?

5. Что такое процент и почему ими пользуются в настоящее время?

6. Кто придумал отрицательные числа и зачем они нужны?

7. С помощью кругов Эйлера отношения между числовыми множествами, которые изучаются в школьном курсе математики, можно представить так, как на рисунке 1, либо так, как на рисунке 2. Опишите, используя эти рисунки, процесс получения различных числовых множеств. С какого множества он начинается? Какие выводы вы сделаете из этого факта?

 

Решение задач

1. Надо разделить 7 хлебов на 8 человек поровну. Как это должен был сделать человек в Древнем Египте?

2. В папирусе Ахмеса (III тысячелетие до н. э.) имеются таблицы для представления дробей от ²/₅ до ²/₉₉ в виде сумм долей. Проверьте правильность следующих записей из этого папируса:

а) ²/₁₁ = ¹/₆ + ¹/₆₆;

б) ²/₇ = ¹/₆ + ¹/₁₄ + ¹/₂₁;

в) ²/₁₃ = ¹/₈ + ¹/₅₂ + ¹/₁₀₄.

3. [6: с. 329 № 2, 3; с. 337 № 1, 3, 4; с. 341 № 1, 2].

4. Пособие «Открываю математику»: [14 с. 138 № 1, 2].

5. В начальном курсе математики дроби впервые появляются для обозначения части целого. Как правильно читать такие дроби? И что обозначает в их записи черта?