Решение комбинаторных задач с помощью правил и формул

1. Вопросы решения комбинаторных задач изучаются в разделе математики, называемом комбинаторикой. Начиная с XVII века, в нем были открыты и доказаны многие правила, помогающие в решении комбинаторных задач. Прежде всего это правила умножения и сложения.

Используя эти правила, решите следующие задачи.

а) В магазине «Канцелярские товары» имеются в продаже шесть видов блокнотов, семь видов авторучек и пять видов простых карандашей. Сколькими способами можно составить комплект, состоящий из блокнота, авторучки и карандаша?

б) Сколькими способами можно составить флаг из трех горизонтальных полос разного цвета, если имеется материал пяти различных цветов?

в) В классе изучается 8 предметов. В пятницу 4 урока, причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить расписание на пятницу?

г) Сколько натуральных чисел, не превышающих 1000, можно составить, используя цифры 3, 4 и 5?

2. В комбинаторных задачах преимущественно рассматриваются два вида операций: отбор подмножеств (в комбинаторике их называют сочетаниями) и упорядочение множеств (в комбинаторике их называют размещениями). Для определения их числа используют формулы.

Решите следующие комбинаторные задачи, используя формулы для подсчета числа тех соединений, которые в них рассматриваются.

а) Сколько двухбуквенных и четырехбуквенных «слов» можно составить из алфавита, в котором три буквы: А, У, М? Сколько среди них слов, которые оканчиваются буквой М?

б) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра при составлении числа используется не более одного раза?

в) В вокальном кружке 6 человек. Сколькими способами можно выбрать: 1) старосту кружка и его заместителя; 2) двух человек для участия в концерте?

г) Сколькими способами четыре персонажа из басни И. А. Крылова «Квартет» могли усесться в ряд?

д) Для оформления зала к празднику купили воздушные шарики различных цветов: белые, красные, зеленые, синие, розовые, голубые, фиолетовые и желтые. Сколькими способами можно составить связки по три шарика разного цвета?

е) Пятеро студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получит неудовлетворительной оценки?

ж) Грабители Кнопка и Скрепка решили украсть из сейфа золотой ключик Буратино. Для того чтобы открыть сейф, им нужно подобрать двоичный код. Грабители знают, что дверь сейфа закрывает Буратино, знающий только 4 цифры: 1, 2, 3, 4. Сколько вариантов придется перебрать Кнопке и Скрепке, чтобы проникнуть в сейф?

з) Решите задачу ж) при условии, что сейф запирает папа Карло, который знает все цифры.

и) В некотором городе у всех велосипедистов были трехзначные номера. Но велосипедисты попросили, чтобы в этих номерах не встречались цифры 8 и 0, потому что первая из них похожа на вытянутое колесо, ну а что для велосипедиста восьмерка колеса – знает каждый. Хватит ли им номеров, если в этом городе велосипеды имеют 710 человек? Хватит ли им номеров, если велосипедисты согласятся использовать 0?

к) Сколько всего автомобильных номеров можно составить их четырех цифр и трех букв?

л) Сколько различных четных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4?

3. В учебнике «Математика, 2 класс» (автор Н. Б. Истомина) предлагается следующее упражнение: «Разгадай правило, по которому записаны числа в каждом столбике:

 

В какой столбик ты можешь записать числа по тому же правилу?»

Выполните это упражнение, свой ответ обоснуйте, используя правила комбинаторики.

4. Нижеприведенные задачи взяты из учебника «Математика, 3 класс, 3 часть» (авторы Т. Е. Демидова, С. А. Козлова, А. П. Тонких). Решите их методом перебора и выполните проверку, используя правила комбинаторики.

а) У Томми 4 свитера и трое брюк. Сколько костюмов Томми может составить из этих вещей, если любой свитер подходит к любым брюкам?

б) У Анники есть две соломенные шляпы – с белой и голубой лентой; два платья – белое и голубое; три пары обуви: сандалии, туфли, ботинки. Сколько различных комплектов одежды она может составить? (№ 11, с. 78).

в) В шкафу висят 5 свитеров и 4 юбки. Сколько разных костюмов можно из них составить, если один свитер по цвету не подходит: а) к одной юбке; б) ни к одной юбке?

г) Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр: а) 5, 9, 2; б) 5, 9, 0? (Цифры в записи числа не могут повторяться.)

 

Решение комбинаторных задач, связанных со свойствами

Геометрических фигур

1. Сколько отрезков на каждом чертеже (см. рис. 7)? Перечислите их и проверьте свой ответ, построив граф.

Рис. 7

2. Отметьте на листе бумаги три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько прямых можно провести через различные пары из этих трех точек? Постройте эти прямые и проверьте свой ответ, используя правила комбинаторики.

3. Сколько прямых можно провести через различные пары из четырех, пяти, …, n точек, не лежащих на одной прямой?

4. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь:

а) 3 прямые; б) 4 прямые; в) n прямых?

5. Какое наибольшее число точек пересечения могут иметь:

а) 2 окружности; б) 3 окружности; в) 4 окружности; г) n окружностей?

6. Сколько треугольников изображено на рисунке 8?

Рис. 8

7. Основание треугольника АВС разбито на 7 частей, и каждая точка деления соединена с вершиной В. Сколько получилось треугольников?

8. На окружности отмечено 6 точек. Сколько хорд они определяют?

9. Сколько параллелограммов изображено на рисунке 9?

 

Рис. 9

10. Сколько диагоналей имеет:

а) четырехугольник; б) пятиугольник; в) шестиугольник; г) n -угольник?

 

Решение задач на разрезание

1. Параллелограмм разрежьте на две части, из которых можно сложить прямоугольник.

2. Треугольник разрежьте на две части, из которых можно сложить параллелограмм.

3. Трапецию разрежьте:

а) на две части, из которых можно сложить треугольник;

б) на три части, из которых можно сложить прямоугольник.

4. Прямоугольник разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить:

а) треугольник; б) параллелограмм; в) трапецию.

5. Правильный треугольник разрежьте на две части, из которых можно составить параллелограмм.

6. На рисунке 10 изображена фигура, составленная из трех квадратов. Разрежьте ее на четыре равные части.

Рис. 10