Занятие 4 (4 Ч). Элементы истории возникновения и развития понятия числа на уроках и внеурочных занятиях по математике в начальной школе

 

Цель: учиться использовать элементы истории в обучении младших школьников математике.

 

Занятие проводится в форме круглого стола. Студенты выступают с докладами по материалам подготовленных рефератов. Реферат состоит из двух частей. В первой излагается история вопроса, а во второй приводится исторический материал, с которым можно познакомить младших школьников, и методика его изучения. Выступление может сопровождаться презентацией.

 

Примерная тематика рефератов

1. Как люди научились считать.

2. О числе и цифре 3.

3. О числе и цифре 7.

4. Открытие нуля.

5. О происхождении письменной нумерации.

6. Из истории чисел 12 и 13.

7. Числа 40 и 90, их история.

8. Сложение и вычитание чисел у древних народов.

9. Умножение на пальцах.

10. Из истории дробей.

 

Тема 4. Из истории возникновения и развития геометрии

 

Цель: ознакомление с историей возникновения и основными этапами развития геометрии, повторение материала, связанного со свойствами геометрических фигур, изучаемых в начальной школе; рассмотрение симметрии и золотого сечения как математических основ гармонии окружающего мира.

 

Занятие 1 (4 ч). Свойства геометрических фигур, изучаемых в начальной школе

 

Литература: основная: [6: с. 358–371]

Работа на занятии осуществляется в парах: сначала студенты самостоятельно выполняют предложенные задания, затем докладывают о результатах их выполнения, в обсуждении полученных результатов принимают участие все студенты группы.

 

Вопросы для обсуждения

Задание 1 (отрезок и его свойства)

В школьных учебниках математики можно встретить разные определения понятия отрезка:

1) отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называют концами отрезка;

2) отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Точки, ограничивающие отрезок, называют концами отрезка;

3) отрезок – это система двух точек А и В, принадлежащих прямой а. Точки, расположенные между А и В, называют точками, лежащими внутри отрезка АВ, точки А и В называют концами отрезка АВ.

Какие из этих определений, на ваш взгляд, могут быть основой для формирования у младших школьников представлений об отрезке?

Какие свойства отрезка рассматриваются в учебниках математики, автором которых является М. И. Моро с соавторами?

Задание 2 (луч и его свойства)

В школьных учебниках математики можно встретить разные определения понятия луча:

1) луч – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эту точку называют началом луча;

2) луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой, которую называют началом луча;

3) луч с началом О – это множество всех точек прямой, лежащих с одной стороны от О.

Какие из этих определений, на ваш взгляд, могут быть основой для формирования у младших школьников представлений о луче?

Какие свойства луча рассматриваются в учебниках математики, автором которых является Л. Г. Петерсон?

Задание 3 (углы и их свойства)

В таблице 2 приведены определения угла и их видов, которые встречаются в школьных учебниках математики:

Таблица 2

Название геометрической фигуры	Изображение и обозначение	Определение
Угол	Ð АОВ, Ð О	1) Угол – это фигура, которая состоит из точки – вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки – стороны угла; 2) Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом. Эти лучи называются сторонами угла, а их начало – вершиной угла
Развернутый угол	Ð АОВ = 180°	Развернутый угол – это угол, стороны которого образуют прямую
Прямой угол	Ð АОВ = 90°	Прямой угол – это угол, равный половине развернутого
Острый угол	Ð АОВ < 90°	Острый угол – это угол, который меньше прямого угла
Тупой угол	90° < Ð АОВ < 180°	Тупой угол – это угол, который больше прямого, но меньше развернутого угла

 

Какие из этих определений, на ваш взгляд, могут быть основой для формирования у младших школьников представлений об угле и видах углов?

Какие свойства угла рассматриваются в учебниках математики, автором которых является А. Л. Чекин?

Задание 4 (треугольник и его свойства)

В школьных учебниках математики можно встретить разные определения понятия «треугольник»:

1) треугольник – это многоугольник с тремя углами;

2) треугольник – это многоугольник с тремя сторонами;

3) треугольник – это фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Какие из этих определений, на ваш взгляд, могут быть основой для формирования у младших школьников представлений о треугольнике?

Какие свойства треугольника рассматриваются в учебниках математики, автором которых является Б. П. Гейдман?

Задание 5 (виды треугольников)

Таблица 3 иллюстрирует классификацию треугольников по двум основаниям: углам и сторонам.

Таблица 3

Треугольники	Разносторонние	Равнобедренные
Две стороны равны	Все стороны равны
Остроугольные
Прямоугольные
Тупоугольные

 

Охарактеризуйте каждый класс треугольников и ответьте на следующие вопросы:

а) Почему не заполнены две графы таблицы?

б) Верно ли, что любой равнобедренный треугольник является остроугольным?

в) Могут ли быть тупыми углы при основании равнобедренного треугольника?

Какие виды треугольников рассматриваются в учебниках математики, авторами которых являются М. И. Башмаков и М. Г. Нефедова? Как они определяются?

Задание 6 (прямоугольник и его свойства)

В школьных учебниках математики можно встретить разные определения понятия «прямоугольник»:

1) прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые;

2) прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые;

3) прямоугольник – это параллелограмм, у которого есть прямой угол.

Какие из этих определений, на ваш взгляд, могут быть основой для формирования у младших школьников представлений о прямоугольнике?

Какие свойства прямоугольника рассматриваются в учебниках математики, авторами которых являются Т. П. Демидова, С. А. Козлова, А. П. Тонких?

Задание 7 (квадрат и его свойства)

В школьных учебниках математики можно встретить разные определения понятия «квадрат»:

1) квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны;

2) квадрат – это ромб, у которого все углы прямые;

3) квадрат – это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые.

Какие из этих определений, на ваш взгляд, могут быть основой для формирования у младших школьников представлений о квадрате?

Какие свойства квадрата рассматриваются в учебниках математики, автором которого является И. И. Аргинская?

Задание 8 (окружность и круг)

В школьных учебниках математики можно встретить разные определения понятия «окружность»:

1) окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности;

2) окружность – это граница круга, а круг – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на расстоянии, не большем заданного;

3) окружность – множество точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в той же плоскости и называемой ее центром.

Какие из этих определений, на ваш взгляд, могут быть основой для формирования у младших школьников представлений об окружности и круге?

Какие свойства окружности и круга рассматриваются в учебниках математики, автором которых является Н. Б. Истомина?

 

Решение задач

1. В чем отличие между нижеприведенными определениями перпендикулярных прямых:

а) две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла;

б) две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

2. Есть ли логические ошибки в следующих определениях понятия «параллельные прямые»:

а) две прямые называются параллельными, если они не пересекаются;

б) две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали;

в) две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

3. Можно ли на основании определения параллельных прямых практически устанавливать параллельность отрезков, заданных на чертеже? Если нельзя, то какие способы установления параллельности прямых можно использовать?

4. На рисунке 3 с помощью кругов Эйлера изображены множество выпуклых четырехугольников и его подмножества.

Рис. 3

Используя рисунок, сформулируйте определения параллелограмма, трапеции, прямоугольника, ромба и квадрата и ответьте на следующие вопросы:

а) Можно ли определить ромб, взяв в качество родового понятие «четырехугольник»?

б) Как определить понятие квадрата, взяв в качестве родового понятие «ромб»?

в) Существуют ли параллелограммы, не являющиеся ни прямоугольниками, ни ромбами?

г) Существуют ли выпуклые четырехугольники, не являющиеся ни параллелограммами, ни трапециями?

д) Существуют ли квадраты, не являющиеся ни ромбами, ни прямоугольниками?

е) Верно ли, что любой квадрат является прямоугольником?

ж) Верно ли, что любой ромб является квадратом?

5. Какие из следующих утверждений являются истинными:

а) в любом прямоугольнике противоположные стороны равны;

б) в любом прямоугольнике диагонали равны;

в) любой прямоугольник является квадратом;

г) в любом прямоугольнике диагонали перпендикулярны.

Какие из этих утверждений являются свойствами прямоугольника? Являются ли они признаками прямоугольника?

6. Верно ли, что все свойства прямоугольника верны и для квадрата? А наоборот?

7. Как среди различных выпуклых четырехугольников распознавать:

а) прямоугольник; б) квадрат?

8. Какие знания о прямоугольнике и квадрате необходимы учащимся начальных классов, чтобы выполнить задание: «Проверь, что на рисунке 4 изображены прямоугольники и что один из них – квадрат»?

Рис. 4

Занятие 2 (4 ч). Из истории возникновения геометрии: геометрические знания в Древнем Египте, Вавилоне, Древней Греции (до Евклида)

 

Литература: основная: [1, 6: с. 346 – 349], дополнительная: [14, 18, 19].

 

Вопросы для обсуждения

1. О зарождении геометрии в Древнем Египте (» 2000 лет до н. э.) древнегреческий ученый Геродот в V в. до н. э. писал: «Сеозоострис, египетский фараон, разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию, и взимал соответствующим образом налог с каждого участка. Случалось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, на сколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию».

Какими сведениями о геометрии в Древнем Египте вы могли бы дополнить высказывание Геродота? Какие геометрические факты были открыты египтянами в процессе решения практических задач, связанных с разливом Нила, и другими проблемами?

2. Представление об уровне развития геометрии в Древнем Египте можно получить, решив следующие задачи:

а) Египтяне вычисляли площадь выпуклого четырехугольника, стороны которого последовательно равны a, b, c, d по формуле

(запись выполнена на современном математическом языке). Докажите, что с помощью этой формулы можно правильно вычислить площадь любого прямоугольника.

б) Египтяне вычисляли площадь равнобедренного треугольника, умножив длину основания треугольника на длину его боковой стороны и разделив полученное производное на два. При каком условии они получали хорошее приближение к точному значению площади такого треугольника?

в) Египтяне вычисляли площадь круга (если воспользоваться современной символикой) по формуле

где d – диаметр круга. В настоящее время площадь круга вычисляют по формуле

Каким будет значение p, если площадь круга вычислять по формуле, которой пользовались египтяне?

3. Считают, что геометрические познания вавилонян[1] превышали египетские. Об этом свидетельствуют глиняные таблички, обнаруженные при археологических раскопках, а также те изобретения, которые были сделаны вавилонянами, в частности, колесо и гончарный круг. Измерения вавилоняне проводили при помощи веревки. Например, умели делить прямой угол на три равные части. Можете ли вы сделать это, если у вас нет циркуля и линейки, а есть только веревка?

4. Математика в Древней Греции прошла длительный и сложный путь развития, начиная с VI столетия до н. э. и по VI век. Историки науки выделяют три периода ее развития в соответствии с характером знаний:

I – Накопление отдельных математических фактов и проблем (VI – V вв. до н. э.)

II – Систематизация полученных знаний (IV – III вв. до н. э.)

III – Период вычислительной математики (III в. до н. э. – VI в.)

Как вы думаете, что обусловило такой расцвет математики и других наук именно в Древней Греции? Какие открытия, сделанные греческими математиками, вам известны?

5. Основателем греческой науки считается Фалес Милетский (первая половина VI в. до н. э.). Какие геометрические факты были им доказаны?

6. Во второй половине VI в. до н. э. в Греции возникла научная школа, которую возглавил Пифагор. В этой школе геометрия из собрания рецептов решения различных задач превращалась в науку, которая изучает идеальные геометрические фигуры, ее стали изучать систематически, исследуя все свойства фигур.

а) Какая геометрическая фигура была отличительным знаком пифагорейцев?

б) Каким образом пифагорейцы связывали устройство мира с геометрией?

в) Пифагорейцы изображали числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры, и называли их фигурными. Какие числа первого десятка можно представить в виде треугольных чисел?

г) Как можно доказать теорему Пифагора?

д) Как пифагорейцы открыли существование иррациональных чисел?