Занятие 3 (4 Ч). Вклад Евклида в геометрию и ее дальнейшее развитие

 

Литература: основная: [6: с. 348–349, 350–354], дополнительная: [9, 18, 19].

 

Вопросы для обсуждения

1. Основные достижения в области математики были систематизированы в III в. до н. э. греческим ученым Евклидом и изложены в труде «Начала», состоявшем из тринадцати книг. Каким было содержание книги по геометрии?

2. Работы каких ученых Древней Греции способствовали появлению «Начал» Евклида?

3. Какой вклад в развитие геометрии сделал величайший математик и механик Архимед (III в. до н. э.)?

4. По каким направлениям развивалась геометрическая наука после III в. до н. э.?

5. Каковы особенности геометрии Н. И. Лобачевского? Какую роль они сыграли в дальнейшем развитии геометрии?

6. Каков вклад Д. Гильберта в развитие геометрии?

 

Решение задач на построение

Задачи на построение – самые древние математические задачи. Они помогают лучше понять свойства геометрических фигур, способствуют развитию графических умений.

1. Каковы элементарные задачи на построение и как их решают?

2. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по известным трем сторонам. Всегда ли такое построение возможно?

3. Пользуясь только циркулем и линейкой, постройте:

а) прямоугольник со сторонами a и b;

б) прямоугольник по диагонали и одной из сторон;

в) квадрат, диагональ которого задана.

4. Какие три знаменитые задачи на построение не смогли решить греческие математики?

 

Занятие 4 (4 ч). Математические основы соразмерности, гармонии и красоты в архитектуре и живописи

 

Литература: основная: [6: с. 389 – 394].

Вопросы для обсуждения

1. Известный математик Г. Вейль писал: «Симметрия является той идеей, посредством которой человек пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Но чтобы рассматривать симметрию фигуры, надо вспомнить понятия осевой симметрии, поворота и параллельного переноса и ответить на следующие вопросы:

а) Как построить треугольник, симметричный Δ АВС относительно прямой р?

б) Сколько осей симметрии имеет: равнобедренный треугольник, прямоугольник, квадрат, круг, отрезок, прямая?

в) Как повернуть вокруг точки О на угол α отрезок АВ?

г) Что представляет собой поворот вокруг точки О на угол 180°?

д) Имеют ли центр симметрии фигуры: отрезок, прямоугольник, прямая?

е) Существуют ли фигуры, которые имеют ось симметрии, но не имеют центра симметрии?

ж) Как перенести отрезок АВ на вектор ā?

2. При осевой симметрии, повороте, параллельном переносе данная фигура преобразовывается в равную ей фигуру. Есть ли другие преобразования, обладающие таким же свойством?

3. Наглядное представление об осевой, поворотной и переносной симметрии дают орнаменты, среди которых различают бордюры и паркеты. Опишите эти виды орнаментов и приведите примеры.

4. Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами (V в. до н. э.). Они установили, что вокруг одной точки могут лежать либо 6 правильных треугольников, либо 4 квадрата, либо 3 правильных шестиугольника. Можете ли вы дать обоснование открытию пифагорейцев и начертить такой паркет?

5. Можете ли вы проиллюстрировать на примерах роль симметрии в познании природы и в творчестве человека?

6. Иоганн Кеплер (1571–1630) – немецкий астроном и математик писал: «Геометрия владеет двумя сокровищами. Это теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое сравнимо с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень». Если теорему Пифагора знает любой выпускник школы, то что представляет собой деление отрезка в крайнем и среднем отношении?

7. Какое деление целого на две части называют «божественной пропорцией» или «золотым сечением»?

8. Как разделить заданный отрезок на две части в отношении Ф?

9. Какой прямоугольник называют золотым? Какими свойствами обладают золотые прямоугольники?

10. Можете ли вы привести примеры использования «золотого сечения» в архитектуре и живописи?

11. Есть ли «золотые пропорции» в фигуре человека?

 

Занятие 5 (4 ч). Элементы истории возникновения и развития геометрии на уроках и во внеурочной работе по математике в начальной школе

 

Цель: учиться использовать элементы истории в обучении младших школьников математике.

Занятие проводится в форме круглого стола. Студенты выступают с докладами по материалам подготовленных рефератов. Возможно использование презентаций.

Примерная тематика рефератов

1. Как возникла геометрия.

2. Египетские треугольники.

3. Кто и зачем придумал доказательство.

4. Задачи на построение в начальной школе.

5. Пифагор и теорема Пифагора.

6. Софья Ковалевская – первая в России женщина-математик.

7. Симметричные фигуры.

 

Тема 5. Из истории возникновения и развития алгебры

 

Цель: ознакомление с возникновением и этапами развития алгебраических понятий, которые изучают в начальной школе.

 

Содержание занятия (4 ч)

 

Литература: основная: [1, 6: с. 198–205, 210–223], дополнительная: [14, 15, 19].

Вопросы для обсуждения

1. Основными понятиями школьного курса алгебры являются: выражение, уравнение, неравенство, функция, тождественные преобразования. Их изучение связано с использованием математического языка, который относится к искусственным языкам и который возник в процессе исторического развития математики.

Математический язык, как и любой другой, имеет алфавит. Из каких знаков он состоит?

2. Используя алфавит алгебры, образуют слова, называя их выражениями, а из слов получают предложения – числовые равенства, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными. Можете ли вы сформулировать определение числового выражения и числового неравенства?

3. Многие задачи практики требовали решения уравнений. Но как записать уравнение, если нет обозначений для неизвестного числа и не сформулированы правила переноса членов уравнения из одной части в другую? Первым ученым, кто попытался это сделать, был греческий математик Диофант (III в.). В честь этого математика в алгебре выделены особые уравнения, которые называют диофантовыми. С такими уравнениями можно встретиться, например, при решении такой задачи:

Найти двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.

Можете ли вы найти это число?

4. В первой половине IX века в Доме Мудрости (Багдад) работал выдающийся узбекский ученый Мухаммед ал-Хорезми. В книге по алгебре «Китаб аль-джебр валь-мукабала» он описал правила преобразований, выполняемых при решении уравнений. Эти преобразования он назвал ал-джебр (восстановление – перенесение вычитаемых членов из одной части уравнения в другую) и ал-мукабала (противопоставление – отбрасывание из обеих частей уравнения одинаковых членов).

Используя данные преобразования, решите уравнения: а) 6 х – 13 = = 2 х – 5; б) 5 х ² = 6 – 2 х + 5 х ².

5. В XVI в. французский математик Франсуа Виет (его называют отцом алгебры) ввел буквенные обозначения не только для неизвестной величины, но и для коэффициентов в уравнениях, установил зависимость между корнями и коэффициентами. Какова эта зависимость для уравнения вида х ² + рх + q = 0?

6. В XVII в. французский математик Рене Декарт ввел обозначения а ², а ³, Ö и др. Кроме того, установил, что множество точек на прямой и множество действительных чисел равномощны. Как он это сделал?

 

Решение задач

1. Художник Н. П. Богданов-Бельский (1868 – 1945) на картине «Устный счет» изобразил урок устного решения задачи в школе села Татево Смоленской области, в школе, которую основал и в которой преподавал С. А. Рачинский в 70-е годы XIX века. Учащимся предложено найти значение выражения

10² + 11² + 12² + 13² + 14²

Можете ли вы устно решить эту задачу?

2. Верно ли, что (" n ÎN) n ² + (n + 1)² + (n + 2)² = (n + 3)² + (n + 4)²?

3. Задача С. А. Рачинского. Вычислите устно значение произведения 84 · 84. Объясните, какими свойствами арифметических действий вы воспользовались?

 

Тема 6. Из истории возникновения и развития единиц величин

 

Цель: ознакомление с историей возникновения единиц основных величин (длины, массы, времени), созданием метрической системы мер и международной системы единиц.

 

Занятие 1 (4 ч). Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Основные периоды в истории развития единиц величин

 

Литература: основная: [2, 5, 6: с. 271–277], дополнительная: [11, 12, 14, 16, 19 ].

 

Вопросы для обсуждения

1. Какое свойство объекта (предмета, явления) можно назвать величиной?

2. Какие основные положения определяют действия с однородными величинами?

3. Что значит измерить величину?

4. Какие величины называются скалярными? положительными скалярными?

5. Как связаны между собой действия над величинами и действия над числами, полученными в результате измерения величин?

6. Человек давно осознал необходимость измерять разные величины, причем измерять как можно точнее. Основой точных измерений являются четко определенные единицы величин и точно воспроизводимые эталоны этих единиц. Но выбор единиц величин и их эталонов зависит от уровня развития науки и техники. В связи с этим в истории развития единиц выделяют пять периодов. Каковы они?

7. В конце XVIII в. учеными во Франции была разработана метрическая система мер. Какова основная единица в этой системе и как она определяется? Как в этой системе определяется килограмм?

8. В России метрическая система мер начала применяться наравне с русскими национальными единицами величин начиная с 1899 года. Какие это были единицы?

9. В 1960 году на XI Генеральной конференции мер и весов было принято решение о введении Международной системы единиц (СИ)[2]. Каковы ее особенности?

10. Единицы величин, применяемые в Российской Федерации, их наименования, обозначения и правила применения устанавливаются специальным распоряжением – государственным стандартом. В соответствии с ним кроме единиц СИ разрешена группа внесистемных единиц. Какие это единицы?

 

Решение задач

1. Назовите объект, его величину, численное значение и единицу величины в каждом из следующих предложений:

а) глубина оврага 2 м;

б) в коробке 6 кг яблок;

в) площадь садового участка 15 соток;

г) в сервизе 6 тарелок;

д) рост мальчика 1 м 45 см.

2. В таблицу 4 внесены основные величины и их основные единицы, которые изучаются в начальной школе. Заполните графу «Кратные и дольные единицы».

Таблица 4

Величины	Основная единица	Кратные и дольные единицы
Длина	метр (м)
Масса	килограмм (кг)
Время	секунда (с)

 

3. Величины, которые определяются через длину, массу и время, называются производными величинами. Их единицы должны быть согласованы с основными. Учитывая это, заполните таблицу 5:

Таблица 5

Производные величины	Основная единица	Кратные и дольные единицы
Площадь	квадратный метр (м^2)
Объем (вместимость)	кубический метр (м^3)
Скорость	метр в секунду (м/с)