Решение задач, связанных с понятием уникурсальной кривой

И свойствами многогранников

1. Нарисуйте граф, у которого в каждой вершине сходится: а) два ребра; б) три ребра.

2. Граф имеет 5 вершин, в каждой из них сходится 3 ребра. Сколько у него ребер?

3. Какие из нижеприведенных фигур можно изобразить, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды (см. рис. 11)?

Рис.11

4. Нарисуйте одним росчерком фигуры, изображенные на рисунке 12.

Рис. 12

5. Может ли в пирамиде число ребер быть нечетным?

6. Верно ли, что в призме число ребер делится на три?

7. Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

 

Подготовка к контрольной работе по теме «Способы решения комбинаторных задач»

При написании этой работы проверяются следующие умения:

- решать комбинаторные задачи методом перебора с использованием таблиц и графов;

- решать несложные комбинаторные задачи с использованием правил и формул комбинаторики.

 

Задания для подготовки к контрольной работе

1. В алфавите племени УАУА есть только две буквы – а и у. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить, пользуясь алфавитом этого племени?

2. В магазине продаются полотенца трех видов: белые, голубые и желтые. Из скольких вариантов покупки придется выбрать, если нужны два разных полотенца?

3. В школьной лотерее должно быть всего десять различных выигрышей. Есть ручки, блокноты, записные книжки, альбомы для рисования. Можно ли из этих предметов составить десять различных выигрышей по два разных предмета в каждом?

4. Сколько можно составить различных букетов из трех роз, если в продаже есть белые и красные розы?

5. Сколько получится двузначных чисел, если каждую из цифр 0, 1, 2 использовать не один раз?

6. Имеются ручки четырех цветов: красные, синие, зеленые, черные – и два вида записных книжек. Сколько различных наборов из ручки и записной книжки можно составить из этих предметов?

7. От турбазы к горному озеру ведут 4 тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой поднимались?

8. Из четырех ребят надо выделить двоих для дежурства по классу. Сколькими способами это можно сделать?

9. У Портоса есть сапоги со шпорами и без шпор, 4 разные шляпы и 3 разных плаща. Сколько у него вариантов одеться по-разному?

10. Сколько существует четных трехзначных чисел?

11. Концерт состоит из 5 номеров. Сколько имеется вариантов программы этого концерта?

Тема 3. Методика обучения младших школьников

решению комбинаторных задач (8 ч)

Цель: освоение различных методических подходов к обучению младших школьников решению комбинаторных задач, направленных на развитие их математического мышления и формирование общего умения решать задачи.

 

Содержание занятий

Литература из списка основной литературы: [ 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12]

Вопросы для обсуждения

1. Требования к методике обучения младших школьников решению комбинаторных задач, вытекающие из возрастных особенностей детей 7–10 лет и задач развития их мышления.

2. Особенности методики обучения решению комбинаторных задач, предлагаемой Е. Е. Белокуровой.

3. Методика обучения решению комбинаторных задач, реализованная в тетрадях для учащихся 1–4 классов «Учимся решать комбинаторные задачи» (авторы Н. Б. Истомина, Е. П. Виноградова).

4. Характеристика других подходов к обучению младших школьников решению комбинаторных задач, реализованных в учебниках математики для начальных классов.

 

Решение методических задач

1. Воспроизведите возможные рассуждения ученика при решении задачи.

а) Какие двузначные числа можно составить из цифр 2, 3 и 4, если цифры в записи числа не повторяются?

б) Какие трехзначные числа можно составить из цифр 3, 4 и 0, если цифры в записи числа не повторяются?

в) Какие трехзначные числа можно составить из цифр 3, 4 и 0, если цифры в записи числа повторяются?

2. Решите задачу и расскажите, как вы будете на примере ее решения обучать детей систематическому перебору.

а) Три поросенка хотят построить дом. Они еще не знают, будет ли в нем печка или камин, чем покрыть дом: соломой или черепицей, и какую в доме сделать дверь – дубовую или из простой фанеры. Сколько разных домиков они могут построить?

б) От Бабы-Яги до Кощея ведут 3 дороги, а от Кощея до Кикиморы – 4 дороги. Сколькими способами можно дойти от Бабы-Яги до Кикиморы, если надо зайти к Кощею?

3. Часто перебор комбинаторных соединений происходит с опорой на запись вариантов, в связи с этим возникает проблема обозначения рассматриваемых объектов.

На каком этапе обучения младших школьников решению комбинаторных задач можно познакомить их с условными обозначениями рассматриваемых объектов?

4. Фридман Л. М. утверждает, что «задачи в школе решаются не для того, чтобы найти их ответы – они заранее известны. Важно четко представить себе для чего, с какой целью решается та или иная задача, какие знания, умения и навыки должны приобрести учащиеся в результате решения задачи, в том числе и умения поиска способа решения и осуществления самого процесса решения»[4].

На примере решения нижеприведенных комбинаторных задач покажите, как может быть реализовано это высказывание.

а) Аня, Боря, Вера и Гена – лучшие лыжники школы. На соревнования надо выбрать из них троих. Сколькими способами можно это сделать?

б) Круг разделили на две части и решили раскрасить их карандашами разных цветов. Сколькими способами можно это сделать, если имеются красный, зеленый и синий карандаши?

в) За свои рисунки ученик получил две положительные отметки. Какими они могут быть?

г) Имеется материя четырех цветов: красного, синего, белого и зеленого. Надо сшить трехцветный флаг (полосы располагаются горизонтально). Сколько различных флагов можно сшить, если верхняя полоса у каждого флага красная? Сколько всего различных трехцветных флагов можно сшить из материи четырех цветов?

д) В соревнованиях участвуют 5 футбольных команд. Каждая команда играет один раз с каждой из остальных команд. Сколько матчей будет сыграно?

 

Задание для самостоятельной работы по теме 3: составить фрагмент занятия по теме «Обучение младших школьников решению комбинаторных задач». При разработке фрагмента учесть этап обучения.

 

Тема 4. Способы решения логических задач (12 ч)

 

Цель: освоить способы решения основных видов логических задач: на упорядочивание множеств; на установление взаимно-однозначного соответствия между множествами; на доказательство, основанное на выявлении худшего случая и с использованием принципа Дирихле; на планирование действий (взвешивания, переливания, переправы).

 

Содержание занятий