Плоское напряженное состояние

В общем случае при переходе из одной точки в другую глав­ные напряжения изменяются непрерывно по величине и направле­нию. Случай, когда одно из главных напряжений становится равным нулю, называют плоским (двухосным) напряженным состоянием в точке. В соседних точках тела напряженное состояние может быть пространственным (трехосным).

Встречаются и такие случаи, когда во всех точках тела нап­ряженное состояние плоское и при этом площадки с нулевым глав­ным напряжением параллельны друг другу. В таком случае все те­ло испытывает плоское напряженное состояние. Примером может служить пластинка, подверженная воздействию поверхностной и (или) объемной нагрузки, распределенной равномерно по толщине. При этом равны нулю главные напряжения на площадках в плоскости пластинки, а два других отличны от нуля и, вообще говоря, изменяются при переходе из одной точки в другую.

Три независимые скалярные величины, соответствующие составляющим напряжений, определяют тензор напряжений:

Для определения главных напряжений представляет интерес исследование напряжений, действующих лишь на площадках, перпендикулярных к главной площадке с нулевым глав­ным напряжением. Рассмотрим прямую призму с основанием ВС D высотой dz (рис.4.2).

Уравнения равновесия запишем в виде проекции сил на нап­равления σ _α и τ _α:

σ _α dzds – (σ _y dzds cosα) cosα– (τ dzds cosα)sinα –– (σ _x dzds sinα) sinα – (τ dzds sinα) cosα = 0,

τ _α dzds + (σ _y dzds cosα) sinα – (τ dzds cosα) cosα –– (σ _x dzds sinα) cosα + (τ dzds sinα) sinα= 0.

После сокращения на dzds и преобразо-вания получим

σ _α = σ _x sin²α + σ _y cos²α+τsin2α;                 

          τ _α = (σ _x – σ _y)sin2α + τcos2α.                               Рис. 4.2

Чтобы определить положение главных площадок, следует либо приравнять нулю производную d σ _α/ d α, либо положить равными нулю касательные напряжения τ _α ввиду их отсутствия на главных пло­щадках. В обоих случаях

получаем следующее уравнение для угла наклона главных площадок (α₀):

(σ _x – σ _y) sin2α₀ + τcos2α₀ = 0,

откуда

tg2α₀= 2τ /(σ_у– σ_х),

чему соответствуют углы α₀′ и α₀′+ 90°, которые определяют две взаимно перпендикулярные площадки.

Исследуя вторую производную d ² σ _α/ d α², можно убедиться, что на главной площадке под углом α₀′ при σ _y >σ _x действует мак­симальное главное напряжение σ₁,а на площадке под углом α₀′+ 90° действует минимальное главное напряжение σ₂.

Для определения главных (экстремальных нормальных) нап­ряжений отразим значение угла α₀ в выражении σ _α, используя при этом формулы для sin2α₀, соs2α₀, соs²α₀, sin²α₀, приведенные в п.3.4. В итоге

Если одно из напряжений σ _x или σ _y равно нулю, то формула примет вид

Экстремальные касательные напряжения можно выразить через главные напряжения: ± (σ₁− σ₂), что соответствует выражению

Они действуют на площад­ках, наклоненных к главным под углом 45° и направлены от σ_min к σ_max (рис.4.3). В общем случае на этих площадках σ _α ≠ 0.

Если оси х и у совмещены с главными осями 1 и 2, то

σ _α = σ₁sin²α + σ₂cos²α;

τ_α= (σ₁ − σ₂)sin2α.

При α = 45° и σ₂ = −σ₁ = −σ имеем τ _α = σ, σ _α = 0. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом, а площадки – площадками чистого сдви-га.

В случае σ₁ = σ₂ = σ на всех площадках, проходящих через исследуемую точку, τ _α = 0, σ _α = σ. Такое напряженное состояние называется равномерным двухосным растяжением (или сжатием).                                                                                    Рис. 4.3

При одноосном напряженном состоянии (σ₂ =   σ₃ = 0) имеем

σ _α = σ₁sin²α;                  τ _α = σ₁sin2α.

Экстремальные касательные напряжения равны ± σ₁ /2.

                           4.3. Перемещения и деформации

Твердое тело, как правило, закреплено. В таком случае пе­ремещение точки тела вызывается только его деформированием. Это перемещение характеризуется вектором  с проекциями u, v, w на оси x, у, z, являющимися функциями координат: u = u (x, у, z), v = v (x, у, z), w = w (x, у, z). В силу сплошности тела эти функции и их частные производные требуемого порядка по x, у, z непрерывны, кроме, возможно, особых точек, линий или поверхно­стей.

Элементарный параллелепипед, вырезанный в окрестности ка­кой-либо точки, деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями, т.е. изменяются объем и форма.

Для определения линейной деформации  в точке А вдоль оси n (рис.4.4) возьмем в теле на этой оси малый отрезок АВ. После деформирования те­ла он обратится в отрезок А'В', составляющий с отрезком АВ угол ∆α, и будет иметь длину ∆ l '. Исходя из незначи­тельного изменения геометри­ческих характеристик тела в результате деформирования, можно считать                                       Рис. 4.4

 угловое пере­мещение (угол поворота) ∆α малым по сравнению с единицей, так что cos∆α ≈ 1. Величина ∆λ = ∆ l ' – ∆ l представляет со­бой абсолютное изменение первоначальной длины отрезка АВ. Ве­личина ∆λ/∆ l есть средняя линейная деформация вдоль оси n в точке А.

Уменьшая размеры отрезка, в пределе получаем

Безразмерная величина ε _n есть истинная линейная деформация вдоль оси n в точке А.

Полагая, что λ − непрерывная функция l, получим

 

ε _n = ∂ λ /∂ l.

Если λ зависит от одной переменной l, то

ε _n = d λ / dl.

Для определения деформации сдвига в точке А в плоскости mn возьмем на этой плоскости два малых отрезка АВ и АС, пересекающихся в точке А под углом 90°. После деформирования тела они обратятся в отрезки А'В' и А'С' с

иным углом пересечения и расположатся в другой плоскости m ' n ', составляющей с первоначальной угол ∆α. Принимая, как и раньше, cos∆α ≈ 1, определим деформацию сдвига как разность величин углов В'А'С' и ВАС. Наложим угол В'А'С' на угол ВАС (рис.4.5) и установим углы поворота отрезков относительно своих первоначальных положений – α₁ и α₂. Величина α₁ + α₂ = γ _mn и есть деформация сдвига в точке А в плоскости mn.

Положительными принимают линей­ную деформа-цию, соответствующую растяжению, и деформацию сдвига, отвечающую уменьшению первона­чального угла пересечения отрезков.

Полагая деформации малыми, мы можем в дальнейшем пренебрегать ими по сравнению с едини-цей, а также их высокими сте­пенями по сравнению с первой степенью.

 Рис. 4.5                Деформированное состояние в точке – состояние тела в ок­рестности данной точки, определяемое совокупностью деформаций всех линейных элементов, проходящих через данную точку. В слу­чае малых деформаций оно полностью определяется линейными де­формациями трех взаимно перпендикулярных линейных элементов тела, проходящих через данную точку, и тремя деформациями сдвига этих линейных элементов. Соответствующие шесть незави­симых скалярных величин определяют тензор деформаций:

Здесь  (при γ _yx =γ _xy),…Последнее оправдывается идентичностью трех ситуаций для грани деформированно­го параллелепипе-да, что видно, например, из рис. 4.6 (в плоско­сти xy).

Рис. 4.6

 

Главные оси деформации – три взаимно перпендикулярные прямые, прохо-дящие через данную точку тела и совпадающие по направлениям с такими тре-мялинейными элементами тела, которые остаются взаимно перпендикулярны-ми и после деформации. Линейные деформации по направлениям этих осей на-

зываются главными деформациями и обозначаются ε₁, ε₂, ε₃ (ε₁ ≥ ε₂ ≥ ε₃).

Кинематические граничные условия на части поверхности тела с заданным вектором перемещений имеют вид

 

                                              4.4 Практикум

Примеры

1. По двум взаимно перпендикулярным площадкам действуют только касатель-ные напряжения τ (чистый сдвиг). Определить положение главных площадок и величины главных напряжений.

Решение: σ_гл.=0± = ± = ± τ.

Поскольку между главными напряжениями существует соотношение σ₁ σ₂ σ₃, то расположив значения главных напряжений на числовой оси, установим:

  

                σ₁>τ; σ₂>τ; σ₃>-τ;   

tg2α_о= ; 2α_оarctg = 90 ; α_о=45

Повернув, на α_о= - 45 площадки по отношению к исходным получаем “глав-ные”. σ₁ > 0, поэтому вектор растягивающего напряжения ориентируем от сечения, а вектор сжимающего σ₃ к сечению. Знак минус таким образом реализован направлением вектора.

2. Определить величину и направление главных напряжений для случая  плоского напряжённого состояния, показанного на рисунке:

Решение.  Следует помнить, что в формулах:

σ_гл.= ± и tg2α_о= -

1) σ_α > σ_β алгебраически,

2) Знак τ_α определяется на площадке, где действует большее нормальное напряжение (σ_α), а учитывая, что Q= dx знак τ > 0 будет в случае,

если поперечные силы Q > 0, т.е. стремятся повернуть площадку “по часовой стрелке”,

      

3) если α_о > 0, то поворот совершают “против часовой стрелки” от вектора σ_α > 0, с учётом сказанного: σ_α= + 60 МПа; σ_β= -140 МПа;  τ_α= - 40 МПа.

              σ_гл.= ± = - 40 ± 107.7.

 σ₁= + 67.7 МПа; σ₂=0; σ₃= -147.7 МПа (касательные напряжения в главных площадках отсутствуют).

                    tg2α_о= = = 0.4; 2α_о= arctg0.4 = 21.2   

α_о =10.6 (поворот против часовой стрелки).

 

Вопросы для повторения

 

1.Дайте определение понятия «напряжение». Какие виды напряжения различают?

2.Что называют касательным и нормальным напряжением?

3.Какова размерность напряжений?

4.Что обозначают индексы касательного напряжения?

5.Какова зависимость между полным, нормальным и касательным напряжением в точке данного сечения?

6.Как связаны напряжение и внутренние силовые факторы?

7.Какие виды деформаций связаны с каждым из внутренних силовых фак-торов?

8.Чем характеризуют напряженное состояние в точке?

9.Как формулируется закон парности касательных напряжений?

10. Какие площадки называют главными?

11.Чему равны касательные напряжения на главных площадках?

12.Как обозначают главные напряжения? Каково между ними соотноше-ние?

13.Как изменяются величины и при повороте площадки на угол в случае плоского напряженного состояния?

14.Дайте определение линейного, плоского, объемного напряженного сос-тояний используя понятия «главные площадки».

15.Как определить экстремальную величину касательных напряжений, зная напряжения σ_х, σ_у, τ в случае плоского напряженного состояния?

16.Как ориентированы площадки, в которых действуют τ_экстр,  по отноше-нию к главным?

17.Какие деформации называют линейными и какие угловыми?

 

Тесты для повторения

1. Как изменится угол α_о, если горизонтальная компонента нормального напря-жения изменит направление на противоположное (при условии, что σ_х >σ_у)?

(а) уменьшится, но сохранит знак; 

(б) возрастёт, но сохранит знак;

(в) уменьшится и изменит знак;

(г) возрастёт и изменит знак.

Ответ: (а), поскольку в первом случае                            

tg2 α_о= , а во втором tg2 α_о= .

2. Для случая линейного напряжённого состояния (частный случай объёмного, когда два главных напряжения равны нулю) число главных площадок равно:

       (а) 1;      (б) 2;     (в) 3;     (г) бесконечное множество.

Ответ: (г), поскольку площадка, перпендикулярная действующему главному напряжению определена в пространстве, а две взаимно перпендикулярны пер-вой и одновременно перпендикулярны между собой, то они могут иметь беско-нечное число положений.

 

3. Как изменится сумма нормальных напряжений на любых двух взаимно пер-пендикулярных площадках при плоском напряжённом состоянии, если площад-ки повернуть по часовой стрелке относительно главных?

 

(а) возрастёт; (б) не изменится; (в) уменьшится; (г) станет равным нулю.

 

Ответ: (б), поскольку сумма нормальных напряжений в двух взаимно перпен-

дикулярных площадках равна сумме главных напряжений, то для любой пары

взаимно перпендикулярных площадок это сохраняется.

 

4. Для случая чистого сдвига наименьшее из трёх главных напряжений равно:

       (а) σ₃ = τ;     (б) σ₃ = 0;     (в) σ₃ = -τ;     (г) σ₃ = σ₁.  

Ответ: (в), так как в главных площадках при плоском напряжённом состоянии σ_гл= ± τ, т.е. σ₃ равно наименьшему значению (алгебраически). 

                                     

5. Чему равны экстремальные значения касательных напряжений, если извест-но, что одно главное растягивающее напряжение равно 40 МПа, а второе, сжи-мающее равно 60 МПа?

 

   (а) 50 МПа      (б) -10 МПа;      (в) 40 МПа;      (г) –20 МПа.

Ответ: (а), поскольку установлено, что τ_α=  (σ_α-σ_β)∙ sin2α, то экстремальное значение τ примет при sin2α =1(α=45 ), а величина τ_экстр.= (40-(-60))= 50МПа.

Контрольные тесты

 

1. Для внутренних усилий установите соответствие:

(а) Μ_Z=;          (б) M_Y=;             (в) Q_Y=;            (г) Q_Z =.

(д) = _ХZdA; (е) = _Х ZdA;    (ж) = _Х YdA; (з) = _ХYdA.

 

2. Сколько независимых скалярных величин, соответствующих составляю-щим напряжений по трем взаимно ортогональным площадкам определяют тен-зор напряжений?   

          (а) 4;       (б) 6;     (в) 9;   (г) 12.

 

3. По какой из приведенных формул определяют главные напряжения при плоском напряженном состоянии?

(а)σ_x·sin²α+σ_y·cos²α+τsin2α;                  (б) ;                                       

(в) (σ_x –σ_y) sin2α_о+ τ cos2α_о ;         (г) .

4. По какой из приведенных формул определяют величину угла α_о и его знак (σ_α >σ_β)?

 

(а) tg2 α_о = ;                          (б) tg2 α_о = ;

(в) tg2 α_о = ;                      (г) tg2 α_о = ;

 

5. В площадках чистого сдвига касательные напряжения τ:

(а) равны σ; (б) экстремальны; (в) равны нулю; (г) равны .

6. Сколько главных площадок можно выделить вблизи точки в общем слу-чае (объемное напряженное состояние)?

 

(а) одну;     (б) шесть;       (в) три;          (г) бесконечное множество.

 

7. В случае плоского равноосного растяжения, сколько главных площадок можно выделить?

 

(а) две;  (б) три;  (в) одну;  (г) бесконечное множество.

 

8. Для указанных плоских напряженных состояний (а,б,в,г) – установите соответствие для главных напряжений (д,е,ж,з) и угла α_о (и,к,л,м)

    (д) (34.1; 5.9)    (е) (100.7; -40.7)   (ж) 31.2; -51,2)    (з) (25; -25)

(и) –22.5             (к) –26.5               (л) +22.5              (м) +7