Колебания системы с одной степенью свободы

 

Колебания системы, происходящие при отсутствии внешних возмущаю-щих сил и обусловленные только упругими свойствами системы, называются свободными. Груз Q подвешен к упругому невесомому стержню АВ (рис. 14.3). Удлиним стержень на величину и предоставим тело самому себе. Оно будет совершать колебательные движения в вертикальном направлении. Положение тела определяется одним параметром - перемещение тела относительно по-ложения статического равновесия (система имеет одну степень свободы).

Так как рассматриваются колебания тела относительно положения стати-ческого равновесия, то влияние собственного веса тела исключается. Реакция

со стороны стержня АВ по закону Гука равна  

Сила инерции равна                         

                                                           

 Сумма этих сил должна быть равна нулю:

                                 

или

                                                  

где круговая частота колебаний (число колебаний в 2π секунд), удлинение стержня АВ от статической нагрузки Q.

Интеграл уравнения:  

Если при t =0,    то из уравнения

                                   

и

                                 

найдём с₁=

 В итоге получаем:      

Рассмотрим случай, когда в процессе колебания действует возмущающая сила F(t) = F_mах где F_mах и Ω- максимальное значение и круговая частота изменения возмущающей силы соответственно.

Уравнение движения без учёта сил сопротивления имеет вид:

                    

Общий интеграл уравнения (для случая, когда

          

 

 

Колебания, обусловленные действием возмущающей силы, называются вынужденными. Их частота равна частоте изменения возмущающей силы.

Наибольшее динамическое перемещение

              ,

где: ω²m = c – коэффициент жёсткости системы (с = );

       - коэффициент динамичности.

На рис. 14.4 привязан график зависимости коэффициента динамичности χ от отношения частот. В случае совпадения частот вынужде-нных и собственных (ω=Ω) амплитуда вынужденных ко-лебаний резко возрастает (рис. 14.4, (1)). Это явление носит название резонанса.

Реально влияние окружа-ющей среды, внутреннее тре-ние в колеблющемся элемен-те приводит к рассеиванию энергии и кривая (2) описы-вает реальную картину  

Явление роста во времени амплитуды колеба-ний при совпадении частот собственных и вынужденных колебаний опасно. Для его       

              Рис.14.4                                   устранения прибегают к демп-фированию конструкций, т.е. применяют специальные устройства, увеличива-ющие рассеивание энергии при колебаниях, и коэффициент динамичности мо-жет соответствовать кривой (3).

При выполнении практических расчётов при известном коэффициенте χ, легко определяется величина максимальных динамических напряжений и пе-ремещений в упругих элементах системы.

                      σ _q = σ_ст· χ;             у _q = у_ст· χ,

где под σ_ст и у_ст понимается то перемещение и напряжение, которые возникали бы при статическом приложении максимального значения возмущающей силы.

Совпадение частот ω = Ω называют условием резонанса, а зону 0.8 1.2 – зоной критических частот. С помощью конструктивных меро-приятий стараются отстроиться от этой зоны. Более целесообразным является уход в зону уменьшения отношения  от значения, равного единице. Демп-фирование (постановка амортизаторов – гидравлических, пневматических, пру-

жинных и т. д.) позволяет снизить величину динамических напряжений.

 

                                          14.4 Практикум

Примеры

1. Определить σ_q для деревянного бруса (l =1м), сечением А=50 см² при паде-нии груза весом F=1кН с высоты h=10 см. Модуль упругости дерева Е=10⁴МПа.

Решение: Для вычисления σ_q следует определить σ_ст и коэффициент динами-ческий χ.

                                                        σ_q= σ_ст·χ

                  σ_ст= =20

      χ =1 +  где:                 

                                            

     

        σ_q=20

2. Определить динамические напряжения в стальной балке (двутавр №24) в момент падения на неё груза F = 4 кН с высоты h = 4 см.

Решение: По ГОСТ 8239-89 (см. Приложение) двутавр № 24 имеет следующие пара-метры:

J_z=3460см⁴;  W_z=289см³;

Е_стали = 2·10⁷         

Определив реакции опор

       (R_A= R_B = 2кН)

 

 

строим эпюру М_z и определяем

                     

                           

 

где: Δ_ст – прогиб балки в сечении D можно определить одним из известных способов или воспользоваться справочником.

                           =0.077см.

 

                             

 

3. Решить задачу 2 при условии, что правая опора В - пружина с коэффициен-том жёсткости

Решение: Очевидно вертикаль-ное перемещение точки D

      где

Δ_ст – прогиб за счёт упругих де-формаций балки, а у_В – просадка упругой опоры В.

 

                             Δ_ст=0.077см.

 

Тогда значение динамического коэффициента

 

                                

 

Следовательно σ_q= σ_ст·χ =13.8 · 4.52 = 62.4 МПа, что значительно меньше величины σ_ст в задаче 2.

 

 

4. Определить величину динамических напряжений при условии, что балка     (см. задачу 2) жёстко закреплена в сечениях А и В.

Решение: Раскрыв статическую неопре-делимость балки методом сил, построим эпюру М_z

σ_ст= =

  Для определения прогиба в точке D выбираем основную систему – двухопорную балку и в точке D, в направлении искомого перемещения (вертикального) приложим единичное силовое воздей-ствие, определим реакции опор и построим единичную эпюру   

                             σ_q = σ_ст· χ = 6.9 МПа ·20.5 = 142 МПа,

где

                                          

Сравнив результаты вычислений динамических напряжений в задачах 2 – 4 можно установить, что податливая опора (задача 3) обеспечила значи-тельное снижение σ_дин, по причине значительной величины упругих прогибов балки в месте падения груза.

В задаче 4 хотя за счёт жёсткой заделки концов балки и снизился M_{z мах}, а следовательно и σ_ст, но повышение жёсткости конструкций привело к уменьше-нию деформации и возрастанию коэффициента динамичности. Динамические напряжения в этом варианте уменьшились весьма незначительно.

 

5. На консольной балке, состоящей из двух швеллеров № 12 установлен агрегат весом G = 4 кН, создающий вибрационную нагрузку F = F_o·sinΩt, при этом F_o=1 кН, Ω = 22 .

Определить величину динамического коэффициента. В случае попадания в зону критических частот- добиться, чтобы χ  2 и определить величину максимальных и минимальных нормальных напряжений. Весом балки и внут-ренним трением пренебречь.

 

Решение: по ГОСТ 8240-89 для швеллера № 12: J_z=304см⁴, W_z=50.6см², тогда для сечения, состоящего из двух швеллеров

               J_z= 2·304 = 608 см⁴,                    W_z=2·50.6= 101.2см³.

В случае вынужденных колебаний коэффициент динамичности.

                                         

   

Собственная частота колеба-ний

 

Построив эпюру M_z и  (от единичной силы, приложен-ной вертикально в сечении А), определим с помощью интегралов Мора (вычисляя способом Верещагина)

                      

Отличие собственной частоты колебаний ω от частоты вынужденных колебаний Ω – незначительно, поэтому - весьма велик.

Для отстройки от области критических частот изменим l до 2 метров, то-гда  и соответственно

                                    

Опасное сечение – в заделки. Напряжения от веса агрегата

  

 

Динамическая составляющая от вибрационной нагрузки

- является амплитудой переменной во времени составляющей напряжений. Следовательно напряжения, изменяются       от σ_max = 79.2 + 35.6 = 114.8МПа до

σ_min = 79.2 - 35.6 = 43.6 МПа.

 

Вопросы для повторения

1. Какие нагрузки называют динамическими?

2. Как определяют величины динамических напряжений?

3. Что полагается в основу при выводе формул для определения переме-щений при ударе?

4. Что представляет собой динамический коэффициент?

5. Что следует предпринять, чтобы динамический коэффициент снизить?

6. Влияет ли модуль продольной упругости на величину динамических напряжений? Обоснуйте.

7. Какой вид имеет формула динамического коэффициента при ударе?

8. Какие колебания называют собственными?

9. Какой вид имеет формула динамического коэффициента при вынуж-денных колебаниях?

10. Что такое условие резонанса?

11. В чём заключается явление резонанса?

12. Какие возможны решения для снижения динамических напряжений при вынужденных колебаниях?

13. Опасно ли кратковременное попадание в зону резонанса деталей ме-ханизма при его разгоне?

14. В чём опасность длительной работы конструкции при вынужденных колебаниях с частотой, близкой к частоте собственных колебаний?

15. Объясните суть демпфирования системы.