Формула Эйлера для критической силы

Обратимся к шарнирно опертому стержню, на который действует сжимающая сила, достигая критического значения (рис. 13.3). Допускаем отклоненное состояние в плоскости наименьшей жесткости. При однородном материале поперечные сечения стержня будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение.

                                                     Рис. 13.3

 

 

Используем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

EI _min(d ² v / dx ²) = M.

Величина момента определяется по формуле

                                             M = – F_crv.

Минус введен для согласования знаков M и v. Таким образом,

EI _min(d ² v / dx ²) = – F_crv,

 

или

(d ² v / dx ²) + α² v = 0,

где α²= F_cr /(EI _min).

Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

v = A cosα x + B sinα x,

где А и В – постоянные интегрирования, для определения которых используются граничные условия: 1) при x = 0, v = 0; 2) при x = l, v = 0.

Из первого условия получаем А = 0. Следовательно, v = B sin α x. Из второго условия получаем B sinα l = 0. Следовательно, sinα l = 0. Из ряда значений α l = 0,π, 2 π,…, n π, где n – любое целое число, выбираем значение π, дающее наименьшую критическую силу.

Принимая α l = π, α² l ² = π², α² =π²/ l ²,находим:

F_cr = (π² EI _min)/ l ².

Эту формулу впервые вывел Л. Эйлер в 1744 г.

Постоянная В остается неопределенной вследствие принятия приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси бруса.

Влияние способа закрепления концов стержня

На критическую силу

 

На рис. 13.4 показаны другие случаи закрепления концов стержня. Каждую из этих задач можно решать по плану, реализованному для шарнирно опертого стержня. В то же время решение можно получить путем сопоставления изгиба шарнирно опертого стержня с изгибом стержня при другом закреплении его концов (штриховые линии на рис. 13.4) Обобщенная формула:

 

содержит так называемый коэффициент приведенной длины μ.

Приведенная (свободная) длина l ₀ = μ l может быть истолкована как некоторая условная длина однопролетного стержня, критическая сила которого при шарнирном закреплении его концов такая же, как для заданного стержня. Понятие о приведенной длине впервые введено профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф.С. Ясинским в 1892 г.

 

                                                  Рис. 13.4

Исследования показали, что местные ослабления (заклепочные отверстия, уменьшение сечения за счет врубок и т.п.) существенно не влияют на величину критической силы. Поэтому в формулу для F_cr входит момент инерции I_br площади сечения без учета ослабления A_br (брутто). При вычислении критического напряжения также используется A_br:

где – гибкость стержня (радиус инерции берется минимальный).

Вследствие использования линейного физического закона формулы для критической силы справедливы в том случае, когда напряжения σ _cr не превышают предела пропорциональности σ _pr. Из условия σ _cr = σ _pr определяется предельная гибкость λ _lim, при которой формулы еще применимы:

λ _lim

Для стали с σ _pr = 200 МПа и

Е = 2,1·10⁵МПа λ _lim ≈ 100, для чугуна λ _lim ≈ 80, для дерева λ _lim ≈ 110.

При гибкостях λ < λ₁ (для стали Ст.3 λ₁=40) стержни можно рассчитывать на прочность без учёта опасности потери ус-тойчивости (рис. 13.5, зона I). Для этого случая критическими являются напряже-                  

                                                      ния, соответствующие предельным                   

            Рис. 13.5                                                  (σ_cr=σ_y).

 

Использование формулы Эйлера за пределами её применимости        (λ < λ _{l im}) приводит к завышенному расчётному значению критических напряжений, следовательно к грубым ошибкам, что чревато потерей устойчивости стержня и разрушением конструкции.

При λ < λ _{l im} формулы становятся неприменимыми. В этом случае используют эмпирическую формулу Тетмайера − Ясинского (рис. 13.5, зона II):

σ _cr = а – b λ,

где а и b – коэффициенты, зависящие от материала. Для стали Ст.3 при гибкостях λ = 40…100 коэффициенты а и b принимаются равными:                а = 310 МПа, b = 1,14 МПа.