Подбор сечения по условиям безопасной устойчивости

Условие устойчивости равновесия записывается либо в напряжениях:   σ≤ σ _{s adm}, либо в нагрузках: F ≤ F_{s adm}, где σ _{s adm} и F_{s adm} – допускаемые напряжение и нагрузка по условиям безопасной устойчивости; при этом

 

σ _{s adm} = σ _cr / n_s, F_{s adm} = F_cr / n_s ,

где n_s –коэффициент запаса устойчивости, который равен или превосходит коэффициент запаса прочности n (отклонения от проекта конструкции в отношении формы стержня, линии действия нагрузки уменьшают критическую нагрузку и σ _cr, но почти не влияют на прочность конструкции).

Исходя из использования сопротивления системы в целом, принимают условия устойчивости равновесия в нагрузках. В отдельных случаях это равнозначно принятию условия устойчивости равновесия в напряжениях. Для центрально сжатой стойки допустимая нагрузка

 

F_{s adm} = (π² EI _min)/(μ² l ² n_s),

откуда при заданных значениях n_s, E, l и вычисленном значении μ можно найти I _min. Рациональным считается сечение, у которого I _min = I _max(при μ _y = μ _z).                                                                                                                                  

Установим связь между допускаемым напряжением на устойчивость и величиной σ _adm:            

σ _{s adm} /σ _adm = (σ _cr n)/(σ _b n_s) = φ.

Учитывая, что σ _cr < σ _b, а n ≤ n_s устанавливаем, чтоφ<1. Величина φесть коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней (коэффициент продольного изгиб a). Имея зависимость σ _cr ~ λ для данного материала, зная σ _adm и выбрав n_s, можно составить таблицы значений φ в функции от гибкости λ.                   

В связи с зависимостьюφ от формы и размеров сечения подбор сечения по условиям устойчивости σ ≤ φσ _adm ведется путем последовательных прибли-жений. Выбираем форму сечения и задаемся его размерами (или при-мерным значением φ, например, φ₁= 0,5); вычисляем наименьший радиус инерции и гибкость; находим по таблице коэффициент φ₁' и вычисляем σ _{s adm} = φ₁' σ _adm; сравниваем действительное напряжение σ с полученной величиной σ _{s adm}; если условие устойчивости не удовлетворено или удовлетворено с большим запасом (разница между σ и σ _{s adm} не должна превышать 3 – 5%), меняем размеры сече-ния (задаемся новым значением φ₂, равным среднему арифметическому величин φ₁ и φ₁') и повторяем расчет. Окончательно выбранное сечение должно удовлетворять и условию прочности: σ ≤ σ _adm.

 

          13.5 Продольно поперечный изгиб сжатых стержней.

Если на массивный элемент одновременно действуют сжимающая сила и поперечные нагрузки, то напряжения определяют на основании принципа неза-висимости действия сил, суммируя алгебраически составляющие от каждого вида нагрузки.

Для гибких стержней такой метод расчёта неприемлем, так как сжимаю-щая сила за счёт существования значительных прогибов вызывает в стержне не только равномерное сжатие, но дополнительные изгибающие моменты, соизме-римые с моментами от поперечных сил. Расчёт проводят по деформированной схеме. Поскольку поперечный изгиб сопровождается и изгибом от продольных сил, то этот расчёт ещё называют продольно- поперечным изгибом.

Изгибающий момент в по- перечном сечении стержня (рис. 13.6) при продольно- поперечном изгибе можно представить в виде

  М=М_о+FV

                                                                           где: М_о- изгибающий момент вы-зываемый только поперечной нагрузкой S.

Суммарный момент М можно определить зная прогиб V, а последний в свою очередь зависит от момента.

Если кривизна оси стержня достаточно мала, то уравнение равновесия запишется так:

                                 

Решение должно выполнятся индивидуально для каждой схемы нагруже-ния. Оно значительно усложняется, если участков несколько.

Представим прогиб в виде суммы

                                          V=V_o=ΔV,

 

где: V_o- прогиб, вызванный только поперечной нагрузкой;

  ΔV- дополнительный прогиб, появившийся в результате действия сжимающей силы F.

Для прогиба V_o справедливо уравнение

                                                                                     (а)

следовательно  

                                                                                    (б)

Сделаем предположение, что дополнительный прогиб ΔV изменяется по закону синусоиды

                               

тогда

                                                          (в)

Поскольку

           ΔV=V-V_o (см. (а))                и                 (из ур. (б)),   

то                                              , 

или                                         

                                                 

Допущения о синусоидальности изменения ΔV хорошо согласуется для стержня, имеющего шарнирное закрепление опор. Для других схем закрепле-ния концов стержня следует определить F_э каждый раз с учётом закрепления по формуле

                                                   ,

где: J- момент инерции относительно главной центральной оси, соответствую-щей изгибу в данной плоскости;

    μ- коэффициент приведения длины.

Величину V_o можно определить любым известным способом, после чего определяют V, а затем и напряжения в соответствующем сечении.

При решении задач на продольно - поперечный изгиб необходимо на-чать расчёт с проверки на устойчивость в плоскости наименьшей жёсткости

                                     

и если она удовлетворяется, переходят к дальнейшему расчёту.

 

Наибольшие (сжимающие) напряжения определяются выражением

                             

Поскольку напряжения нелинейно связаны с величиной силы F, то по величине напряжений нельзя судить о том, какой запас прочности имеется при заданной нагрузке. Из графика (рис. 13.7) видно, что напряжения в большей степени отличаются друг от друга, чем силы, их вызывавшие. Напряжения растут более интен-сивно, чем сжимающая сила. Это главное отличие работы гибких стержней при продольно попереч-ном изгибе.

Оценку запаса прочности следует проводить по величине отношения

         

          Рис. 13.7                     где: - сила вызывающая напряжение, соответствующие пределу текучести; F- действующая нагрузка.

 

                                               13.6 Практикум

Пример 1. Определить допускаемую нагрузку для стойки из швеллеров №10 (Ст.3) расчётное сопротивление при растяжении R=220 МПа, Е=2·10⁵ МПа. Расстояние а между швеллерами выбрать из условия равноустойчиво-сти.

Решение. Равноустойчивость стойки будет обес-печена при равенстве моментов инерции относи-тельно осей х и у. Момент инерции относительно оси х не зависит от расстояния между швеллерами и определяется на основе табличных данных (ГОСТ 8239-89) J _x =174см⁴,

J _у =20.4см⁴, А=10.9см², z_o=1.44см:

                      

Момент инерции относительно оси у

               

Условие равноустойчивости , тогда

                   

откуда а = 2.63см.

Определяем допускаемую нагрузку

                                               F_adm= φR·A

Гибкость стойки    

                                   

где: (равно i _х одного швеллера!).

По таблице приложения V определяем: φ_λ=105=0.542.

Тогда допускаемая нагрузка

                     F_adm= φRA^сл = 0.542·220 МПа·2·10.9см² = 260 кН.

Определяем коэффициент запаса устойчивости

                                           n_s =

Так как гибкость стойки больше предельной для Ст.3 (λ_пред=100),то F_cr  определяем по формуле Эйлера

         =389кН.

откуда

                                         n_s =   

Пример проектировочного расчёта приведён в задаче 3.3 раздела V.

 

Вопросы для повторения

1. Что такое устойчивость?

2. Что называется критической силой?

3. Что называется гибкостью стержня? Размерность этой величины?

4. Какой вид имеет формула Эйлера?

5. Почему в формулу Эйлера для критической силы входит J_min?

6. По какой зависимости определяют критические напряжения в случае,

если напряжения превышают предел пропорциональности?

7. Какой величиной ограничивается предел применимости формулы Эйлера?

8. Какие зоны имеет графическая зависимость критических напряжений от гибкости стержней?

9. Почему при подсчёте критических напряжений в формулу подставляя-ют значения площади без учёта местных ослаблений сечения?

10. Что учитывает коэффициент продольного изгиба?

11. В чём разница в понятиях – Эйлерова сила и критическая сила, вычи-сляяемая по формуле Эйлера?

     12. Как определяют наибольшие нормальные напряжения при продольно- поперечном изгибе? 

13. Почему расчёт на устойчивость всегда предшествует расчёту на продольно - поперечный изгиб?

14. Почему при определении коэффициента запаса при продольно - попе-речном изгибе его следует рассчитывать по допускаемым нагрузкам, а не по допускаемым напряжениям?

 

Контрольные тесты

1. Явление потери устойчивости заключается в...

2. В основе вывода формулы Эйлера положено дифференциальное урав-нение...

3. С увеличением жёсткости EJ поперечного сечения критическая сила …

4. С увеличением длины стержня критическая сила...

5. Коэффициент приведения длины зависит от...

6. Формула Тетмайера - Ясинского применяется для стержней, имею-щих гибкость...

7. Использование формулы Эйлера вне пределов её применимости при-водит...

8. Предельная гибкость зависит только от...

9. При определении критических напряжений в формулу подставляют площадь...

10. Коэффициент φ продольного изгиба представляет собой...

11. Для определения величины коэффициента поперечного изгиба необходимо знать … и … стержня.

12. При продольно - поперечном изгибе в сечении действуют не только изгибающие моменты от поперечных сил, но и моменты, вызываемые...

13. При продольно - поперечном изгибе наибольшее нормальное напря-жение в стержне определяется по формуле...

14. Оценка коэффициента запаса при продольно - поперечном изгибе проводится не по допускаемым напряжениям, а по допускаемым...

Раздел IV. ДИНАМИЧЕСКОЕ И ЦИКЛИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ

 

                             14. Динамическое нагружение

 

Движение тела с ускорением

При статическом нагружении нагрузка возрастает от нуля до конечной величины весьма медленно и можно пренебречь возникающими при этом сила-ми инерции.

Особыми условиями динамического режима нагружения являются: 1) на-рушения статического равновесия и появления сил инерции; 2) изменение ме-ханических свойств и физического закона для материала. В целях упрощения решения задачи последним обстоятельством пренебрегают. Силы инерции в деформируемом теле относятся к внешним объёмным силам. Любой элемент конструкции в каждый момент времени можно рассматривать как находящийся в состоянии равновесия под действием внешних сил (включая опорные реакции), усилий, представляющих собой действие соседних элементов, и сил инерции. Это положение носит название принципа Даламбера. Таким образом динамическая задача сводится к составлению уравнения равновесия.

К простейшим динамическим задачам относится поступательное движе-ние тела с ускорением. Предположим, что сила F двигает стержень (рис. 14.1) поступательно вверх с ускорением а. Тогда к любому бесконечно малому элементу стержня длинной dx и весом  прикладывается сила инерции  направленная в сторону, противопо-ложную движению. Здесь γ –объёмный вес, А - площадь сечения стержня, g- ускорение свобод-ного падения. Согласно принципу Даламбера получаем:

       

Для однородного стержня постоянного сечения имеем  

Множитель называют коэффициентом

 динамической перегрузки.

 

Динамическое усилие в сечении на расстоянии x от свободного конца стержня равно:

                                   

а динамическое напряжение:

                               

 

                           14.2 Ударная нагрузка на стержень

Ударная нагрузка возникает от падения тела на деформируемую систему. Действие ударной нагрузки вначале концентрируется лишь на некотором   участке длины стержня, вследствие чего деформации оказываются большими, чем при статической нагрузке. Затем эти деформации распространяются на следующий участок длины стержня, в то же время как на первом участке они убывают до величины статических деформаций и т.д. В результате мы получаем волновой характер распространения деформаций, а следовательно, и напряже-ний по длине стержня.

Ещё большие осложнения вносит пластическая деформация, так как ско-рость её распространения, в отличие от упругой деформации, не постоянна, а изменяется в зависимости от направления.

Ограничимся рассмотрением случая удара, сопровождающегося только упругими деформациями, на этапе, когда последние распространяются на всю длину стержня. Для её решения принимаем закон сохранения энергии: П+К= const, где П - потенциальная энергия системы, К - кинетическая энергия падающего тела. П и К - положительные величины. П достигает значения П _{m ах}, когда К=0, К - достигает значения К _{m ах}, когда П=0. Следовательно К _{m ах} =П _{m ах}.  

Рассмотрим удар от тела с силой веса F, вызывающий поступательное перемещение точек системы, которая представлена в виде деформируемой невесомой пружины (рис. 14.2). Тело падает с высоты h_o на точку А системы. Для линейно деформируемой системы:

              П_mах         

 где R_mах - наибольшая сила сопротивления                   

                                                         в точке А, ∆_mах - перемещение точки А;

Рис.14.2              Рис.14.3                            ∆_mах = υ · R_mах,

 

где коэффициент пропорциональности, так что

                                              П_mах

Величина К _{m ах} равна работе груза F:

                                                 К_mах=F(h_o+∆_mах).

Итак,                                    

                                        

или                                     

                                   

откуда

                 

или                                     

                                           

где  есть динамический коэффициент.

Учитывая, что , где -скорость падения, получаем:

                           

При = 0 (внезапное приложение груза к системе)

Получив  находим R_mах