Раздел V . Методические указания и задачи для самосто-ятельного решения и контрольных работ

Для овладения методическими основами расчета конструкций на проч-ность, жесткость, устойчивость необходимо самостоятельно выполнить реше-ние ряда задач и убедиться в правильности полученных результатов. На первом этапе этому способствовали тесты для повторения и контрольные тесты, но на-выки практических расчетов требуют закрепления. Студент должен самостоя-тельно выполнить приводимые ниже задания, оформить их в виде трех конт-рольных работ и представить на проверку.

Для успешного овладения знаниями и навыками обязательно следует составлять конспект. После изучения отдельной темы следует проработать предлагаемый практикум каждой главы. Особое внимание необходимо обра-щать на единицы измерений встречающихся величин. Если при изучении курса или при выполнении контрольных работ возникнут затруднения, вопросы, то надо обращаться за консультацией к ведущему преподавателю кафедры.

Контрольную работу следует выполнять в тетради чернилами, четким почерком. В заголовке контрольной работы указать ее номер, название дис-циплины, фамилию, имя и отчество студента, специальность и дату выпол-нения. Перед решением каждой задачи нужно выписать ее условие с числовыми данными и изобразить расчетную схему с числовыми значениями размеров и величин нагрузок, строго соблюдать масштаб.

Исходные данные для индивидуальных заданий следует взять из приведенных таблиц в строгом соответствии с номером зачетной книжки (студенческого билета). Запишите последние три цифры номера зачетной книжки и проставьте в следующем порядке под ними буквы а, б, в. К примеру ваш шифр

                                                 _ _ _ _ 1 3 7 

                                                              в б а

тогда цифра 7 над буквой а укажет, какую строку следует брать из столбца а, а 3 над буквой б из столбца б и т.д. Расчётную схему следует выбрать в соответствии с параметром а.

                V.1. Методические указания к выполнению задания

 

Внутренними называют силы, возникающие в элементах конструкций при действии внешних нагрузок. Для их выявления используется метод сечений. Конструкцию мысленно рассекают плоскостью, перпендикулярной оси стержня, отбрасывают одну из частей (обычно ту, к которой приложено большее количество внешних сил), заменяя ее действие системой внутренних сил, приложенных в каждой точке сечения. Выбрав центр тяжести сечения за точку приведения, все множество внутренних сил приводят к главному вектору и главному моменту. Проекции последних на оси координат, имеющих начало в центре тяжести сечения (ось х - вдоль оси стержня, а у и z -в плоскости сечения), называют внутренними силовыми факторами.

Продольная сила N равна проекции главного вектора на ось x. Её вели-чину численно определяют как алгебраическую сумму проекций на эту ось всех внешних сил (активных и реактивных - реакций опор), приложенных к рассматриваемой части.

Поперечные силы Q _y, Q _z равны проекции главного вектора на оси y и z соответственно и могут быть определены как алгебраические суммы проекции на эти оси всех внешних нагрузок, приложенных к рассматриваемой части.

Крутящий момент Т и изгибающие моменты M _z и M _y - проекции главного момента на оси x, y, z - соответственно. Численно каждый из них равен алгебраической сумме моментов относительно соответствующей оси всех внешних нагрузок, приложенных к рассматриваемой части.

Усилия и моменты в разных сечениях стержня различны. Графики, показывающие изменение внутренних усилий вдоль оси стержня, называют эпюрами. При построении эпюр придерживаются следующих правил:

- ось (базу), на которой строится эпюра, всегда выбирают так, чтобы она была параллельна оси стержня;

- ординаты эпюры откладывают от оси по перпендикуляру в выбранном масштабе, в характерных сечениях проставляют числа, показывающие величины силового фактора;

-штриховку эпюры выполняют тонкими линиями, перпендикулярными оси, а в поле эпюры в кружочке ставят знак усилия.

Для внутренних усилий вводятся правила знаков, изложенные в учеб-никах:

1. Если внешняя сила, приложенная к рассматриваемой (левой или правой) части направлена от сечения, то продольная сила N положительна.

2. Если внешняя пара сил, стремится повернуть относительно оси стержня рассматриваемую часть по часовой стрелке (при взгляде в правый торец правой части или левый торец левой части), то крутящий момент Т в сечении положителен.

3. Если внешняя сила стремится повернуть рассматриваемую часть относительно точек сечения по часовой стрелке, то поперечная сила Q в cече-нии положительна.

4. Если внешняя нагрузка создает относительно рассматриваемого сечения момент, вызывающий растяжение нижних слоев балки то изгибающий момент М в сечении положителен.

Графическая интерпретация изложенных правил представлена на рис.V.1.

Разбив балку на участки, следует записать аналитические выражения для всех внутренних силовых факторов. Проводят в пределах каждого участка се-чение и связывают с ним текущую систему координат. Рассматривая равновесие левой или правой части составляют выражения для каждого из внутренних силовых факторов, включая в эти выражения все внешние нагрузки. Знак каждого слагаемого определяют по изложенным правилам.

 

                                                    Рис. V.1

Например, составляя выражение для поперечных сил Q и рассматривая при этом равновесие левой части, в схеме для знаков Q оставляем только левую часть: внешние нагрузки, проектирующиеся на вертикальную ось y, включают в выражение со знаком «плюс», если их направления совпадает с изображен-ным вектором (снизу-вверх), и со знаком «минус», если не совпадает.

Следует внимательно изучить раздел «Дифференциальные зависимости при изгибе», что позволит самостоятельно контролировать правильность по-строенных эпюр, а при достаточных навыках - перейти к построению эпюр без составления аналитических выражений. Целесообразно построить эпюры для всех заданных схем, а затем выполнить остальные пункты задания.

                                 V.2. Контрольное задание №1

1. Построить эпюры внутренних силовых факторов для заданных балок (рис. V.2, V.3), рам(рис.V.4, V.5) и вала (V.7), приняв q, F, M _e, и l в соответ-ствии с индивидуальным заданием.

2. Для схемы (рис. V.2): - подобрать балку двутаврового поперечного сечения из стали, считая, что σ_у=240 МПа, n=1,6; ;

-построить эпюры σ и τ для опасного сечения балки;

-методом начальных параметров определить прогиб в точке К (равноуда-ленной от правой и левой опоры) и построить примерный вид упругой линии.

3. Для схемы (рис. V.3) подобрать прямоугольное сечение балки из чу-гуна (если высота сечения h в два раза больше ширины b), приняв, МПа,   n =2. Построить эпюры σ и τ для опасного сечения балки.

4. Для схемы (рис. V.4) проверить прочность составного сечения, представленного на схеме (рис. V.6), полагая σ _adm =160 МПа.

5. Для схемы (рис. V.7) подобрать размеры сплошного круглого вала на каждом из участков, полагая, что на левом участке вал кольцевого сечения и дать эскиз вала.

                                                                                                              Таблица V.1

Схема	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	а
столбец
F     kH	10	12	14	16	18	20	10	12	14	16	б
q	6	7	8	9	5	6	7	8	9	10	в
Me kH м	8	10	12	6	8	10	12	14	16	20	а
l       м	2.2	2.4	2.6	2.0	2.8	3.0	2.0	2.4	2.6	3.0	б
h          м	2	3	4	2	3	4	2	3	4	-2.5	в

В таблице V.1 даны исходные данные для расчётных схем изображённых на рис. V(2,3,4,5). К примеру, если последние три цифры вашей зачётки 137, то следует решать  задачу по схеме №7, приняв F = 14 к H, q = 6   M_e=12          

l =2.6 м, h = 2 м.

 

                                                                          

 

                                             Рис. V.2

 

                                                          Рис. V.3

                                          Рис. V.4

 

 

 

 

 

 

 

Рис. V.5

                                                                              

 

 

	Рис. V.6		Таблица V.2

 

строка	Полоса	Швеллер	Двутавр	Равнобокий уголок
Схема рис.V.6
1	300	30	27
2	310	27	30
3	280	24	33
4	280	18	16
5	320	18 а	18
6	320	20	20
7	320	22	24
8	300	24	27
9	300	27	30
0	300	30	33
а	б	в	а	б

                                                          Рис. V.7

 

                                                                                              Таблица V.3

схема	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	а
столбец
Ме кНм	2	3	4	5	6	2	3	4	5	6	б
τ adm   МПа	60	65	70	75	80	85	90	80	70	60	в
d/D	0.9	0.8	0.7	0.6	0.5	0.4	0.9	0.8	0.6	0.5	б

Рассмотрим некоторые типовые примеры. Для балки (рис. V.8) исходные данные:

                             F =12 кН; q = 6

                              M _e =18 кНм; l =6 м.

Рис. V.8

Изобразим расчетную схему балки, указав длины участков, величины внешних нагрузок и направления реакций. Левая опора А – шарнирно - подвиж-ная, и в ней в общем случае могут быть вертикальная составляющая реакции R _A и горизонтальная -H _A. Правая опора - шарнирно-подвижная и в ней вертикальная реакция R _B.

Чтобы составить выражения для Q, M, предварительно следует опреде-лить реакции опор.

Спроектировав все силы на горизонтальную ось x, установим, что H _A =0.

                      R _B =11 kH.

                    R _A =1 kH.

Проверка:          

Полученные знаки «плюс», свидетельствуют о правильном выборе нап-равлений для R _A и R _B. Если реакция получена со знаком «минус», следует из-менить направление ее вектора на противоположное.

Имеем три участка. Проведем в них сечения и покажем текущие коорди-наты. Для первого участка рассмотрим в равновесии левую часть, а для второго и третьего- правую.

                     Участок I ()  

                                    ;  

               

где q x ₁ - равнодействующая распределенной нагрузки, а - плечо этой силы.

Величина линейно зависит от x, поэтому достаточно двух значений для построения эпюры Q _y. Закон изменения - параболический, и для пос-троения эпюры  необходимо иметь по крайней мере три значения.

Дифференциальная зависимость при изгибе  позволит заклю-чить, что экстремальное значение функции  будет при  которое следует определить из условия Q=0:

                             

Таким образом,

                     к H м

Положительные значения Q _y откладывают над базовой линией. Положи-тельные значения изгибающих моментов M _z откладывают под базой (строят M _z на «растянутом волокне»). Вспомним, что изгибающий момент принято счи-тать положительным в случае, если растянуты нижние слои балки.

 

                    Участок II ()

                

                 

              

       Участок III        ()

Распределенная нагрузка на соседнем (втором) участке представляется в виде равнодействующей 2q, приложенной в середине этого участка. Таким образом,

                                        

 

Эпюры Q _y и M _z представлены на рис. V.8, б, в.

Обратим внимание, что в сечениях, где приложены сосредоточенные си-лы R _A, F, R _B на эпюре Q _y имеем скачки на величину этих сил в направлении сил (если двигаться слева направо).

На третьем участке распределенная нагрузка отсутствует и величина  постоянна,  изменяется по линейному закону. Площадь эпюры равна =1 кН· 2 м =2 к H м, и изменение изгибающего момента . На этом участке и  изменяется от - 10 кНм до 8 кНм, т.е. увели-чился на 2 кНм.

На первом участке длинной 2 м имеем  и по мере возрастания x поперечная сила уменьшается от +1 до -11 кН (на 12 кН) по линейному закону. Изгибающий момент изменяется по закону параболы с экстремальным значением 0,08 в сечении, где

В сечении С приложена пара сил M_e=18 кНм, которая растягивает верх-ние волокна, и на эпюре М _z, при переходе со второго на третий участок, име-ем скачок на -18 кНм.

Для консоли, изображенной на рис. V.9, а, эпюры Q _y и M _z можно пос-троить без определения реакций, если для каждого участка рассматривать часть балки, не содержащую опору.

      

 

 

 

Рис. V.9

                                

                               Участок I       ()

 

                  

                                  

 

                              Участок II      ()

                                           

                       

 

Построив эпюры (рис. V.9, б, в), следует провести анализ аналогичный тому который имел место в предшествующей задаче.

Перейдем к построению эпюр внутренних усилий в ломанных брусьях (рис.V. 4, 5). В общем случае в поперечных сечениях возникают три внутренних силовых фактора: продольная сила N, поперечная сила Q _y и изгибающий мо-мент M _z. Вводится подвижная прямоугольная система координат и каждый участок рассматривается как балка. Правильность построения эпюр M _z контро-лируют условием равновесия узлов.

Построению эпюр для шарнирно опертого бруса (рис.V.10, а) должно предшествовать определение реакций:

;      ;

;   ;   кН;

;      ;            кН;

 

Проверка: :        .

 

 

 

 

                                          Рис. V.10

Имеем три участка. Направления обхода обозначены на рисунке.

                                Участок I      ()

                                     N=0;       кН;

                     

При =0 изгибающий момент растягивает верхние волокна, и ординату M _z = - 36 кНм откладываем сверху; при x ₁ = 6 растягиваются нижние волокна (ордината M _z = +36 кНм - снизу). На эпюре M _z знак не ставят, так как расположение эпюры на «растянутом волокне» дает исчерпывающую информацию.

                               Участок II    ()

Используем правило знаков для правой части бруса

                     кН;

         

В начальном сечении второго участка M _z растягиваются правые волокна (эпюра-справа), в конечном сечении- левые волокна (эпюра- слева). Эпюра Q _y строится в соответствии с принятой ранее ориентацией вертикального участка в отношении правила знаков.

                             Участок III     ()

кН;   

Определим значение х _3э, при котором :

          ;            ;

      

 

Эпюры представлены на рис.V.10 б, в, г. Эпюра M _z на участке III - парабола, выпуклость которой направлена в сторону действия распределенной нагрузки q.

Для проверки правильности построения эпюры M _z выделим узлы А и С посредством сечений, бесконечно близких к точкам А и С.

В узле А (рис. V.10, e) не приложена внешняя пара сил и, рассматривая эпюру M _z, можно отметить, что вертикальный стержень в непосредственной близости от узла растянут слева моментом 18 кНм, а горизонтальный стержень растянут снизу моментом 18 кНм. Точкой обозначено растянутое волокно стер-жня, стрелкой - направление момента, который вызвал это растяжение. Следо-вательно, узел А находится в равновесии.

В узле С (рис.V.10, д) приложена внешняя пара сил M _z =18 kH м, направ-ленная по часовой стрелке. Вертикальный стержень изгибается моментом 18 кНм (эпюра справа), который растягивает правое волокно, а горизонтальный стержень - моментом 36 кНм, растягивающим нижнее волокно. Суммируя упомянутые моменты можно заключить, что условие равновесия узла С соблюдается.

Для рамы, имеющей защемленную опору (рис. V.11, а) эпюры N, Q _y, M _z можно построить, не определяя реакции опоры (M _A, H _A, R _A). Обход участков следует вести со стороны свободного конца.

                          Участок I ()

                                кН;

             

                          Участок II              ()

     кН;                кН;

                   

                         Участок III          ()

     кН;            кН;

 

                                                                          

                                                                 

 

Узел С     Рис. V.11

Узел В

Эпюры N, Q _y, M _z, показаны на рис. V.11, в, г, д.

Моменты относительно оси z ₃ создают пять внешних нагрузок. Пос-кольку в равновесии рассматривается правая часть рамы, то правило знаков для M _z (M _z > 0) позволяет заключить, что обе пары сил и распределенная нагрузка дают положительные составляющие в выражении для моментов, а силы F, при-ложенные в точках В и Д - отрицательные. Распределенную нагрузку участка СД следует заменить равнодействующей 2q, тогда плечо этой силы (x ₃ -1).

Условие равенства нулю в узлах B и C показаны на рис. V.11, е, ж.

 

Переходя к расчетам на прочность следует вспомнить, что допускаемое напряжение

                         

получают уменьшая предельное напряжение в n раз, где n - коэффициент запа-са.

Для пластичных материалов предельное напряжение - предел текучести – σ _у, а для хрупких временное сопротивление –σ _u. Для хрупких материалов, имеющих существенно отличающиеся (в несколько раз) временное сопротив-ление сжатию  и временное сопротивление растяжению  проводят про-верку безопасной прочности в сжатой и растянутой областях.

В соответствии с пунктом 2 контрольного задания №1 подберем балку двутаврового поперечного сечения из стали с МПа; при n = 1,6. Усло-вие безопасной порочности имеет вид:

                               .

Величину M_z,мах=10.08 кНм берем из эпюры (рис.V.8, в), а допускаемые напряжения равны.

                    МПа.

Определим осевой момент сопротивления:

 По сортаменту ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 14 (рис.V.12, а), у которого осевой момент сопротивления ближайший больший к расчетному значению. Выпишем параметры I № 14: h =14 см; b = 7.3 см; S = 0.49 см;      t = 0.75 см; A =17.4 см ²; I _z =572 см ⁴; W _z =81 см ³; .

Определим величину σ_мах, если балка будет изготовлена из I №14, в сече-нии с наибольшим изгибающим моментом.

Наибольшие касательные напряжения будут в сечении, где самая боль-шая по абсолютной величине поперечная сила Q = 11 кН (из эпюры рис.V.8, б).

Касательные напряжения в любой точке сечения при поперечном изгибе определяют по формуле Журавского:

 где Q- поперечная сила, I _z - момент инерции сечения,      - статический момент отсеченной части, b (y) - ширина сечения, измеренная по линии, параллельной оси z, проходящей через искомую точку.

Наибольшего значения напряжений  достигает на нейтральной оси се-чения:

.

Для вычисления τ в точке L сечения стенки в месте перехода ее в полку следует определить статический момент осеченной части (полки).

                                   

                       

  

                                  Рис. V.12

Зная характер изменения σ (линейный) и τ (параболической) по высоте сечения, строим эпюры (рис.V.12, б, в).

Расчет на прочность балки при изгибе должен обеспечить ее безопасную прочность, но это не гарантирует необходимую жесткость балки. Определяют максимальные прогибы балки, которые не должны превышать значений проги-бов, устанавливаемых в соответствии с её эксплуатационным назначением.

Существует несколько способов определения перемещений. Используем метод начальных параметров с универсальной формулой:

EIV=EIV_o+EI x +

где: M _i, F _i, q _i - внешние нагрузки, включающие и опорные реакции, распо-ложенные левее (знак «Л» над знаком суммы) от рассматриваемого сечения;

a_i, b_i, с _i, d_i - расстояния от начала координат до сечения, где приложены эти нагрузки;

V - перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки x (если перемещение вверх по оси y, то V > 0);

V_o - перемещение в начале координат О;

- угол поворота сечения в начале координат по отношению к исходному (ненагруженному)положению. Если поворот против часовой стрелки, по >0.

 

                                                     Рис. V.13

Начальные параметры V_o и  определяют из граничных условий (огра-ничений, накладываемых опорами).

В соответствии с условиями вывода формулы начало координат О при-нято располагать в крайнем левом сечении балки (сохраняя его общим для всех участков), ось y направлять вверх, а ось x - вправо (рис. V.13). Внешние силы, показанные на этом рисунке, принимаются положительными, (они вызывают изгибающие моменты, растягивающие нижнее волокно). Если направления внешней силы противоположно, то в уравнении прогибов ее записывают со знаком «минус».

Определим перемещение точки К балки. Расчетная схема и эпюра М _z приведена на рис.V.14, а, б.

Граничные условия в данном случае имеют следующий вид: а) VA=0, при Х=0; б) VB=0, при Х=6м, (опоры не позволяют балке перемещаться в точках А и В в вертикальном направлении). Левая опора совпадает с началом координат V А =Vо=0. Следовательно, один из начальных параметров определен. Для нахождения второго (), используем условие (б). В уравнение должны войти все внешние усилия, расположенные левее сечения В.

                        Рис. V.14  .

В сечении С распределенная нагрузка обрывается, поэтому для восста-новления силовой схемы начиная с сечения С и до правого конца балки вводят «компенсирующую нагрузку» q противоположного направления (что показано пунктиром), которая учитывается слагаемым + . Нагрузка q на учас-ток NB находит отражение в слагаемом . Таким образом получаем:

;

                            =10.67 кНм ².  

 Итак, >0, следовательно, сечение в начале координат поворачивается против часовой стрелки (рис.V.14, в).

Для определения прогиба в точке К (при х =3м) составим уравнение:

                     

                 .

Таким образом точка К перемещается вверх на 1.62 см.

Дополнительную информацию можно получить, исследуя характер эпю-ры М _z. Так на участках AL и NB эпюра расположена под базовой линией, следо-вательно растянуты нижние волокна и кривизна упругой линии (эпюры проги-бов) положительна (кривая обращена вогнутостью вверх). На участке LN - вверх, так как эпюра моментов расположена над базовой линией, растянуты верхние волокна, и кривизна упругой линии отрицательна (кривая обращена вогнутостью вниз).

 

Выполняя п.3 контрольной работы №1,следует из эпюры для схемы V.3 взять наибольшее значение М_z,max. Пусть, например, М_z,max=49 кНм, Q_y,мах= 15 кН.