Чистый косой изгиб призматического бруса

В отличие от прямого изгиба общий случай изгиба, при котором плоскость действия момента не содержит главную ось инер­ции сечения, называется косым изгибом.

Косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб бруса моментами M_z и М_у, для которых оси z и у являются главными центральными осями инерции сечения, а плоскости дей­ствия xz и x у – главными плоскостя-ми бруса.

                     Рис.11.1                         Зададим моменты M на торцах бру-са в силовой плоскости, составляющей с главной плоскостью ху угол β, показанный на рис.11.1, а как от­клонение от оси у силовой линии f – f – следа силовой плоскости на плоскости сечения бруса. Тогда М _z = M cosβ, M _у = M sinβ (на рис.11.1, б)моментные векторы отложены на нормалях к плоскостям

действия моментов). Напряжение в точке (у, z) можно определить как алгебраи­ческую сумму напряжения от M_z и M_y:

Как и при прямом изгибе, напряжения распределяются по закону плоскости.

Так как в точках нейтральной оси сечения σ _х = 0, то уравнение этой оси будет

Другими словами, нейтральной осью при косом изгибе является прямая, проходящая через начало координат (центр тяжести сече­ния) и составляющая с осью z угол φ, определяемый из уравнения

tg tgβ

Минус показывает, что нейтральная ось и силовая линия лежат в двух смежных четвертях. При I_z ≠ I_y угол φ не равен углу β, т.е. нейтральная ось не перпендикулярна силовой плоскости, как это имело место при прямом изгибе.

К случаю, когда I_z = I_y и все центральные оси сечения яв­ляются главными, понятие "косой изгиб" неприменимо (φ = β).

Определить примерное положение нейтральной оси можно, со­поставив знаки напряжений от моментов M_z и М_у в четвертях. Нейтральная ось пройдет через те четверти, где эти напряжения вычитаются.

Линия равных напряжений в сечении

имеет тот же угловой коэффициент, что и нейтральная ось, т.е. параллельна ей. Это предопределяет характер эпюры σ _х (см. рис.11. 1, а). Поскольку напряжения σ _х распределяются по закону плоскости, проходящей через нейтральную ось, они будут наи­большими для точек, наиболее удаленных от этой оси.

Полный прогиб равен геометрической сумме перемещений w и v вдоль главных осей z и у:

Направление прогиба определим функцией

tgα = v/w.

Величины v и w пропорциональны соответственно

 

M_z / I_z = (M cosβ)/ I_z и M_y / I_y = (M sinβ)/ I_y .

Следовательно,

tgα = (I_y / I_z) ctgβ = k ₁.

 

В то же время угловой коэффициент нейтральной оси

tgφ = – (I_z / I_y) tgβ = k ₂.

Так как k ₂ = – 1/ k ₁, то направление полного прогиба перпендикуля­рно нейтральной оси. Следовательно, плоскость изгиба нормальна к нейтральному слою.