Предельное сопротивление балки

 

Для большинства балок касательными напряжениями в попере­чных сече-ниях пренебрегают. Отличие от чистого изгиба состоит только в изменении из-гибающего момента от сечения к сечению. Расположение пластических облас-тей можно определить, подставив в зависимость для граничной ординаты

 у _y = f (M_z) выражение М _z.

Рассмотрим балку прямоугольного сечения в случае, когда диаграмма σ ~ ε обладает участком идеальной пластичности (см. рис.5.3, а). Читатель может убедиться, что ордината на границе упругой и пластической областей равна

Отсюда вытекает соотношение

Примем нагрузку в виде силы F, приложенной посредине балки (рис.10.11). Положив начало координат в точке под силой F, получим в случае исчерпания несущей способности в этом сечении:

А так как

                

              Рис. 10.11                

                                            то

  

После подстановки выражения М _z в выведенное выше соотношение находим

т.е. границей раздела упругой и пластической областей является парабола. Из условия у_у= h / 2 определяется расстояние, на которое простирается пластическая область по длине балки в каждую сторону от линии приложения силы: х = ± l /6.

При M_z = M_{z (у)} получаем k_x = ∞, т.е. сечение имеет безгранично нарастающие повороты. Это явле­ние связывают с появлением так называемого пластического шарнира. Последний отличается от конструктивного тем, что, во-первых, удерживает определенный предельный момент M_{z ( y )} и не препятст-

ствует поворотам, начиная только с тех значений момен­тов, которые превосхо-дят значение M_{z ( y )}. Во-вторых, пластичес­кий шарнир является односторонним в процессе деформирования и исчезает при перемене знака деформации.

 

Практикум

Следует разобрать примеры решения задач, приведенные в разделе V, контрольное задание №1.

Вопросы для повторения

 

1. Что называют чистым и поперечным изгибом?

2. Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях балки в общем случае действия на неё плоской системы сил?

3. Какие типы опор применяются?

4. Как формулируется гипотеза плоских сечений?

5. Что представляет собой нейтральный слой и нейтральная ось?

6. Чему равна кривизна оси балки при чистом изгибе?

7. Как изменяются нормальные напряжения по высоте балки при чистом изгибе?

8. Как определить максимальные нормальные напряжения при изгибе?

9. Что называют моментом сопротивления сечения при изгибе и какова его раз-мерность?

10. В каких случаях при поперечном изгибе допустимо нормальные напря-жения определять по формуле, полученной для случая чистого изгиба?

11. По какому закону изменяются касательные напряжения по высоте балки прямоугольного сечения?

12. Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок из пластичного материала?

13. Какой должна быть рациональная форма сечения для балки из хрупкого ма-териала?

14. Как проводится проектировочный расчет для балки заданной формы сече-ния?

15. В каких случаях следует производить дополнительный поверочный расчет по наибольшим касательным напряжениям?

16. Какие перемещения получают поперечные сечения балок при изгибе?

17. Почему при определении прогибов балки можно пользоваться приближен-ным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки?

18. Из каких граничных условий определятся постоянные интегрирования при нахождении прогибов балки?

19. Что представляет собой уравнение метода начальных параметров?

20. Что называют композитным брусом?

21. Чем можно объяснить существенное отличие нормальных напряжений в элементах разнородной упругости при изгибе композитного бруса?

22. Чем определяется предельное состояние балки при изгибе?

 

 

Тесты для повторения

1. Какова величина нормальных (а -г) и касательных (д -з) напряжений в опас-ном сечении в точке К?

 σ_А=:

  (а) 39.9 МПа; (б) 16.3 МПа;

(в) 124 МПа; (г) 68.7 МПа.

τ_А=:           

(д) 4.6 МПа; (е) 3.47 МПа;

(ж) 1.45 МПа; (з) 6.33 МПа.

                                                   Ответ: (а) и (ж).

Построив эпюры М_z и Q_y установим, что опасным будет сечение в задел-ке, где М_{z max}=38 кHм и Q_y=16 кH.

              σ_к=             τ_к= = .

где: - статический момент площадки, отсекаемой сечением, проведённым через точку К параллельно плоскости (z,x); -координата центра тяжести этой площадки; b – ширина сечения.

                        =А^* =10

2. Чугунная балка таврового сечения нагружена изгибающим моментом, дей-ствующим в вертикальной плоскости и растягива-ющим верхние волокна.

Определить как изменится фактический коэффи-цинт запаса прочности, если изгибающий момент изменит свой знак, при условии, что временное сопротивление на сжатие в четыре раза больше временного сопротивления на растяжение.

(а) возрастёт в 2 раза; (б) сохранится таким же;

(в) уменьшится в 2 раза; (г) уменьшится в 2.5 ра-за.

Ответ: (г). Определим величину момента инерции сечения относительно оси z, установив предварительно положение центра тяжести сечения:

                     У_В=  =10 см. Тогда:

        J_z=Σ(J_zi+ = + =485см⁴.

Напряжение в точке С

                                      σ_с= = .

Напряжение в точке В

                                      σ_В= =

Это напряжение превышает напряжение в точке С в:

                                           раза. (*)

Первый случай, когда в точке С изгибающий момент вызывал растягивающие напряжения более благоприятен и прочность определялась условием безопас-ной прочности в растянутой зоне (т. С) поскольку соотношение (*) меньше четырёх. Следовательно для второго случая, когда точка В будет работать в растянутой зоне фактический коэффициент запаса прочности уменьшится в 2.5

раза.

3. Под действием нагрузки в вертикальной плоскости в балке, поперечное сечение которой изображено (1), возникает текучесть, σ_мах=280МПа > σ_Т = 240 МПа. В каком состоянии окажется та же балка, если её расположить в положении (2), если нормативный коэффициент запаса n_adm=1.5?

(а) σ_мах < σ_adm;    (б) σ_мах = σ_adm;  

(в) σ_adm< σ_мах < σ_T; (г) σ_мах > σ_T.

Ответ: (а). Определив моменты сопротивления для положения (1):

   

 

W_z=  см³

 

Установим величину изгибающего момента, который вызвал напряжения

280 МПа.

 

M_z= σ_мах =180 МПа Н

 

В положении (2)

 

                                 W_z=

 

 следовательно      

                           σ_мах =51.62 МПа,

и напряжения      

 

                        σ_мах=51.62 МПа <

4. К балке постоянной жёсткости Е J_z в точке С приложена сила F. Величина прогиба в этом сечении V_c,будет равна:

(а) - (б) -

 (в) - (г) -

Ответ: (в). Определив реакцию R_A=  запишем универсальное уравнение ме-тода начальных параметров:

                    EJ_zV=EJ_z +EJ_z x + R_A  -F

Начало координат совпадает с левой опорой, следовательно прогиб =0, а

 

 

второй начальный параметр определим из условия равенства нулю V_B=0, при х = 3b.

                             EJ_zV=0+EJ_z 3b +  -F

тогда:                                     

                                                 EJ_z = - Fb².

Прогиб в точке С, находящейся на расстоянии х_с =2b:

 

                                   EJ_zV_С= - Fb²(2b)+ =

тогда:                                            

                                                  V_С =

Контрольные тесты

 

1.  Изгиб называется чистым, если в поперечных сечениях балки из шести внутренних усилий действуют только …

2.  При изгибе возникают такие перемещения, как …

3.  При поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают такие напряжения, как …

4.  Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом и по-перечной силой имеет вид …

5.  Когда изгибающий момент на участке с распределенной нагрузкой имеет экстремальное значение, поперечная сила в этом сечении равна …

6.  Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения балки определяются по формуле …

      7. Наибольшие нормальные напряжения в поперечном сечении балки возникают в …

8. Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе имеет вид …

9. Касательные напряжения при поперечном изгибе в любой точке поперечного сечения балки определяется по формуле...

10. Касательные напряжения при поперечном изгибе достигают максимума на …

      11. Условие прочности по касательным напряжениям при изгибе имеет вид …

      12. При упругом деформировании нейтральная линия сечения балки проходит через …

      13. Момент сопротивления изгибу балки прямоугольного сечения разме-ром h ×в относительно центральной оси, параллельной основанию в равен …

      14. При подборе сечения балки, его момент сопротивления должен быть не менее …

15. Моментом сопротивления изгибу поперечного сечения балки назы-вают отношение …

16. Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки имеет вид …

       17. Между прогибом и углом поворота сечения балки существует диф-ференциальная зависимость в виде …

 18. При использовании в расчетах прогибов метода начальных пара-метров, сами начальные параметры находят из граничных условий на …

       19. Если левый конец балки жестко защемлен, то начальные параметры равны …

        20. Условие жесткости при изгибе имеет вид …

                           11. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

                              11.1. Общие понятия

 

Если в поперечном сечении бруса возникают два или более внутренних силовых фактора, учитывать которые обязательно необходимо в расчетах на прочность, то говорят о сложном сопротивлении.

Хотя при прямом поперечном изгибе в сечении возникают и М_z и Q_у, но в подавляющем большинстве случаев расчеты на прочность и жесткость ведут без учета влияния поперечных сил, то этот случай считают простым соп-ротивлением.

Если в поперечном сечении в опасной точке бруса напряженное состояние является линейным (одноосным), хотя и вызывается несколькими внутренними усилиями, то оценку прочности проводят по условию:

                                    

т.е. использовать теории прочности просто не нужно. Это характерно для косого изгиба, внецентренного растяжения и сжатия.

Если в опасной точке бруса возникает плоское напряженное состояние, то оценить прочность можно только по одной из теорий прочности, выбор которой определяется предельным состоянием данного материала в данных конкретных условиях нагружения (температура, скорость нагружения и т.п.). Такие расчеты проводят при изгибе с кручением, сжатии с изгибом и кручени-ем.