Поверочные и проектные расчеты

 

Смысл поверочного расчета по методу допускаемых напряже­ний состоит в сопоставлении фактических напряжений в опасном сечении бруса с допускаемыми:

.

 Здесь и в дальнейших поверочных и проектных расчетах внут­ренние усилия берутся по модулю. Это неравенство называется условием безопасной прочности при растяжении (сжатии).

Фактические напряжения не должны отклоняться от допускае­мых более, чем на 5%. Большее перенапряжение недопустимо с точ­ки зрения безопасной прочности, а недонапряжение приводит к пе­рерасходу материала.

Обратные задачи решаются при заданном допускаемом напряжении. В первом случае заданными считаются также размеры поперечного сечения, а определяется допускаемая продольная сила:

Во втором случае при известной нагрузке определяется пло­щадь поперечного сечения

после чего вычисляют его размеры. Если их количество больше единицы, необходимы дополнительные соотношения между ними (на­пример, отношение высоты прямоугольника к ширине).

Наиболее экономичным является брус равного сопротивления. Он имеет переменную по длине площадь поперечного сечения, по­добранную так, что напряжения во всех сечениях одинаковы: σ _x = σ _adm.

Возьмем брус, подверженный растяжению силой F и собственным весом (рис. 7.4). Площадь нижнего сече­ния А ₀ определяется из условия F /А ₀ = σ _adm:

A ₀ = F/ σ _adm.

Чтобы установить закон изменения площади сечения по высоте бруса, возьмем два смеж­ных сечения. Приращение площади dA (x) при переходе от одного сечения к другому дол­жно воспринять вес ρ gA (x) dx элемента бруса между сече-ниями при том же напряжении:

Рис. 7.4        

                                                           

откуда

После интегрирования получаем

Подставим значение А (х) = А_о       при х = 0:

l n А ₀ + С = 0, и С =– l n A ₀.

Окончательно

А (х) = A ₀exp[(ρ gx)/σ _adm ].

Криволинейность границы бруса удорожает его изготовление. На практике чаще применяют стержни ступенчатые или в виде усеченного конуса.

Приведенный проектный расчет является приближенным. Пред­полагалось, что по всему сечению бруса передаются только нор­мальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.

Установлено, что формулу напряжений для бруса постоянного сечения можно применять с достаточной точностью для бруса пе­ременного сечения, если угол конусности α ≤ 12º.

Важно заметить, что, рассматривая условия безопасной проч­ности, мы не предполагали отклонения от определенной начальной формы равновесия стержня. Эта проблема будет рассматриваться в гл. 13.

Помимо условия прочности, требуется выполнение условия жесткости:

                                              N /(EA) ≤ ε _adm.

Решения обратных задач имеют вид:

N_adm ≤ EA ε _adm, A ≥ N /(E ε _adm),  E ≥ N /(A ε _adm).

Легко заметить, что первые две формулы в случае совпадения величин E ε _adm и σ _adm будут тождественны соответствующим форму­лам, полученным из условия прочности, а в случае несовпадения –отличаться на постоянный множитель. Третья формула определяет новый тип проектной задачи – подбор материала с необходимыми упругими свойствами.

При расчете по предельным состояниям вместоσ _adm принима­ются расчетныесопротивления растяжению(R_t) или сжатию (R_c).

                                              7.6 Практикум

Примеры

 

1. Для стального бруса (Е=2 МПа) построить эпюры продольных сил, нор-

мальных напряжений в поперечных сечениях бруса и перемещения этих сече-

ние.

Решение. Продольную силу в поперечном сечении определим проектируя внешние силы, приложенные справа от рассматриваемого сечения на ось бруса:

           N_DL=0; N_BC=60 кH;

           N_AB=60+120=180 кH.

По полученным значениям строим эпюру продольных сил N (рис.б)

В поперечных сечениях бруса воз-никают нормальные напряжения.

                σ_DL= =0;

   σ_CD= = = =

                                                                        =12 Па=120 МПа;

     σ_ВС= = = 50 МПа;        σ_АВ= = = 150 МПа.

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений σ (рис.в).

    Поперечные сечения бруса под действием внешних сил смещаются впра-во относительно неподвижного сечения А. Величина  смещения сечения, ра- положенного на расстоянии х от левого конца бруса равна деформации уча-стка длинной х:

                               на участке АВ при (0 )

_АВ= = =0.75

                              на участке ВС при (0 )

_ВС= =0.75 +

                               на участке АВ при (0 )

_CD= _ВС + =10³⁺ =

Участок DL не деформируется (N_DL=0, следовательно _DL=0), но пере-мещается в следствии деформаций участков, расположенных слева.

     Во всех полученных выражениях переменная х входит в первой степени, а следовательно зависимость между  и х линейная. Это позволяет по расчётным перемещениям сечений В, С, D, L построить эпюру перемещений  (в размерности мм).

 Поскольку _I= = =ε_i· х, то относительная продольная деформация ε_i на каждом участке представляет собой коэффициент, соответ-ствующий углу наклона эпюры  на каждом участке. Сравнивая эпюры σ и эпюры  можно наблюдать, что чем больше значения σ, тем круче линия эпюры  (при условии Е=const), а на участке DL – эпюра перемещений гори-зонтальна.

 

2. Для металлического бруса, находящегося под действием сил построена эпюра N продольных сил, возника-ющих в его сечениях. Произвести расчёт на прочность стержня в следующих случаях.

 2.1 Стержень изготовлен из плас-тичной стали:

σ_adm=160 МПа, F=40 кН. Подобрать площади поперечных сечений для каждого из участков.

Решение. Условие безопасной прочности σ =  σ_adm позволяет вычислить минимальную площадь поперечного сечения:

                   А₁ = = =12.5 см²;

                А₂ = 7.5 см²;                        А₃ = 5 см².

    Для второго участка, где N₂ <0 берём абсолютное значение силы 120 кН и делим на допускаемое напряжение σ_adm=160 МПа, которое для пластичных ма-

териалов имеет одинаковое значение и в случае растяжения, и в случае сжатия. Принимаем: А₁=12.5 см²; А₂=7.5 см²; А₃=5 см².

 

2.2 Стержень изготовлен из чугуна:

σ_{adm t}=120 МПа; σ_admс=310 МПа; F=50 кН; А₁=25 см²; А₂ =; А₃=?

Проверить прочность стержня. Дать рекомендации по изменению поперечных сечений (рациональные сечения).

Решение. Определим напряжения на каждом участке

σ₁ = =10⁴ =100 МПа;    σ₂= = -300 МПа;

σ₃= = 125 МПа. Условия безопасности прочности на первом участ-ке σ₁=100 МПа 120 МПа = σ_adm выполняется, но площадь этого участка мож-но уменьшить до величины = 20.83 см³ (принимаем 21см²), тогда потребуется меньше материала для изготовления конструкции.

На втором участке σ₂= 310 МПа = σ_admс сравнивать необходимо абсолютную величину сжимающих напряжений. Условие прочности выполне-но, а недонапряжение  σ%= 100% 3.2%

   На третьем участке σ₃=125 МПа 120 МПа=σ_adm, и условие формально не выполняется. Однако перегрузка  σ%= 100% 4.2% не превышает 5%, что позволяет оставить площадь третьего участка А₃=8 см².

 

2.3 Стержень изготовлен из пластичной стали:

σ_adm=160 МПа; А₁=30 см²; А₂=15 см²; А₃=20 см². Определить допускаемое зна-чение нагрузки F.

Решение. Следует сравнить напряжения на каждом из трёх участков и из усло-вия безопасной прочности σ_мах= σ_adm, определить величину допускае-мой силы F.

σ ₁ = = 0.167 F;  σ ₂ = =0.2 F; σ ₃ = = 0.1 F.

На втором участке нормальные напряжения наибольшие по абсолютному зна-чению, поэтому, наибольшее значение силы F_мах.

  = ≤ 160 МПа = σ_adm     F_мах 160 =

=8·10⁴ Н = 80 кН. Допускаемая величина силы F_adm= 80 кН. При таком значении силы на втором участке нормальные напряжения равны σ_adm, а на первом и втором участке они соответственно составляют 83.5% и 50% от σ_adm.

Вопросы для повторения

 

1. Изложите гипотезу плоских сечений.
2. В чем заключается принцип Сен-Венана?

3. Как вычисляется значение продольной силы N в произвольном поперечном сечении бруса?

1. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится?

5. Как распределены нормальные напряжения σ_х в поперечных сечениях центрального растянутого бруса и чему они равны?

6. В каких сечениях растянутого бруса возникают наибольшие нормальные напряжения?

1. Что называется жесткостью поперечного сечения при растяжении?

8. Как формулируется закон Гука? Запишите формулы абсолютной и относительной продольной деформации бруса?

1. Что представляют собой эпюра продольных перемещений?

10. Как учитывается собственный вес бруса в аналитическом выражении для продольной силы?

11. Как объяснить наличие множителя 1/2 в формуле удлинения вертикального бруса постоянного сечения от собственного веса?

1. В чем смысл и какова формула поверочного расчета?

13. Как назначаются допускаемые напряжения для пластичных и хрупких материалов?

1. Как выполняется проектировочный расчет?

15. Какие три характерных вида задач встречаются при расчете на прочность конструкции?

16. Почему считается возможным отклонение до 5% фактического напряжения от допустимого?

17. Почему необходимо выполнять условие жесткости? Приведите приме-ры.

18. При проведении расчета на прочность по предельным состояниям с чем сравнивают фактические напряжения?

 

 

Контрольные тесты

 

1. В поперечном сечении растянутого бруса возникают напряжения, которые называются …

1. Жесткостью поперечного сечения при растяжении называют …

3. Безопасная прочность бруса при растяжении определяется по формуле…

4. Допустимые напряжения для пластичных материалов определяют по формуле …

5. Допустимые напряжения при растяжении хрупких материалов определяют по формуле …

6. Опасным поперечным сечением бруса является сечение, в котором действуют наибольшие …

7. Центральным растяжением называют такой вид деформации, при котором в поперечном сечении возникает только одно внутреннее усилие - …

8. С увеличением жесткости поперечного сечения бруса абсолютное удлинение …

9. Площадь поперечного сечения бруса из условия безопасной прочности при растяжении определяется по формуле …

10. Значение продольной силы в поперечном сечении бруса вычисляют из условия …

1. Напряжения в системе СИ имеют размерность …
2. Удлинение растянутого стержня определяется по формуле …
3. При поверочном расчете сравнивают …
4. При проектировочном расчете определяют …
5. Условие жесткости при растяжении определяется выражением …

16. Отличие расчета на прочность по предельным состояниям от расчета по допустимым напряжениям состоит в …

СДВИГ

                                         8.1 Основные положения

 

Исследуя в п.4.2 плоское напряженное состояние, мы уста­новили, что если главные напряжения равны по величине и проти­воположны по знаку, то площадки, наклоненные к главным под уг­лом 45°, являются площадками чистого сдвига (рис. 8.1).

Чистый сдвиг прямоугольного призматического бруса вызыва­ется поперечными силами по четырем его граням. На рис. 8.2 показан чистый сдвиг в плоскости ху. Зададим следующие условия: 1) отсутствуют линейные деформации, а следовательно, нормальные напряжения и соответствующие им внутренние усилия в поперечных сечениях бруса (продольная сила и изгибающие моменты); 2) отсу­тствует деформация сдвига γ _zx, а следовательно, τ _zx =τ _xz = 0, Q_z = 0; 3) сечение остается плоским, т.е. γ _xy = const; 4) физи­ческий закон − закон Гука при сдвиге; из него вытекает, что τ _yx = τ _xy = const; как следствие, крутящий момент при совмещении центра приведения с центром тяжести обращается в нуль; 5) задана величина поперечной силы Q_y.

                     Рис. 8.1                                         Рис. 8.2

 

Для определения напряжений, деформаций и перемещений привлекаем зависимости по трем законам деформирования для τ _xy и γ _xy:

γ _xy = ∂ u /∂ y +∂ v /∂ x, τ _xy = G γ _xy.

За основное неизвестное принимаем деформацию сдвига γ _xy. При малых величинах γ _xy можно пренебречь перемещениями v и принять γ _xy = ∂ u /∂ y. Так как u – функция одной переменной у, то

γ _xy =du/dy,

 откуда

 Из условия неподвижности нижней грани (u = 0 при y = 0) вытекает С = 0, и следовательно,

u = γ _xy y.

Интегральное уравнение при τ _xy = const принимает вид

Q_y = τ _xy A,

откуда

τ _xy = Q_y /A.

Обращаясь к физическому закону, находим

γ _xy = Q_y / (GA),

и окончательное выражение для перемещений

u = (Q_yy) / (GA).

Анализируя полученное решение, проведем некоторые парал­лели между сдвигом и растяжением (сжатием):

1. На торцах на основании статического граничного условия постоянное напряжение трансформируется в равномерно распределенную нагрузку Y_P = τ _xy, которая и соответствует рассмотренной деформации чистого сдвига. На основании свойства парности касательных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площа­дкам на соответствующих продольных гранях также имеет место равномерно распределенная нагрузка Х _P = τ _yx = τ _xy (в этом отли­чие сдвига от растяжения). Равнодействующие Q_x и Q_y связаны между собой соотношением Q_y / Q_x = h / l.

2. Напряжение τ _xy прямо пропорционально Q_y и обратно пропорционально А. Следовательно, при заданной поперечной силе напряжение можно уменьшить путем увеличения площади поперечно­го сечения.

3. Деформация сдвига обратно пропорциональна величине GA, называемой жесткостью при сдвиге.

                    

     8.2. Практические расчёты соединений, работающих на сдвиг.

Для многих соединений, таких как свар-ные, болтовые заклёпочные, работающих в сложных напряжённых состояниях оценка работоспособности может быть проведена простыми, но довольно надёжными расчё-тами на сдвиг.

Изучив начальную стадию разрушения
заклёпочного соединения (рис 8.3) можно                                                                           

                  Рис. 8.3                    наблюдать, что происходит срез тела заклё-

пки по плоскостям соприкосновения листов. Количество площадок среза n наединицу меньше числа соединяемых листов и пропорционально суммарному числу заклёпок в соединении k.

                                  А_ср= , где d – диаметрзаклёпки.

Условия безопасности прочности

                                   ,

если расчёт ведём по допускаемым напряжениям. При расчёте по предельным состояниям действующие напряжения среза τ сравнивают с расчётным сопротивлением материала заклёпки на срез R_ср. Так выполняют поверочный расчёт. При проектировании заклёпочного соединения диаметр заклёпки назначают, ориентируясь на толщину соединяемых пластин и из условия прочности определяют минимально возможное число заклёпок

                              

В заклёпочном соединении может происходить смятие отверстий листов по поверхности контакта. Это особенно важно при проектировании герметич-ных сосудов. В этом случае дополнительно выполняют проверку на смятие. До-полнительно следует проверить на растяжение и полосу, ослабленную отвер-стиями.

Расчёт болтовых соединений производят в том же порядке. Расчёт высо-копрочных болтов осуществляют из условия затяжки соединения необходимым моментом затяжки, обеспечивающим требуемое усилие на контактирующих поверхностях обжимаемых листов, на которых возникающие силы трения и во-спринимают срезающие усилия. Высокопрочный болт работает только на рас-тяжение. Площадь его поперечного сечения назначается из условия безо-пасной прочности на растяжение.

Сварные соединения менее трудоёмки в исполнении, не приводят к ос-лаблениям элементов, более экономичны. Сварные соединения, как и заклёпоч-ные, условно рассчитывают в предположении равномерного распределения напряжений по сечению шва.

 

Если сварное соединение довести до разрушения, то наплавленный мате-риал останется на обеих частях пластин (рис. 8.4 а).

                                     Рис. 8.4

Срез происходит по площадке m-m, площадке наименьшего сечения, размер которого составляет h  0.7 h, где h – высота катета углового шва. Ус-ловие безопасной прочности запишем в виде

                                  ,

где:      R_ср – расчётное сопротивление материала сварного шва на срез;

             l _шва – расчётная длина шва (в нашем случае l _шва=2 l).

Для случая когда дополнительно осуществить и сварку по торцу (лобовой шов) длиной b, l _шва=2 l +b.

При проектировании соединения (рис. 8.5), называемого врубкой, следу-ет подобрать размеры площади abcd из условия безопасной прочности матери-ала на скол (срез), а размеры площади cefb – из условия прочности на смятие (сжатие) от действия горизонтальной составляющей силы F.

 

             Рис. 8.5

                                                 8.3 Практикум

Примеры

 

1.Определить необходимое число заклёпок диаметром 1,2см для соединения “внахлёст” двух пластин толщиной 0,8см и шириной 10см, если известно, что нормальные напряжения в растянутой полосе σ =150МПа и τ_adm=100МПа.

Решение. Если в растянутой пластине напряжения известны, то вызывавшая их сила N=σ =150МПа =1.5 =120кН.

Эта сила будет срезающей для односрезных заклёпок, число которых:

                         k =10.6

Число заклёпок для обеспечения безопасной прочности соединения должно быть не менее 11 шт.

 

2. Найти необходимую длину фланговых швов, соединяющих равнополочный уголок 63 с пластиной если действующее срезающее усилие F=65кН, приняв R_ср=96 МПа.

Решение. Условия безопасной прочности имеет вид:

МПа (где h = 0.5см - толщина полки уголка)

                           l _шв =19.5см.

Для обеспечения одинаковой работы левого и правого швов длины провара следует выбрать обратными расстояниям до центра тяжести сечения уголка от левого и правого шва

тогда l _лев=14см, l _пр=5.5см.

 

 

3. Две тяги соединены штырём, вставленным в проушины, и нагружены силой F=150кH. Определить действительный запас прочности, если: σ_у=230МПа; τ_у=180МПа.

 

Решение. Определим действующие напряжения среза в штыре

 

                        

 

Запас прочности по касательным напряже-ниям    

Определим действующие нормальные напря-жения в ослабленном сечении правой пласти-ны (т.к. суммарная толщина двух левых боль-ше и там напряжения меньше)       

. 

 Запас прочности по нормальным напряжениям . Решением является 1.53 - меньший из двух.

 

4. Пуансон диаметром 2см прошивает отверстие в стальной пластине толщиной 0.6см с усилием 130кН. Определить касательные напряжения в пластине и нор-мальные сжимающие напряжения в пуансоне.

Решение. Площадь среза представляет собой цилиндрическую поверхность ди-аметром 2см и высотой 0.6см.          А_ср= π  

                   

 Напряжение в пуансоне

 

Вопросы для повторения

 

1.Какой случай плоского напряженного состояния называется чистым сдвигом?

2. Как записывается закон Гука при сдвиге?

3. Какие константы упругости для изотропного материала вам известны?

4. Как связаны эти константы?

5. В чём состоит закон парности касательных напряжений?

6. Как определяют величину τ_adm?

7. Какие упрощающие гипотезы используют при расчёте на срез?

8. Как связаны поперечная сила Q и касательные напряжения в площадке среза?

9. Как вычисляются действующие касательные напряжения в предполо-жении их равномерного распределения в сечении?

10. Запишите условие безопасной прочности при срезе.

11. Как определить действительный запас прочности, если известны дей-ствующие касательные напряжения и прочностные характеристики материала?

12. Как определить необходимое количество заклёпок, обеспечивающее безопасную прочность соединения?

13. Почему в условии прочности для сварного шва содержится множитель 0.7 катета шва?

14. Какие дополнительные проверки на прочность выполняют при расчёте заклёпочного соединения?

15. Как определяют число срезов заклёпки, соединяющих пакет из m ли-стов?

16. Почему при расчёте сварного соединения можно суммировать длины продольных и поперечных швов?

 

Тесты для повторения

1. Почему продольные (фланговые) швы предпочтительнее торцевых (лобовых) при ударных нагрузках?

(а) их можно выполнить более качественно;

(б) протяжённость таких швов неограниченна шириной полосы;

(в) потому что фланговые швы разрушаются без значительных пластических деформаций;

(г) фланговые швы разрушаются с образованием значительных пластических деформаций.

Ответ: (г), предшествующие разрушению значительные пластические деформации могут поглощать значительно большую энергию удара, а при разрушении лобовых швов абсолютные сдвиговые деформации малы.

2. Почему в заклёпочном соединении при большом количестве заклёпок их располагают несколькими рядами, а не в один ряд?

(а) заклёпки более равномерно нагружены;

(б) ослабление ”живого сечения” полосы меньше;

(в) все заклёпки не помещаются в один ряд;

(г) на каждую заклёпку в этом случае придётся большая часть нагрузки.

Ответ: (б), поскольку в этом случае ослабленная большим количеством отверстий под заклёпки полоса может не обеспечить прочность.

3. Если две пластины соединяются сваркой встык, а толщина пластины t и ширина b, то каким будет правильное условие прочности:

 

 (а)   (б)

 (в)    (г)

Ответ: (в), поскольку в таком сварном шве площадка разрушения () и в ней действуют нормальные напряжения σ.

 

4. Две пластины соединены с помощью двух накладок и растянуты силой F. Катет шва h. Какая из формул будет верной при проверке на прочность?

(а) (б)

(в) (г)   

Ответ: (б), поскольку при разрушении соеди-нения образуются две части и общая длина разрушенного шва будет составлять 4а, и пло-щадь среза - 0.7h∙4a.

 

КРУЧЕНИЕ

 

Основные понятия

 

Крутящие моменты T в поперечных сечениях бруса обычно возникают под действием внешних моментов Т _e. Вращающийся стержень, подверженный преимущественно кручению, называется валом. Внешние моменты передаются на вал, как правило, в местах поса­дки на него шкивов, зубчатых колес и т.п. Если непосредственно вблизи от этих мест помещены опоры, то можно пренебречь сравнительно небольшим влиянием изгиба и рассчитывать вал только на кручение.

                 Рис. 9.1                               Рис. 9.2

 

Для получения наглядного представления о деформации возь­мем резиновый круглый цилиндрический брус с нанесенной прямоу­гольной сеткой, составленной семейством концентрических окружнос­тей и образующими. Закрепим один конец и приложим к другому момент Т _e (рис.9.1). Полученная в результате деформирования сетка из параллелограммов свидетельствует о наличии сдвига. Окружности остаются неизменными, расстояния между ними не меняются. На основании гипотезы плоских и жестких сечений (см. п. 7.1) каждое поперечное сечение поворачивается в своей плос­кости на некоторый угол как жесткое целое. Радиусы всех сече­ний будут поворачиваться, оставаясь прямолинейными. Тем самым можно предположить, что характер деформаций, наблюдаемых на поверхности, будет таким же и внутри бруса на любой цилиндри­ческой поверхности, концентричной с наружной.

Для установления геометрических соотношений рассмотрим элемент бруса (см. рис. 9.1) между сечениями I-I и II-II (сечение I-I условно закреплено) и сконцентрируем внимание на линии АВ ′ и радиусе O В ′, которые до деформации занимали положение АВ и O В (рис. 9.2). Поворот образующей АВ  связан с из-

менением положе­ния радиуса OB. Угол d  называется углом закручивания.

 

Перемещение точки С на радиусе ОВ связано с поворотом образующей DC

цилиндра произвольного радиуса ρ. Сопоставим длину дуги СС′ из двух вычислений:

dx γ_{θ x} = ρ d ,

откуда

γ_{θ x} = (d / dx)ρ.

Относительный угол закручивания назовем кривизной круче­ния и обозначим k_t. Таким образом, имеем

k_t = d / dx, γ_{θ x} = k_t ρ.