Модели предельного состояния в локальной области

 

До сих пор мы рассматривали по существу законы деформиро­вания твер-дого тела. Они являются основой инженерных расчетов, направленных на создание прочных и экономичных конструкций. При установлении условий безопасной прочности необходимо знать прежде всего условия предельного (опасного) состояния материала конструкции.

Модели схематизируют сложный процесс образования предель­ного состояния, зависящий от действующих напряжений и свойств материала (пластичности или хрупкости), характера нагружения и целого ряда других факторов. Они могут быть представлены в де­терминированной (вполне обусловленной) или статистической (ве­роятностной) формах.

Принимаемые нами ограничения состоят в следующем: матери­ал считается изотропным, нагружение предполагается простым, статическим, температура образца и окружающей среды – комнат­ной, не учитывается эффект длитель-ного действия нагрузки.

Предельное состояние связано с качественным изменением свойств матери-ала. Для хрупкого материала этому состоянию со­ответствует начало разруше-ния (появление трещин), для пластич­ного – появление остаточных деформа-ций. Соответственно этому предельным напряжением σ _b для хрупкого материа-ла является вре­менное сопротивление σ _u (τ _u) для пластичного – предел текуче­сти σ _y (τ _y).

В связи с этим требуется решить вопрос о том, на какой площадке и при каких напряжениях возникает предельное состоя­ние в точке. В случае одноос-ного напряженного состояния или чистого сдвига этот вопрос решается опыт-ным путем. На диаграм­ме растяжения (сжатия, сдвига) устанавливается харак-терная точка, соответствующая предельному состоянию данного материа­ла.

При плоском и пространственном напряженных состояниях деформирова-ние материала происходит при наличии соответственно двух или трех главных напряжений, для которых число возможных соотношений неисчерпаемо. Неисчерпаемо и число опытов, необходимых для выявления предельных значений напряжений. Проведение таких испытаний требует сложных машин и приборов, огромных за­трат времени.

Указанные обстоятельства приводят к необходимости созда­ния такой методики расчета, которая позволяла бы оценивать прочность материала при любом варианте напряженного состояния, используя результаты опытов при одноосном напряженном состоя­нии. При этом вводится предположение, что два каких-либо на­пряженных состояния считаются эквивалентными, если при пропор­циональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз они одновременно становятся предельными. В качестве этало­на (эквивалента)

принимается одноосное напряженное состояние как наиболее эксперименталь-но изученное. Предполагается, что предельное напряженное состояние лежит на границе применимости закона Гука.

Существенным элементом модели предельного состояния явля­ется принятый критерий разрушения материала или возникновения в нем состояния текучести, который считается одинаковым при всех возможных напряженных состояниях. Предполагается, что им является некоторый фактор φ, имеющий механическую природу и количественную оценку. Таким фактором может явиться, например, напряжение, деформация, удельная потенциальная энергия дефор­мации. Значение φ, которое соответствует наступлению предель­ного состояния материала, будем называть предельным (опасным) и обозначать φ _b. Оно может быть определено по результатам опы­та с образцом в условиях одноосного напряженного состояния или чистого сдвига.

Таким образом, условие предельного состояния материала в локальной области имеет следующее выражение:

φ = φ _b.

Его можно записать в главных напряжениях:

φ(σ₁, σ₂, σ₃) = φ(σ _b).

При существенном влиянии скорости деформации на напряженно-деформированное состояние упомянутое условие должно содержать в качестве аргумента время.

Оценки степени удачности предложенного критерия и сужде­ние о допустимости применения его на практике производят по результатам экспериментов с образцами, испытываемыми в услови­ях пространственного или плоского напряженного состояния.

В условиях предельного состояния пластичных материалов используют критерии появления пластических деформаций, рассмотренные в п. 5.6.

При пространственном напряженном состоянии возможен слу­чай равномерного (гидростатического) растяжения (сжатия):

σ _x = σ _y = σ _z = σ.

В таком случае, исходя из критериев наибольших касательных напряжений и удельной энергии изменения формы, можно предположить, что материал должен выдерживать весьма большие (теорети­чески – бесконечно большие) нагрузки, так как при этом τ= 0. И если этот вывод хорошо согласуется с опытами на все­стороннее равномерное сжатие, то в случае такого же рода ра­стяжения он не соответствует физическому смыслу прочности. В связи с этим модели предельного состояния должны быть дополне­ны ограничениями по наибольшим растягивающим напряжениям.

Для хрупких материалов используется критерий наибольших нормальных напряжений, выдвинутый в XVII в. итальянским уче­ным Г.Галилеем: предельное состояние материала наступает, ко­гда какое-либо из главных напряжений достигает величины пре­дельного напряжения при одноосном напряженном состоянии.

Обозначив σ _bt (σ _bc) предельное напряжение на растяжение
(сжатие), запишем три случая предельного состояния:

 а) если σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ ≥ 0, то σ₁ = σ _{b t};

б) если σ₁ > 0, σ₃ < 0, то σ₁ = σ _{b t}, σ₃ = σ _bc;

в) если 0 ≥ σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃, то σ₃ = σ _bc.

На рис.6.1 изображен квадрат, который можно рассматривать как предельный контур в случае плоского напряженного состояния в плоскости σ₁σ₃. Точки внут-ри контура образуют область, безопас-ную в отношении возникновения предельного состояния.

В то же время опыты с хрупкими ма-териалами показывают, что при сжатии предель­ное состояние наступает на площад-                                       ках с наибольшими касательными напряже-                Рис.6.1

ниями. Как извест­но, в этом случае применимо соотношение τ _b = σ _bc /2. Поэтому предельный контур во втором и четвертом квадрантах должен приниматься с учетом штриховых линий σ₃ = = σ₁ ± σ _bc.

Рассмотренные три категории предельного состояния называ­ются классическими. К ним примыкает и критерий наибольших линейных деформаций, предложенный Э.Мариоттом и окончательно оформленный А.Сен-Венаном в середине XIX в. Этот критерий имеет лишь историческое значение, так как в силу малой согласованности с опытными данными он практически не используется.

Выявленные недостатки классических критериев потребовали от ученых поиска путей их корректировки. В 1900 г. немецкий ученый

О.Мор предложил условие предельного состояния в виде

σ₁ – m σ₃ = σ _bt,

где m = σ _bt /σ _bc. Это условие отражено штрихпунктирной линией на рис. 6.1.

При m = 1 критерий Мора совпадает с критерием наибольших касательных напряжений. Опыты, проведенные для оценки достоверности критерия Мора, дали наилучшие результаты при σ₁ > 0 и σ₃ < 0. В силу неучета влияния напряжения σ₂на возникновение предельного состояния материала в окрестности точки тела погрешности (до 17%) оказываются неминуемыми.

Ту же идею преследовал П.П. Баландин, обобщая энергетичес­кий критерий:

В определенном диапазоне напряженных состояний этот критерий дает удовлетворительные результаты.

Н.Н. Давиденков выдвинул идею о наличии у каждого матери­ала двух хара-

ктеристик сопротивления – отрыву и срезу. Для хрупкого поведения их соотно-шение меньше единицы, для пластич­ного поведения – больше единицы. Под влиянием этой идеи Я.Б.Фридман внес на рассмотрение модель, отражающую по возмож­ности основные факторы, влияющие на возникновение хрупкого разрушения или начала текучести, а также на разрушение вслед­ствие среза, наступающего в конце пластической стадии работы материала. Работа над этой моделью представляется перспектив­ной областью исследования.

При наличии концентраторов или большой изменяемости поля напряжений в критериях предельного состояния должны найти отражение не только уровни напряжений, но и их градиенты.

 

Модели разрушения

 

В последние десятилетия на смену соглашению, по которому прочность материала в составе несущей конструкции полностью определяется напряженным состоянием, а разрушение представляет собой мгновенный акт, пришло представление о разрушении как о процессе, по существу начинающемся с начала существования материала.

Начало современной теории разрушения относится к 20-м го­дам ХХ в. и связано с именем английского инженера А. Гриффитса. Была открыта фундаментальная роль трещин в снижении проч­ности твердого тела. Почти в то же время были обнаружены дефе­кты структуры кристаллических решеток – дислокации. Уже две соединившиеся дислокации таят в себе зародышевую микротрещину. Выяснилась глубокая связь дислокаций с процессами пластическо­го деформирования твердых тел – кристаллитов и поликристал­литов. Пластичность и разрушение как бы сливаются в единый процесс.

Механизм разрушения весьма сложен. Взаимодействие процес­сов, проходящих на разных масштабных уровнях структуры тела, приводит к эффектам, не предусмотренным классическими критери­ями предельного состояния. В связи с этим в механике твердого тела появилась самостоятельная ветвь – механика разрушения, занимающаяся изучением закономерностей образования и развития трещин.

Задача механики разрушения – указать причины, приводящие к снижению прочности, способы их нейтрализации, методы контро­ля материалов в процессе изготовления, приемки и эксплуатации в составе несущих конструк-ций, методы прогнозирования прочно­сти материалов с микроскопическими де-фектами. Механика разру­шения устанавливает также критерии рационального конструирова­ния материалов – слоистых, армированных, микронеоднородных, обладающих повышенным сопротивлением к распространению трещин.

Решающую роль в процессе разрушения играют микронапряже­ния, существующие в твердом теле при отсутствии внешних сил и взаимно уравновешенные в объемах, малых по сравнению с объемом тела. Они связаны с микронеоднородностью и микроанизотропией структуры. Большое влияние на поле микронапряжений оказывает деформация, особенно пластическая, осуществляемая движением дислокаций по кристаллографическим плоскостям и характеризующаяся неравномерностью по объему тела. Это приводит к развитию неравномерности распределения микродеформаций и микронапря-жений. Последние, будучи локализованными, могут достигать уров­ня теорети-ческой прочности материала. Появление столь мощных концентраторов энер-гии вызывает образование микротрещин, число и размеры которых в процессе пластического деформирования ра­стут.

Накопление повреждений (пластическое разрыхление) являет­ся первой стадией разрушения, роль и временная протяженность которой могут быть разными. При разрушении хрупких материалов ею можно пренебречь, но для таких видов разрушения, как уста­лостное или вязкое, стадия накопления повреждений может ока­заться основной.

Образование начальной трещины регулируется двумя фактора­ми: средним уровнем напряжений (осредненными напряжениями, определяющими минимальный энергетический барьер, после преодоления которого может возникнуть трещина) и накопленной энерги­ей микронапряжений в определен-ной области. Если на преодоление энергетического барьера расходуется энер-гия микронапряжений, то следует полагать, что за поддержание образова-вшейся трещины в раскрытом состоянии ответственны осредненные напряже-ния.

Последующий рост трещины облегчается тем, что она создает концентрацию напряжений у своего края, которая, с одной сторо­ны, усиливает пластическое разрыхление, а с другой – позволяет трещине по мере ее распространения черпать энергию упругой де­формации тела из области, размеры которой пропорциональны раз­меру трещины.

Переход ко второму, заключительному этапу разрушения –распространению "магистральной" трещины – происходит на фоне образования множества трещин, одновременный рост которых неустойчив из-за недостатка для всех энергии. В конце концов разгружающее влияние наиболее быстро растущей трещины подавляет их развитие. Заканчиваются активные процессы деформирования окружающего объема, насыщения его дислокациями.

Происходит их концентрация вблизи одной поверхности, разделяющей тело на две части. Основной поток энергии идет на разрыв межатомных свя­зей. Разрушение представляется либо абсолютно хрупким, либо квазихрупким, т.е. ложно хрупким (с незначительной ролью пластической деформации).

Гриффитс ввел критерий распространения трещины, основан­ный на учете поверхностной энергии. Считается, что если высвобождающаяся при возможном росте трещин энергия меньше энергии, необходимой для образования новых поверхностей, то в таких ус­ловиях трещина расти не может. В противном случае она растет.

В этом утверждении содержится и формулировка новой модели упругого тела: в упругий потенциал, кроме энергии деформации, входит энергия, сосредоточенная на поверхностях, ограничивающих сплошную среду. Предполагается, что эти поверхности могут лишь расти, в результате чего поверхностная энергия оказывает­ся необратимой. Таким образом, состояние тела определяется не только его деформацией, но и указанными поверхностями. Тело по-прежнему считается упругим, для него справедлив принцип возможной работы.

Используя его, Гриффитс решил следующую задачу. Бесконечная хрупкая пластинка единичной толщины растягивается в одном направлении при равномерно                                                                                                                                                                                     

распре­деленном на бесконечности напряжении σ (рис.6.2). В теле имеется плоская трещина размером l в                Рис.6.2                                                                                               

 пло­скости пластины, расположенная перпендикулярно к направлению растяжения. Требуется найти критическое значение напряжения σ _cr, при достижении которого размер трещины начинает увеличиваться.

При изменении длины трещины на δ l увеличивается поверх­ность ее берегов на δ s, вследствие чего поверхностная энергия увеличивается на δ А _{δ s}. При этом, как говорилось выше, потенци­альная энергия деформации уменьшается. Таким образом

или

Появлению трещины сопутствует поверхностная энергия, рав­ная

Здесь 2 l ∙1 – суммарная площадь берегов трещины; γ– поверхно­стное натяжение.

 

 

Изменение потенциальной энергии деформации принимают в области, в которой напряжения ощутимо отличаются от поля на­пряжений пластинки без трещины. Поскольку толщина пластинки равна единице, то эту энергию вычисляют по площади, которая принимается равной l ².

В итоге

где k – коэффициент, получаемый из решения задачи о пластинке с заданной выемкой.

После подстановки выражений A_δs и U в исходное уравнение и дифференцирования получаем

откуда

Если, наоборот, напряжение задано, то можно найти крити­ческую длину трещины:

Теория Гриффитса дает обоснование масштабному коэффициен­ту, наблюдаемому при хрупком разрушении. Ведь вероятность существования трещины, длина которой превышает критическую, в теле значительного объема больше, чем в теле малых размеров. Поэтому при соблюдении закона подобия разрушающее напряжение для образцов малого размера выше, чем для больших образцов.

Экспериментальная проверка теории Гриффитса дала удовлетворительные результаты лишь в случае твердых аморфных материа­лов, каким является, например, стекло в естественных условиях. Недостаточная универсальность модели Гриффитса проявляется в предопределенности существования достаточно большой трещины и невозможности возникновения новых, а также в нераспространении ее на упругопластическое тело.

Последнее затруднение в определенной мере снимают идеи Дж. Ирвина и Е.Орована. Предлагается опускать процесс пластиче­ской деформации у края трещины и вместо собственно поверхност­ной энергии, находящей отражение в величине γ в задаче Гриффитса, вводить "эффективную поверхностную энергию", включающую все затраты на рост трещины, в том числе и энергию пластичес­ких деформаций у ее края. При этом упругопластическое тело представляется как линейно-упругое, но обладающее повышенной поверхностной энергией.

Рассмотренные модели лежат в основе так называемой линей­ной механики разрушения. Полученные за последнее время резуль­таты исследований в рамках моделей нелинейно-упругого, упругопластического и вязкоупругого тел составляют нелинейную механику разрушения. Дальнейшее совершенствование моделей разруше­ния состоит в учете поверхностной энергии при исследовании деформирования тела. Еще бóльшие перспективы открывает переход к дискретной модели строения твердого тела, рассмотрению межато­много взаимодействия, что выходит за рамки изучаемого курса.

 

Методы поверочных расчетов

 

Рассмотренные модели разрушения имеют существенное значе­ние для разработки статистической теории хрупкого разрушения, по которой прочность тела целиком зависит от прочности наибо­лее дефектного элемента, а свойства первичных элементов подчи­няются некоторому распределению вероятностей.

Вернемся к условию предельного состояния материала в ло­кальной области

φ = φ _b,

которое, как было показано, можно представить в виде

σ _red = σ _b.

Условие невозникновения предельного состояния (условие прочности) в материале в рассматриваемой точке тела имеет фо­рму неравенства

σ _red < σ _b,

которое отражает сущность так называемого поверочного расчета. Это условие, однако, не адекватно условию безопасного состояния, что связано со следующими обстоятельствами: а) заданные нагрузки не вполне достоверны (могут быть перегрузки); б) спо­собы определения усилий в элементах конструкций сопряжены с некоторыми условностями; в) размеры сечений имеют некоторые до­пуски при изготовлении и могут меняться в течение срока службы конструкции (износ, коррозия и т.д.); г) величины, характеризу­ющие прочность и пластичность материала, могут быть разными для разных партий материала одной и той же категории; д) в не­которых случаях учет концентрации напряжений связан с рядом грубых допущений; е) необходимо считаться с особенностями дей­ствия динамических нагрузок и некоторыми другими факторами.

В целях соблюдения безопасности для каждой конструкции в условия прочности вводятся не величины σ _b, τ _b, а их доли, по­лучаемые делением на некоторое число n, называемое коэффициен­том запаса прочности (или коэффициентом безопасной прочности). Его можно представить в виде произведения частных коэффициен­тов запаса прочности, соответствующих каждому из приведенных выше обстоятельств.

Установлением величин коэффициентов запаса занимаются государствен-ные нормирующие органы, издающие соответствующие но­рмы, которыми и руководствуются при расчетах сооружений.

Напряжения, получаемые делением σ _b (τ _b) на n, называются допускаемыми и обозначаются σ _adm (τ _adm).

Таким образом, условие безопасной прочности (надежности) по методу допускаемых напряжений в общем случае записывается в следующем виде:

 σ _red ≤ σ _adm,

а в частных случаях:

σ _b ≤ σ _adm;

τ _b ≤ τ _adm.

Коэффициенты, вводимые в нормы, основаны на результатах эксперимен-тов и имеют вероятностную сущность. Рассмотрим условие

φ ≤ φ _b

и будем считать φ случайной величиной. Положим далее, что кри­вая распределения φ каким-то образом определена. Тогда по ин­тегральной кривой распределения P _φ можно найти квантиль φ _b ве­роятности N выполнения неравенства φ ≤ φ _b (рис.6.3). Эту веро­ятность можно назвать надежно-                Рис. 6.3

стью конструкции по отношению к рассматриваемому условию. Очевидно, надежность N должна быть близ­кой к единице.

Обратимся к формуле

σ _b – σ = s,

где σ _b – предельное напряжение, являющееся случайной величиной; σ – случайные напряжения в нагруженном элементе; s – резерв прочности.

Необходимым требованием является условие положительности резерва прочности, т.е. условие невозникновения предельного состояния: s > 0.

По формулам теории вероятностей при учете, что σ _b иσ–независимые случайные величины, можно найти центр распределе­ния  и дисперсию резерва прочности :

    .

Коэффициент запаса прочности определим как отношение цен­тров распределения σ _b и σ, т.е.

Если предельным состоянием материала в локальной области
является хрупкое разрушение, то это может представить опасность для всей конструкции в силу развития области разрушения. В этой ситуации использо-вание метода допускаемых напряжений является вполне обоснованным.

Если же предельным состоянием материала в локальной обла­сти является наступление текучести, то разрастание охваченной ею области возможно лишь при снятии стеснения со стороны мате­риала, находящегося в упругом состоянии. Именно поэтому расчет по допускаемым напряжениям в случае пластического состояния материала не является совершенным, поскольку предельное состо­яние материала в окрестности точки не представляет опасности для всей конструкции.

В этом случае более совершенным является метод разрушаю­щих нагрузок. В качестве условия безопасной прочности ставится требование, чтобы наибольшая нагрузка на конструкцию не превы­шала некоторой допускаемой нагрузки N_adm, которая равна разру­шающей нагрузке, деленной на коэффициент запаса прочности n >1. Этот коэффициент принимается на основе соображений, аналогич­ных рассмотренным в методе допускаемых напряжений.

Расчет по разрушающим нагрузкам был внедрен в нашей стра­не в 1938 г. применительно к строительным конструкциям. Это приблизило результаты расчета к фактической несущей способно­сти конструкций, но не дало исчерпывающего представления о степени их надежности.

Естественным завершением инженерного поиска в этом напра­влении был переход к методу расчета по предельным состояниям, который был осуществлен в нашей стране в 1955 г. по предложению Н.С.Стрелецкого. Этот метод положен в основу отечественных норм проектирования строительных конструкций.

Согласно ему предельным считается состояние, при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требова­ниям. Современные отечественные нормы проектирования отмечают две группы предельных состояний. Первая группа квалифицирует непригодность конструкции к эксплуатации по причине потери не­сущей способности, вторая − непригодность к эксплуатации по другим причинам, таким, как чрезмерные деформации, образование и чрезмерное раскрытие трещин.

Расчет по первой группе предельных состояний обеспечивает надежность конструкции в отношении хрупкого, вязкого и иного вида разрушения, потери устойчивого равновесия.

Расчет по второй группе предельных состояний производится по двум условиям:

1) перемещения элемента конструкции под нагрузкой не дол­жны превышать предельного значения, определяемого нормами;

2) трещиностойкость конструкции должна быть обеспечена на соответствующем уровне в зависимости от условий, в которых она работает; речь идет о недопущении образования трещин или допускаемых ограничениях по ширине их непродолжительного и продол­жительного раскрытия.

Поверочный расчет конструкции по предельным состояниям основывается на условии

φ ≤ φ _cal,

где φ _cal – расчетный фактор, отклоняющийся от предельного значения φ _b.

Важным преимуществом нового метода является отказ от детерминистического подхода к нагрузкам и механическим свойствам материалов, выявление их вероятностной природы.

Наиболее часто повторяющаяся нагрузка называется нормативной (N_n). Она устанавливается нормами с учетом вероятности превышения ее среднего значения. Наибольшая нагрузка, которая может проявиться за время существования конструкции, называет­ся расчетной (N) и вычисляется по формуле

N = N_n γ _f,

где γ _f – коэффициент надежности по нагрузке.

В случае нагрузки от собственной массы γ _f = 1,05...1,3 (в зависимости от вида материала конструкции и условий его изго­товления); в случае снеговой нагрузки γ _f = 1,4...1,6. В ряде случаев коэффициент γ _f может быть меньше 1, если это ухудшает условия работы конструкций. Например, в целях предотвращения потери равновесия тела, вызываемой опрокидыванием или скольже­нием, принимают для собственной массы γ _f = 0,9. Коэффициент на­дежности по нагрузке при расчете по второй группе предельных состояний принимается, как правило, равным единице.

Нормативное сопротивление R_n материала силовым воздей­ствиям определяется экспериментально путем выборочных испыта­ний образцов стандартных размеров и отражает по существу бра­ковочный минимум прочностных свойств материала. Вероятность, с которой обеспечивается нормативное сопротивление, должна со­ставлять не менее 95%. В зависимости от механических свойств величина R_n принимается по пределу текучести или по временному сопротивлению.

Наименьшая возможная величина сопротивления материала называется расчетным сопротивлением R, причем

R = R_n / γ _m,

где γ _m – коэффициент надежности по материалу.

Коэффициент γ _m учитывает изменчивость механических свойств материала и минусовые допуски при производстве элемен­тов конструкций. Он лежит в пределах 1,025...1,3.

Назовем остальные коэффициенты метода расчета по предель­ным состояниям. Коэффициент условий работы γ _c учитывает влия­ние конкретных условий работы конструкции, например, прибли­женный характер расчетных схем, условность предпосылок расче­та, агрессивность среды и другие факторы.

Коэффициент надежности по назначению γ _n учитывает степень ответствен-ности конструкции и значимость последствий наступле­ния тех или иных предельных состояний.

Как правило, на конструкцию действует несколько нагрузок. Вместе с тем их одновременное действие при наибольших величи­нах маловероятно. Например, трудно предположить одновременно ураганный ветер, наибольшую снеговую нагрузку и максимальную полезную нагрузку на конструкции здания. С целью приближения вводимых нагрузок к реальности используется коэффициент соче­таний n_c <1.

Метод расчета по предельным состояниям, основанный на глубоком изучении степени нагружения и экспериментально-теоре­тическом исследова-нии действительной несущей способности кон­струкций, обеспечивает бóль-шую степень их надежности, чем ме­тод допускаемых напряжений или метод разрушающих нагрузок. Ши­рокие перспективы для снижения материалоемкос-ти конструкций открывает систематизация статистических данных по вопросам те­хнологии изготовления (возведения) и эксплуатации конструкций (сооруже-ний).

                                                 6.4 Практикум

1.  Что понимают под “предельным состоянием”?

2.  Какие прочностные характеристики для хрупкого материала, а какие

 для пластичного соответствуют предельному состоянию?

3.  Как устанавливают предельное состояние в случае простых напряжён-ных состояний (растяжение, сдвиг)?

4.  Какие два различных по своей сути напряжённых состояния полагают эквивалентными?

5.  Перечислите классические категории предельного состояния.

6.  В чём состоит задача механики разрушения?

7.  Почему критерий предельного состояния О.Мора применим для оцен-ки прочности и хрупких и пластичных материалов?

8.  Что должен учитывать коэффициент запаса прочности?

9.  Можно ли произвольно принимать величину коэффициента запаса прочности? К чему приводит его завышение?

10. Что понимают под “допускаемым напряжениям” σ_adm?

      11. Как записывается условие безопасной прочности в общем случае и в случае простых напряжённых состояний?

      12. Какой метод оценки безопасной прочности положен в основу отечес-твенных норм строительного проектирования?

13. Назовите группы предельных состояний?

14. В чём методологическое отличие метода расчёта по предельным сос-тояниям от метода расчёта по допускаемым напряжениям?

                 РАЗДЕЛ II. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-         

           ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ БРУСЬЕВ И ИХ     

                                            ПРОЕКТИРОВАНИЕ

РАСТЯЖЕНИЕ СЖАТИЕ

Основные предпосылки

 

Брус и стержень моделируют обширный класс конструктивных элементов. Излагая в главе 2 метод сечений применительно к брусу, мы установили для него систему внутренних сил в попе­речном сечении и соответствующие виды деформаций.

Три группы уравнений, содержащиеся в главах 4, 5, по­зволяют в пределах принятых допущений составить представление о напряженно-деформированном состоянии брусьев. Наблюдения и эксперименты создали предпосылки для упрощения их расчета. В числе дополнительных гипотез в первую очередь следует назвать гипотезу плоских сечений – гипотезу Бернулли, впервые выска­занную швейцарским ученым-математиком Я.Бернулли.

Возьмем для большей наглядности процесса деформирования резиновый брус с нанесенным рядом поперечных прямых линий на рис. 7.1, а. Растянув брус, мы увидим, что расстояния между линиями увеличились, но са­ми они, оставаясь прямыми, не изменили поперечного направления (рис. 7.1, б). Остались неразрывными кон­туры обозначенных сечений. Можно предполо-жить также, что и внутри бруса будет такая же картина, т.е. поперечные сече-ния, плоские и нормальные к его оси до          

            Рис. 7.1                        деформации, остаются плос­кими и нор-мальными к оси и после деформации.

Наблюдения показывают отклонения от описанной ситуации на небольших участках бруса вблизи точек приложения сил. В том случае, когда внешние силы равномерно распределены по площади торцов (рис. 7.1, в), гипотеза плоских сечений выполняется стро­го (становится законом плоских сечений).

Гипотеза сохраняет силу при чистом изгибе бруса, когда он нагружен изгибающими моментами по торцам, а также при кручении бруса круглого сечения. В последнем случае сечение, кроме то­го, представляют как жесткое целое (гипотеза плоских и жестких сечений). Гипотеза неприменима для отдельных категорий тонко­стенных стержней при определенных видах деформаций.

Возникает вопрос о влиянии упомянутых отклонений (неплос­ких сечений) на характер напряженного состояния. В связи с этим обратимся к принципу

Сен-Венана, который гласит: в точках тела на некотором расстоянии Н от грузовой площадки, достаточ­но большом по сравнению с ее размерами, напряжения не меняются от замены заданной нагрузки другой, статически эквивалентной (т.е. имеющей ту же равнодействующую в смысле ее величины, на­правления и точки приложения).

Размеры поперечного сечения стержня малы по сравнению с его длиной. Поэтому любую нагрузку на торцах стержня можно за­менить другой статически эквивалентной нагрузкой. Такая замена отразится лишь на напряжениях в небольшой зоне стержня длиной Н, прилегающей к его торцам. Длина зон Н принимается равной наибольшему размеру поперечного сечения.

Следовательно, картина напряжений в случае отклонения от гипотезы плоских сечений (рис. 7.1, б) ощутимо не меняется в ос­новном объеме бруса по сравнению со случаем ее строгого соблю­дения (рис. 7.1, в). Это обстоятельство значительно упрощает ус­тановление закономерностей деформирования брусьев и стержней и расширяет область их применимости.

Отметим, что применительно к брусьям гипотеза плоских се­чений заменяет собой условия совместности деформаций, представляемые уравнениями Сен-Венана.

Еще одна гипотеза принимается для брусьев и стержней, в которых возникают только нормальные напряжения. Предполагает­ся, что волокна не оказывают давления друг на друга, т.е. на­пряжения в направлении, перпендикулярном оси бруса (стержня), равны нулю. Следовательно, каждый слой испытывает одноосное растяжение или сжатие.

В дальнейшем брус будем представлять состоящим из воло­кон, под которыми будем понимать материальные линии со сколь угодно малым поперечным сечением, которое считается недеформи­руемым.