Поверочные и проектные расчеты

Условие безопасной прочности при кручении имеет вид

τ_мах = T / W_p ≤ τ _adm.

Касательные напряжения действуют не только в поперечных сечениях бруса, но и в продольных, образуя двухосное напряжен­ное состояние – чистый сдвиг. Он не будет однородным, посколь­ку величина изменяется по радиусу поперечного сечения. Ка­сательные напряжения в продольных сечениях могут быть причиной разрушения анизотропного материала. Древесина, как известно, имеет сравнительно низкую прочность на скалывание вдоль воло­кон. Поэтому разрушение деревянного образца при кручении начи­нается с образования продольных трещин.

В наклонных же сечениях стержня действуют нормальные и касательные напряжения. Наибольший интерес представляют глав­ные напряжения σ₁ = σ_max = τ и σ₃ = σ_min = – τ с углом наклона пло­щадок к оси бруса 45º и 135º. Опыты показывают, что хрупкие материалы при кручении разрушаются по винтовой поверхности, наклоненной к оси вала под углом 45º. Именно перпендикулярно этой поверхности действуют наибольшие растягивающие напряже­ния.

Как видно из сказанного, помимо выполнения основного ус­ловия прочности, требуется обращать внимание на дополнительные проверки безопасности напряженного состояния.

При заданных величинах τ _adm и размерах сечения допускае­мый крутящий момент равен

T_adm ≤ τ _adm W_P.

Для подбора сечения из условия прочности используется зависимость

W_P ≥ T /τ _adm.

Для круглого поперечного сечения

W_P = (π r ³)/2 = (π d)³/16 ≈ 0,2 d ³,

поэтому можно определить непосредственно минимальный диаметр сечения:

Эпюра τ при кручении показывает, что материал бруса раци­онально используется только в периферийной зоне. Поэтому можно получить значительную экономию материала, удаляя слабо напря­женную внутреннюю часть, т.е. изготовляя вал полым. Однако практически это возможно лишь до известного предела, поскольку чрезмерно тонкие стенки неустойчивы.

Момент сопротивления трубчатого вала равен

.

Определение наружного  и внутреннего диаметров сече­ния ведется методом последовательных попыток (либо задаются их соотношением).

В тонкостенной трубе практически во всех точках стенки возникают одинаковые напряжения, т.е. в этом случае напряжен­ное состояние будет практически однородным. Вот почему опыты с кручением таких труб используют обычно для изучения чистого сдвига и, в частности, для установления предела текучести при сдвиге.

При совмещении кручения с другими деформациями проверка прочности ведется по приведенному напряжению:

σ _red ≤ σ _adm.

При проектировании валов размеры их сечений назначаются так, чтобы не только удовлетворялось условие прочности, но и обеспечивалась в целях нормальной эксплуатации достаточно малая кривизна кручения. Условие жесткости имеет вид

k_t = T /(GI_P) ≤ k_{t adm}    (рад/м),

где k_{t adm} – допускаемая кривизна кручения в радианах на еди­ницу длины вала, или

(град/м),

где k_{t adm} задается в градусах на единицу длины вала(допускаемый относитель-ный угол закручивания).

Величина k_{t adm} устанавливается техническими условиями. Для разных конструкций и для различных режимов работы вала она ко­леблется в доволь-но широких пределах: k_{t adm} = (0,26...3,5)10^-2 рад/м, или k_{t adm} = (0,15...2,0) град/м.

Допускаемый крутящий момент из условия жесткости для сплошного вала равен

T_adm ≤ GI_Pk_{t adm}, или T_adm ≤ (π GI_Pk_{t adm})/180.

Диаметр вала вычисляется по формулам: а) в случае сплошно­го сечения

 или

б) в случае кольцевого сечения

или

Модуль сдвига в случае сплошного вала определяется по формуле

G ≥ T / (I_Pk_{t adm}),

или

G ≥ (180 T)/ (π I_Pk_{t adm}).

Из проектных расчетов по условиям прочности и жесткости берутся наибольшие значения d и G и наименьшая величина Т _adm. Диаметр округляется до ближайшей большей стандартной величины.

                                     

                                            9.4 Практикум

Примеры

1.На участке сплошного круглого вала D=10см действует крутящий момент Т=8 кHм. Проверить прочность и жёсткость вала, если τ_adm=50 МПа, К_{t adm}=0.5  и модуль сдвига G=0.8 ⁵МПа.

Решение. Условие безопасной прочности

где W_p= =196 см³,       что меньше τ_adm.

          K_t= =1.02 .

Выразив K_t в размерности , получим

                  K_t=1.02 =1.02 =0.58 ,

что превышает величину допускаемого относительного угла закручивания K_{t adm}=0.5  на 16%. Следовательно – прочность вала обеспечена

                             τ_мax=40.75МПа < 50МПа,

 а жёсткость не обеспечена.

 

2. Стальной вал кольцевого сечения D=10см, d=8см. нагружен моментом, вызвавшим τ_мах=τ_adm=70МПа. Что произойдёт, если этот вал заменить сплош-ным круглым валом диаметром 8см. (материал сохранён).

Решение. Максимальные касательные напряжения в вале .

Для кольцевого сечения W_р= , а для вала сплошного сечения W_р= . По условию для вала кольцевого сечения τ_мах=70 МПа, очевидно, что для вала сплошного сечения максимальные напряжения будут больше во столько раз, во сколько его момент сопротивле-ния меньше.

         τ =τ 70

3. Для сплошного овала (задача №2) определить появились ли пласти-ческие деформации, если известно, что n_adm=1.8?

Решение. Для пластичных материалов n_adm= , следовательно

                        τ_у =70 .

Действующие напряжения превысили предел текучести, следовательно появились пластические деформации.

 

Вопросы для повторения

1. Когда в брусе возникают деформации кручения?

2. Как определяют величину крутящего момента, действующего в сече-нии?

3. Какое правило знаков для Т принято при построении эпюр?

4. Как строятся эпюры крутящих моментов?

5. Как определяют угол закручивания на участке вала?

6. Что называют относительным углом закручивания θ (или кривизной кручения k_t)?

7. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого вала при кручении и как они направлены?

8. Какое напряженное состояние возникает в каждой точке вала круглого сечения при кручении?

9. Что называется жесткостью сечения при кручении?

10. Что выражает условие жесткости при кручении?

11. Чем объясняется, что вал кольцевого сечения при кручении экономичнее вала сплошного сечения?

12. Как выполняют расчет вала на прочность?

13. Каким следует проектировать вал, если величины крутящих момен--тов существенно отличаются на его участках?

14. Равен ли полярный момент сопротивления кольцевого сечения раз-ности полярных моментов сопротивления наружного и внутреннего кругов?

 

Тесты для повторения

1. Касательные напряжения в поперечном сечении вала направлены:

      (а) к оси вала;                (б) перпендикулярно плоскости действия Т;

      (в) вдоль образующей; (г) перпендикулярно радиусу сечения.

Ответ: (г), поскольку б и в не соответствуют формулировке задания и только касательные напряжения, перпендикулярные радиусу создают крутящие мо-менты относительно оси вала.

 

2. Полярный момент сопротивления W_р определяется как:

     (а)               (б)                 (в)                  (г)

Ответ: (б), поскольку W_p- геометрическая характеристика плоского сечения, имеющая размерность см³, м³.

 

3. Наибольшее касательное напряжение при кручении определяеися по формуле:

              (а)            (б)           (в)              (г)

Ответ: (а), поскольку б позволяет определить τ в любой точке сечения вала и только при ρ = ρ_мах позволит вычислить максимальные τ.

 

4. Какая из указанных на рисунке площадок (1 и 2 наклонены к оси под углом 45 ) является опасной для:

(а) хрупкого материала;

 

(б) пластичного материала;

 

(в) анизотропного (дерево).

 

Ответы: - в площадке 1 действует σ₁ - наибольшее главное растягивающее напряжение, а хрупкие материалы имеют прочность на растяжение минималь-ную (а) - 1;

 

- в площадках 4 и 3 действуют равные по величине касательные напряжения, но пластичный материал имеет прочность на срез, составляющую от прочности на растяжение только 50-60%, поэтому (б) - 4;  

 

- деревянный вал имеет наименьшую прочность вдоль волокон и разрушается по площадке 3, т.о. (в) - 3.

 

5. Какое из выражений соответствует величине полярного момента инерции, если С равно отношению внутреннего диаметра кольца к внешнему:

 

 

  (а)      (б)     (в)       (г)

 

 

Ответ: (в), поскольку размерность Ј_р-см⁴, а из двух ответов, удовлетворяющих этому требованию только (в) верен.

 

 

Контрольные тесты

 

1. При кручении в поперечных сечениях стержня возникает внутреннее уси- лие …

2. Величина касательного напряжения в любой точке поперечного сечения определяется по формуле…

3. Величина наибольшего касательного напряжения в поперечном сечении равна…

4. Полярный момент сопротивления сплошного круглого вала определяется по формуле…

5. Касательные напряжения в точках на оси скручиваемого стержня равны…

6. При кручении в поперечных сечениях вала возникают … деформации.

7. Диаметр вала сплошного сечения при кручении, определяемый из условия прочности, должен быть не менее …

8. Жесткостью сечения вала называют произведение …

9. Главные площадки при кручении ориентированы относительно поперечного сечения под углом α, равным …

10. Величина главных напряжений при кручении равна …

11. Диаметр вала сплошного сечения, определяемый из условия жесткости при кручении, не должен быть менее величины …

12. Полярный момент сопротивления вала кольцевого сечения равен …

13. Относительный угол закручивания (кривизна кручения) определяется выражением …

14. Брус кольцевого сечения более рационален, чем сплошной круглый брус потому, что …

15. Условие жесткости при кручении имеет вид …

16. Угол закручивания вала на участке определяют по формуле …

17. Угол закручивания вала будет тем больше, чем … будет его жесткость.

18. В качестве вала использовать чрезмерно тонкостенную трубу невозможно, потому что …

19. Если известны материал и диаметр сплошного вала, то величина допускаемого крутящего момента не должна превышать …

20. Если диаметр вала подобран и из условия безопасной прочности и из условия обеспечения жесткости, то необходимо назначить (больший?, мень-ший?) из полученных размеров?

 

                                                                      

ИЗГИБ

 

Плоский изгиб волокна

 

Рассмотрим волокно ab, параллельное оси х. В результате изгиба прямое волокно искривляется (рис.10.1, а). Изгиб волокна сопровождается попереч-ными перемещениями (прогиба-ми) v и уг­лами поворота (девиа-циями)  его линейных элемен-тов. Углы – углы наклона каса-тельных к искривленному волок-ну.

При малых перемещениях длина хорды волокна l ₁ мало

                       Рис. 10.1                         отличается от первоначальной длины волокна l. Поэтому можно при­нять l ₁= l, т.е. пренебречь продольными перемещениями u (рис.10.1, б). В то же время длина искривленного волокна счита­ется равной длине первоначального прямолинейного волокна.

       В пределах малых перемещений допустимо считать   ≈tg и принять     = dv / dx.

Поперечные сечения волокна сохраняют прямые углы с касательными к оси волокна после его деформирования. Поэтому углы  характеризуют в то же время повороты поперечных сечений. Вслед­ствие их неодинаковости образуются взаимные повороты с углами . Отношение  к отрезку кривой ∆ s между сечениями определяет среднюю кривизну изгиба в точке

k_xm = ∆  /∆ s.

При малых углах поворота (∆ s ≈ ∆ x)

k_xm = ∆  /∆ x.

Устремляя ∆ s и ∆ x к ну­лю, в пределе получаем

k_x = d  / ds и k_x = d  / dx

 (точное и приближенное значения кривизны изгиба в точке).

Очевидно, что

.

Имеется другое определение кривизны: k_x = 1 / ρ – 1 / r ₀, где r ₀(ρ) – радиус кривизны до (после) деформирования волокна. Для прямого волокна r ₀ = ∞  и k_x = 1/ρ.

Из дифференциальной геометрии известно, что

 

 

При малых углах поворота (  = dv / dx) величиной (dv / dx)² можно пренебречь по сравнению с единицей. Тогда

1/ρ ≈ d ² v / dx ².

Итак, формула k_x = d ² v / dx ² дает приближенное значение кри­визны при изгибе.

Величины v,   и k_x характеризуют изгиб волокна. Если за основную величину принять k_x, то другие характеристики можно получить с помощью интегрирования:

или

 

  C ₁ и C ₂ находятся из граничных условий для прогибов и углов поворота. Их смысл легко обнаружить, если положить k_x = 0. Тог­да С ₂ + C ₁ x – уравнение прямой линии, в котором С ₂ – поперечное поступательное перемещение линии, а С ₁ – ее поворот.

Установим связь между характеристиками изгиба волокна и компонентами деформации в точке. Рассмотрим изгиб волокна, па­раллельного оси х, с бесконечно малым поперечным сечением dz x dy (рис. 10.2). Пусть в точке С  линейная деформация равна ε _x, а в точке А – ε _x +(∂ ε _x / ∂у) d у.

 

                       Рис.10.2                                        Рис.10.3

Взаимный поворот линейных элементов АС и BD равен

 

Кривизна волокна

Знак минус поставлен для согласования положительной кривизны и отрицательной производной   ∂ ε _x / ∂ y.