Дифференциальные уравнения равновесия для внутренних усилий в поперечных сечениях стержней

 

В общем случае нагрузка на стержень может быть задана интенсивностью сил с составляющими , и интенсивностью моментов с составляющими . Возможна также нагрузка, сосредоточенная в отдельных точках. Для бесконечно малой части стержня (рис.2.3) составим дифференциальные уравнения равновесия.

Рис. 2.3

 

Из условий следуют уравнения:

Из условий  получаем:

откуда, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, находим

 

 

Подставляя выражения  в соответствующие дифференциальные уравнения, получаем

Интегрируя полученные шесть уравнений, находим выражения для внутренних усилий:

Постоянные интегрирования С _i (i =1,2,...,6) определяются из граничных условий для рассматриваемых внутренних усилий.

Поскольку дифференциальные уравнения выражают равновесие любого бесконечно малого элемента стержня, то удовлетворение им означает выполнение условий равновесия стержня в целом.

Дифференциальные зависимости используются для проверки результатов, полученных с помощью алгебраических уравнений равновесия. Они позволяют, например, по эпюре  определить характер эпюры . В частности, на участках, где =0 ( =0), т.е. при соблюдении зависимостей

 

 

можно установить, что при М _z = const имеем Q_y = 0(при М _y =const имеем Q _z = 0). Переменная величина  достигает экстремальных значений в точках, где Q_y = 0(Q_z = 0).

При определении внутренних усилий из уравнений равновесия целесообразно нагрузку на поверхности переносить в соответствующие точки на оси стержня с соблюдением условий статической эквивалентности. Полученная таким образом силовая схема является составной частью так называемой расчетной схемы (системы), когда брус представляется его осью.

Практикум

Примеры: 1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки (рис.2.4, а).

       а                                 б                                 в

Рис. 2.4

Решение. Определяем реакции опор А и В:

∑ М_А = 20 – 10 ∙ 4 ∙ 2 – 30 ∙ 2 + R _В ∙ 6 = 0 ;  R _В = 20 кН;

∑ М_В = 20 – R _А ∙ 6 + 10 ∙ 4 ∙ 4 + 30 ∙ 4 = 0;   R _А = 50 кН.

Проверка:

∑ Y = 50 – 10 ∙ 4 – 30 + 20 = 0.

На 1 участке (0 ≤ х ≤ 2м):

Q_y = 50 – 10 x (прямая с граничными значениями 50 кН при х = 0 и 30 кН при х = 2 м);

М _z = –20 + 50 x – 0,5 ∙ 10 x ² (парабола с граничными значениями –20 кН∙м при х = 0 и 60 кН∙м при х = 2 м).

На 2 участке (2 ≤ х ≤ 4 м):

Q_y = 50 – 10 x – 30 (прямая с граничными значениями 0 при х = 2 м и    –20кН при х = 4 м);

М _z = –20 + 50 x – 0,5 ∙ 10 x ² – 30 (х – 2) (парабола с граничными значениями 60 кН∙м при х = 2 м и 40 кН∙м при х = 4 м).

На 3 участке (4 ≤ х ≤ 6м):

Q_y = 50 – 10 ∙ 4 – 30 = –20кН (прямая, параллельная оси х);

М _z = –20 + 50 x – 10 ∙ 4 (х –2) – 30 (х –2) = 120 – 20 х (прямая с граничными значениями 40 кН∙м при х = 4 м и 0 при х = 6 м).

Q_y = –20 кН и M_z = 0 при x = 6 м отражают граничные условия на опоре В.

Эпюры Q_y и M_z показаны на рис.2.4, б, в.

 

Пример 2.2. Построить эпюры N, Q и М для ломаного бруса (рис.2.5, а).

             а                      б              в                  г

Рис. 2.5

Решение. Брус имеет два участка. Первый участок – вертикальный элемент бруса (0 ≤ х ₁≤ а). Условимся нижнюю его часть считать левой частью (отмечена крестиком). Внутренние усилия в сечении с абсциссой х ₁ равны: N = 0, Q = F, M = Fx ₁. При x ₁ = 0 М = 0, при х ₁ = а М = F а.

Второй участок − горизонтальный элемент бруса (0 ≤ х ₂≤ b). В сечении с абсциссой х ₂ внутренние усилия вычисляем из условий равновесия левой части: N = F, Q = 0, М = F а. По полученным значениям строим эпюры N, Q и М (рис.2.5, б−г).

Вопросы для повторения

 

1.  Что называют внутренними усилиями?

2.  Как определяют внутренние усилия?

3.  Какие правила знаков приняты для каждого из внутренних усилий?

4.  Являются ли реакции опор внутренними усилиями?

5.  Зачем строят график распределения внутренних усилий (эпюру)?

6.  В чем суть метода сечений?

7.  Какая особая точка в сечении принимается за центр приведения внутренних сил?

8.  Какую из отсеченных частей более целесообразно рассматривать в равновесии? Почему?

9.  Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях бруса в случае действия на него плоской системы сил?

10. Как вычисляются продольная и поперечная силы в сечении?

11. Как вычисляется изгибающий момент?

12. Какие типы опор применяются для закрепления балок к основанию?

13. Какие внешние реактивные силы возникают в различных опорах?

14. Какие уравнения используют для определения опорных реакций?

15. Как проверить правильность определения реакций?

 

16. Каких правил придерживаются при построении эпюр?

      17. Можно ли для двухопорной балки определить внутренние усилия без вычисления реакций опор?

      18. Почему при построении эпюр Q, M для балки, защемлённой одним концом, можно не определять реакции опоры?

19. Какая дифференциальная зависимость связывает q, Q и M?

 

Тесты для повторения

1. Сколько уравнений статики необходимо составить для определения реакций двухопорной балки?

(а) два;  (б) три; (в) четыре; (г) шесть.

Ответ: (б), поскольку в общем случае для плоской системы сил можно составить три независимых уравнения статики, из которых и определяют три неизвестных реакций опор. Четвёртое уравнение используют для проверки пра-вильности решения.   

 

2. Для расчётной системы аналитическое выражение для поперечной силы:                                                                                                                                                                                                               

(а) Q = q; (б) Q = q x; (в) Q= -q x; (г) Q= q x -q l ².                                                                                                                  

  Ответ: (б) поскольку поперечная сила в сече-                      

нии равна сумме проекций сил на ось “y”, приложенных к рассматриваемой части балки (qx). Ответ (в) не соответствует правилу знаков для поперечной силы, а в ответе (г) присутствует M_e= q l ², но пара сил не даёт проекцию на ось.

 

3. Для той же расчётной схемы аналитическое выражение для изгибающего момента M_z:

(а) +q l ²; (б) -q l ²;  (в) - +q l ²;  (г)- -q l ².

Ответ: (в), поскольку в соответствии с правилами знаков M_e=q l ² даёт положительную компоненту, а составляющая момента от распределённой наг-рузки  не растягивает нижнее волокно, следовательно даёт отрицатель-ную составляющую.

4. Для расчётной схемы аналитическое выра-жение для поперечной силы на левом участке имеет вид:                                        

(а) q x -F;  (б) q l +F;  (в) -q x -F;  (г) q l -F.

Ответ: (г),поскольку накопившееся на правом участке составляющая попере-          чной силы от равномерно распределённой нагрузки q l входит со знаком плюс, а сила F даёт отрицательную компоненту.

 

5. В расчётной схеме п.4 выражение для изгибающего момента M _z:

(а) –q l ( + x)+F x; (б) - +F x; (в) q l ( + x)- F x; (г) q l ( + x)+F x.

Ответ: (а), поскольку компонента от сосредоточенной силы F даёт составляющую (+F x), а накопившаяся на правом участке сила q l, будучи заме-нена равнодействующей, приложенной посередине правого участка, даёт соста-вляющую q l ( + x) со знаком “минус”.

 

6. Что возникает на эпюре поперечных сил Q в сечении, где приложена сосредоточенная сила F?

(а) прежде постоянные значение эпюры Q становится переменным;

(б) скачок на величину силы F и в направлении  (если движемся слева);

(в) изменяется наклон прямой линии эпюры Q;

(г) не отмечается изменений.

Ответ: (б), поскольку в отличие от предшествующего участка в аналитической зависимости для Q возникает ещё одна составляющая, равная F, то на эпюре в этом сечении скачок на величину F, и в направлении этой силы (если движемся слева).

 

7. Что возникает на эпюре изгибающих моментов М в сечении, где приложена сосредоточенная сила F?

(а) изменений нет;        

(б) эпюра моментов претерпевает скачок на величину F;

(в) эпюра моментов становится линейной;

(г) излом эпюры М на “острие” вектора .

Ответ: (г), поскольку Q = , а эпюре Q в этом сечении скачкообразно изменяет своё значение (см. п.6), то изменяется и угол наклона касательной (проходит излом на “острие” вектора F).

 

8. Что возникает на эпюре поперечных сил в сечении, где приложена внешняя пара сил М_е?

(а) скачок на величину М_е; (б) эпюра М меняет значение на противоположное;

(в) изменений нет;            (г) изменяется наклон эпюры.

Ответ: (в), поскольку пара сил не проектируется на ось, то и на эпюре Q изменений нет.

 

9. Что возникает на эпюре изгибающих моментов М в сечении, где приложена внешняя пара сил М_е?

(а) изменений нет;

(б) отмечается изменение угла наклона касательной к эпюре М;

(в) скачок на величину М_е в сторону сжимаемого этой парой “волокна”;

(г) скачок на величину М_е в сторону растягиваемого этой парой “волокна”.

Ответ: (г), поскольку в аналитической зависимости для изгибающего момента при переходе сечения, где приложена М_е возникает новое слагаемое, то на эпюре – скачок на величину М_е в ту сторону, какое “волокно” дорастягивает М_е (в соответствии с правилом знаков).

 

10. Если переходим с участка, на котором заканчивается действие равномерно распределённой нагрузки q, то на эпюре изгибающих моментов М:

(а) происходит изменение угла наклона линейной эпюры;

(б) криволинейная эпюра изменяет кривизну на противоположную;

(в) эпюра М остаётся неизменной по характеру;

(г) прежде криволинейная эпюра становится линейной.

Ответ: (г), поскольку в аналитической зависимости при переходе на участок, где q =0, исчезает слагаемое, содержащая компоненту , то прежде криво- линейная эпюра становится линейной.

 

11. На участке, где имеется равномерно распределённая нагрузка и эпюра изги-бающих моментов изменяется по квадратичной зависимости, то наличие экстремума (М_экстр.) обусловлено:

(а) изменением знака функции М_(х);

(б) равенством нулю поперечной силы в пределах участка;

(в) равенством нулю производной ;

(г)изменением характера функции М(х).

Ответ: (б), поскольку =Q, то в сечении, где поперечная сила Q становится

равной нулю функция М(х) имеет экстремум.

 

12. Условием определения (в пределах участка) положения сечения, где      М = М_экстр. является:

 

(а) =0;              (б) q=0;         (в) Q=0;            (г) скачок на эпюре М.

Ответ: (в), поскольку именно в сечении, где Q=0, а следовательно и касатель-ная функции М(х), тангенс угла наклона которой равен производной = =Q, принимает нулевое значение, следовательно сама функция М(х) имеет экстремальное значение.

 

Контрольные тесты

 

1. Построить эпюры Q, M и определить Q_мax, M_мax.

 

 

(1.1) Q_мax [кH]: (а) 10; (б)35  (в)40; (г)55.

        M_мax [кHм] (д) 40; (е) 41.5; (ж)20; (з) 37.5.

 

(1.2) Q_мax [кH]: (а) 20; (б)30; (в)40; (г)50.

        M_мax [кHм] (д) 20; (е) 30; (ж)40; (з) 50.

 

(1.3) Q_мax [кH]: (а) 20; (б)35; (в)45; (г)50.

        M_мax [кHм] (д) 52.5; (е) 63.5; (ж)40; (з) 42.5.

 

(1.4) Q_мax [кH]: (а) 15; (б)20; (в)25; (г)40.

        M_мax [кHм] (д) 10; (е) 20; (ж)30; (з) 40.

 

(1.5) Q_мax [кH]: (а) 20; (б)30; (в)40; (г)60.

        M_мax [kH м] (д) 20; (е) 30; (ж)40; (з) 60.

2. Для расчётных схем а, б, в, г найдите соответствующие эпюры (д, е, ж, з) поперечных сил и эпюры (и, к, л, м) изгибающих моментов (длина балки – l).

 

3. Для расчётных схем а, б, в, г найдите соответствующие эпюры (д, е, ж, з) поперечных сил и эпюры (и, к, л, м) изгибающих моментов (длина каждого участка – l, М_е=q l ²).

 

4. Построить эпюры изгибающих моментов и определить М_мах:

 

 

[4.1] (а) 30; (б) 35; (в) 40; (г) 45.               [4.4] (а) 30; (б) 35; (в) 40; (г) 45.

[4.2] (а) 70; (б) 76.25; (в) 78.25; (г) 90.25. [4.5] (а) 12.5; (б) 20; (в) 25; (г) 30.

[4.3] (а) 15; (б) 30; (в) 45; (г) 60.