Моменты инерции простейших фигур

 

Прямоугольник. Определяя элементарную площадь dA в виде произведе-ния bdy или hdz (рис.3.2, а,в), вычисление  сводим к интегрированию по одной переменной:

Момент инерции параллелограмма (рис.3.2, б) относительно центральной оси z, параллельной основанию b, определяется также по формуле

     а                               б                                    в

Рис. 3.2

Это следует из того, что момент инерции фигуры не меняется от перемеще-ния ее частей параллельно той оси, относительно которой определяется эта характеристика (а именно так из прямоугольника образован параллелограмм).

Однако момент инерции параллелограмма относительно оси у нельзя вы-числить по формуле для прямоугольника, так как в этом случае элементарные

площадки сдвинуты непараллельно оси у.

Треугольник. Найдем момент инерции I_z отно-сительно оси, проходящей через центр тяжести (рис.3.3). Очевидно, ширина элементарной полоски, находящейся на расстоянии у от оси z, равна:

                                                                                           

Следовательно,                                                                               Рис. 3.3

Круг. Вычислим полярный момент инерции круга радиусом r (рис.3.4). Элементарная площадь, вырезанная двумя радиусами и двумя окружностями, равна dA = ρ d φ d ρ. Интегрирование по всей площади заменяется двойным интегрированием:

Учитывая, что полярный момент  инерции равен сумме двух осевых моментов, и принимая во внимание осевую симметрию, получаем

Моменты инерции кольца находим как разность моментов инерции двух кругов – наружного (радиус r_e) и внутреннего (радиус r_i):

                                                                                          

                                                                                                   Рис.3.4

Зависимости между моментами инерции относительно

Параллельных осей

 

При известных величинах моментов инерции относительно осей z и у опре-

делим моменты инерции относительно других осей z ₁ и y ₁, параллельных задан-ным (рис.3.5). Пользуясь общей формулой для осевых моментов инерции, находим

Если оси z и y центральные, то , и

Из полученных формул видно, что моменты инерции относительно центральных осей (когда ) имеют наименьшие значения по сравнению с моментами инерции относительно любых других параллельных осей.

 

            

            Рис. 3.5

 

 

3.4 Главные оси и главные                

                   моменты инерции сечения

Исследуем изменение моментов инерции при повороте осей координат. При известных величинах моментов инерции относительно осей z и у (не обязательно центральных) определим моменты инерции относительно осей z ₁ и y ₁, повернутых относительно заданных на угол α (рис.3.6). Координаты площади dA в осях z ₁, y ₁ выражаются че рез координаты z, у следующим образом:

                                                                                            Рис. 3.6

                                                              

                        z ₁ = OC + CD = OC + AE = z cosα + y sinα;

 

y₁ = BE – DE = BE – CA = y cosα – z sinα.

Подставим эти значения в исходные выражения моментов инерции:

 

Уяснив смысл интегралов, окончательно находим

С изменением угла поворота осей координат α каждый из моментов инерции I_z и I_y меняется, а сумма их, равная I_p, остается неизменной. Очевидно, существует такое значение α₀, при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой принимает минимальное значение. Для определения экстремума приравняем нулю первую производную от I_{z 1} и положим α = α₀:

или

Выражение в левой части представляет собой не что иное, как . Оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения (при этом центробежный момент инерции становится равным нулю), называют главными осями инерции сечения. Для их определения используют зависимость, получаемую из последнего уравнения:

tg

Поскольку формула дает два значения угла α₀′ иα₀″ = α₀′+90º, то существуют две взаимно перпендикулярные главные оси. Соответствующие им моменты инерции называют главными моментами инерции сечения. Ось максимума всегда составляет меньший угол (α₀′) с той из осей (z или у), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение. Напомним, что положительные углы откладываются от оси z против хода часовой стрелки.

Для определения главных моментов инерции отразим значение углаα₀ в выражении , используя при этом формулы тригонометрии:

После несложных преобразований получим

Эта формула позволяет вычислить главные моменты инерции, не определяя положение самих главных осей.

Равенство нулю центробежного момента инерции относительно главных осей часто используют для их непосредственного определения. Так, например, для симметричной фигуры ось симметрии является главной осью, поскольку центробежные моменты инерции площадок dA ₁ и dA ₂ (рис.3.7) при z ₂ = – z ₁ в сумме дают нуль, в силу чего и для всего сечения величина D_zy равна нулю. Таким образом, одна главная ось – ось симметрии у, другая перпендикулярна ей. Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости сечения. Однако практическое значение для расчета элементов конструкций имеют лишь главные центральные оси инерции, проходящие через центр тяжести сечения, который совпадает с осью бруса (стержня) и является центром приведения внутренних

сил. Для прокатных профилей положение глав-ных осей и величины главных центральных момен-тов инерции даны в таблицах сортамента.

                                                                                                          Рис.3.7

Практикум

Примеры

1. Определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции для составного сечения (рис.3.8). Построить эллипс инерции.

Решение. Центр тяжести фигуры лежит на оси симметрии у, которая и является главной центральной осью.

Выбираем произвольную ось z ' и определяем ординату центра тяжести, предварительно разбив сечение на два прямоугольника:

                                                         

Через точку С перпендикулярно оси у проводим ось z, которая и будет другой главной центральной осью.

                                                

                                                      Рис. 3.8

 

Для каждого из прямоугольников находим моменты инерции относительно их главных центральных осей:

а также расстояния их центров тяжести от оси z:

      Используя зависимости между моментами инерции относительно парал-лельных осей, находим величины главных центральных моментов инерции:

Определяем радиусы инерции:

и строим эллипс инерции (см.рис.3.8), отложив величины i_z и i_y на перпендику-лярах к соответствующим осям.

2. Найти расстояние с между ветвями составного стержня, обеспечивающее равенство главных моментов инерции сечения (рис.3.9).

Решение. Требуемое условие обеспечивается равенством моментов инерции относительно осей симметрии z и у, являющихся главными центральными осями сечения.

Разбиваем каждую часть сечения на три прямоугольника, как показано на рис.3.9, и определяем моменты инерции:

   

                                                          Рис. 3.9

 

Приравнивая I_y и I_z, получаем уравнение

или

откуда с = 4,19 см.

Здесь и отрицательный корень с = –13,73 см имеет смысл. Читателю предлагается изобразить составное сечение для этого случая.

 

Вопросы для повторения

1. Что называется статическим моментом сечения?
2. Какую размерность имеет статический момент сечения?
3. Как определяют координаты центра тяжести сложного сечения?

4. Что называют осевыми, центробежными, полярными моментами инерции сечения?

1. Размерность моментов инерции сечения?

6. Чему равна сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей?

1. От чего зависит знак центробежного момента инерции сечения?
2. Какие оси называют главными осями инерции?

9. Что такое главные центральные оси инерции и почему необходимо вы-числять значения главных моментов инерции относительно главных централь-ных осей?

10. Как определяют главные моменты инерции и положение главных осей?

11. Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей инерции?

12. Какие центральные оси являются главными у сечений, имеющих более двух осей симметрии?

13. Почему производят разбивку сложного сечения на составляющие простые части при определении статических моментов и моментов инерции сечения?

1. Дайте определение радиуса инерции?

 

Тесты для повторения

1. Статический момент площади сечения относительно центральной оси “Υ”

          (а) S_y > 0;       (б) S_y < 0;     (в) S_y = 0;         (г) S_y  0. 

  Ответ: (в), потому что признаком того, что из семейства параллельных осей ось, относительно которой статический момент равен нулю, является цент-ральной.                                                                                

 

 

2. Для какой из осей статический момент сечения S будет наибольшим:                                                              

(а) – у;      (б) - х₁;                (в) - х₂;         (г) -х₃.                                                                                                                                                                                                                                                       

Ответ: (г) так как S_х  > S_y поскольку элементарные                              площадки удалены на расстояния, большие чем от оси “у”, а из осей х₁, х₂, х₃ статический момент имеет большую величину для наиболее удалённой оси.

                                                              

3. Если J_y=J_z, а D _yz=0, то оси “y”,”z” являются:

(а) центральными;      (б) главными центральными;

(в) осями симметрии; (г) главными.

Ответ: (г), потому что равенство центробежного момента инерции нулю – необходимое и достаточное условие для главных осей инер-ции. Если оси “y”,”z” были бы центральными, то необходимо в дополнение что бы S_y=0 и S_z=0.

 

4. При повороте взаимно перпендикулярных осей “y”и”z” относительно общего начала координат сумма осевых моментов инерции (J_y+J_z):

(а) зависит от угла поворота; (б) не изменяется;

(в) равна нулю;                       (г)изменяется, но не зависит от угла поворота.

Ответ: (б) сумма осевых моментов относительно двух ортогональных осей при их повороте остаётся постоянной величиной, равной полярному моменту инерции J_р= ρ² dA.

 

5. Ось “y” изменила своё направление на противоположное. Значение какого момента инерции изменится:

(а) J_y;           (б) J_z;          (в) D_yz;       (г) J_p;

Ответ: (в), величина центробежного момента сохранится, но знак изменится на противоположный. Для других моментов инерции “x”,”y”, координаты стоят под интегралом в квадрате, следовательно будет координата “+y” или ”-у” – величина момента не изменится.

 

 6. Осевой момент инерции для треугольника будет максимальным для:

(а) z₀;        (б) z₁;      (в) z₂;        (г) z₃;

Ответ: (г), поскольку наименьшее значение осевой момент J_z  имеет для центральной оси z₀, а значение осевого момента инерции для оси, параллельной цен-тральной возрастает на величину равную произведе-         

 

нию площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

 

Контрольные тесты

1.Если J_y=J_z и D_zy=0, то главные оси инерции наклонены к исходным осям под углом:

        (а) α = 90˚;   (б) α = 30˚; (в) α = 45˚;   (г) α = 60˚;    

2. Выражение центробежного момента инерции плоского сечения относительно осей “y”и “z” имеет вид:

        (а) ; (б) ; (в) ; (г) + .

3. Центробежный момент инерции сечения относительно главных осей:

 

       (а) D_zy > 0;     (б) D_zy=0;         (в) D_zy < 0;        (г) D_zy  0.

 

4. Осевой момент инерции круглого сплошного сечения определяется по формуле:

         (а) ;   (б) ;  (в) ;   (г) .

5.Положение главных осей инерции определяется углом α₀, а tg 2α₀ равен:

         (а) ;  (б) ;   (в) ;    (г) .

6.Осевой момент инерции треугольника высотой h и основанием b относительно оси “z”, проходящей через основание определяется по формуле:

         (а) ;  (б) ; (в) ;  (г) .

7. Если J_y < J_z, то при повороте осей на угол α₀ главная ось инерции, ближайшая к оси “z” будет осью:

         (а) симметрии; (б) максимума; (в) минимума; (г) нейтральной.

 

8. При повороте осей на угол α, осевой момент инерции J_y, относительно повёрнутой оси “y”, можно вычислить по формуле:

 

         (а) J_z cos²α + J_y sin²α - D_yz sin2α;      (б) J_y cos²α + J_z sin²α + D_yz sin2α;

         (в) D_yz cos2α - (J_y-J_z) sin2α;          (г) J_z cos²α + J_y sin²α - D_yz sin²α

НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ