Поверочные и проектные расчеты

 

Для обеспечения прочности бруса необходимо, чтобы наи­большие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения в опасном сечении, где момент имеет наибольшее значение (рас­сматриваются только балки с постоянным по всей длине попереч­ным сечением), не превосходили соответствующих допускаемых на­пряжений.

Обозначим h_t – расстояние до наиболее удаленного от нейт­ральной оси растянутого волокна, h_c – расстояние до наиболее удаленного сжатого волокна. Тогда наибольшее растягивающее на­пряжение

 σ _{xt m ах} = (M_zh_t)/ I_z;

наибольшее сжимающее напряжение (взятое по абсолютному значению)

σ _{xc m ах} = (M_zh_c)/ I_z.

Для хрупких материалов допускаемые напряжения на растяже­ние и сжатие различны: σ _{c adm} в несколько раз больше σ _{t adm}. Поэтому для балок из таких материалов обычно подбирают сече­ния, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечение ориентируют таким образом,  чтобы h_t < h_c, т.е. чтобы обеспечивалось неравенство max σ _xt < max σ _xc. В таких случаях применяются два условия прочности:

σ _{xt max} = (M_zh_t)/I_z ≤ σ _{t adm};

 σ _{xc max} = (M_zh_c)/I_z ≤  σ _{c adm},

Если сечение балки симметрично относительно нейтральной оси (такие сечения целесообразно применять для балок из плас­тичных материалов, имеющих одинаковые величины σ _adm  на растя­жение и сжатие), т.е. h_t = h_c = h / 2, условие прочности имеет вид

Величина W_z называется моментом сопротивления изги­бу поперечного сече-ния. Для прямоугольника

 для круга

для кольца

где D (d) – диаметр наружной (внутренней) окружности.

Для прокатных профилей значения моментов сопротивления указаны в таблицах сортамента.

Допускаемый изгибающий момент определяется по формуле

Найдя M_{z adm} и зная связь между М _z и нагрузкой, можно определить допуска-емую нагрузку.

Для подбора сечения бруса используется зависимость

W_z ≥ M_z /σ _adm.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид

                                               

                                                   τ_мах≤ τ _adm.

Главные напряжения (см. п.4.2) следует проверять (σ _red ≤ σ _adm) в сечениях, где одновременно имеют большие значе­ния и изгибающий момент (определяющий σ _х), и поперечная сила (определяющая τ _ху), в точках, в которых напряжения σ _х и τ _ху достигают значительных величин.

При подборе сечений брусьев стремятся удовлетворить усло­виям прочности при наименьшем расходе материала, пропорцио­нальном площади сечения, если последняя сохраняется постоян­ной. Значит, чем больше момент сопротивления при одной и той же площади, тем рациональнее сечение.

Поскольку наибольшие нормальные напряжения при изгибе действуют в слоях, удаленных от оси бруса, то стандартные про­катные профили (двутавр, швеллер) наиболее экономичны. Для этих профилей характерна концентрация материала в периферийных зонах, где напряжения имеют наибольшие значения. Вблизи оси бруса (зона минимальных напряжений) находится лишь незначи­тельная часть материала, что необходимо для работы сечения как единого целого. По этой же причине балка круглого сечения будет весьма нерациональна.

Отношением W_z / A = kh можно оценить степень экономичности профиля при сохранении постоянной высоты сечения h. Для прямо­угольника

W / A = [(bh ²/ 6)]/(bh) = 0,17 h.

Для круга k = 0,125; для прокатных двутавров k = 0,29...0,31; для прокатных швеллеров k = 0,27...0,31. Для балки прямоуголь­ного сечения при фиксированной площади выгодно (до известных пределов) увеличивать h. Однако высокие, но узкие профили об­ладают малой жесткостью относительно другой главной оси и не­устойчивы при изгибе.

При различном сопротивлении материала растяжению и сжатию наиболь-шего эффекта можно достичь, используя несимметричное относительно оси z сечение, о чем говорилось выше.

 

         10.5 Перемещение при изгибе. Метод начальных параметров.

                     

При нагружении балки ось балки искривляется. Точки оси получают по-перечные перемещения, а попереч-ные сечения совершают поворот от-носительно своих нейтральных осей. Изогнутую ось балки называют упру-гой линией. Углы поворота сечений φ могут быть определены и как углы наклона касательных к упругой линии в данном сечении (рис. 10.8).

    Рис. 10.8                                    

Линейные V и угловые φ перемещения являются функциями координаты х. В силу малости углов поворота имеет:

                                                 φ(х)

Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой V(х) может быть определена по формуле:

                                                   .

Поскольку величина  величина малая по сравнению с единицей, то упрос-тив последнее выражение можно записать приближённое дифференциальное уравнение:

                                                  .

С учётом ранее полученного при изгибе выражения:

                                              

имеем, EI_z =M_z(x),

где: I_z- момент инерции поперечного сечения балки, относительно её нейт-ральной оси z;

    Е- модуль продольной упругости материала;

   EI_z- изгибная жёсткость.

В общем случае для определения функции прогибов и углов поворота  необходимо проинтегрировать последнее уравнение и определить константы интегрирования из граничных условий –условий закрепления на опорах. В случае двухопорной балки – это равенство нулю перемещений над опорами, а в случае жёсткого защемления – равенство нулю и угла поворота, и перемещения в заделке.

Для балки, имеющей несколько участков, решение существенно осло-жняется, поскольку на каждом участке функция M_z(x) имеет иное аналитичес-кое выражение и необходимо на границах соседних участков обеспечить непрерывность функций φ(х) и V(х). Это приводит к тому, что для балки, име-ющей n участков из числа 2 n граничных условий получать 2 n алгебраических

уравнений и решая эту систему находить 2 n постоянных интегрирования.

Для балок постоянной жесткости (EI_z=const) можно свести решение к нахождению только двух констант интегрирования при любом количестве участков. Это возможно в случае, когда в аналитических выражениях для мо-ментов или прогибов при переходе к следующему участку повторялись все члены предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на границе нового участка.

Рассмотрим балку, нагруженную силовыми воздействиями, вызывающи-ми вертикальные перемещения в положительном направлении оси у (рис. 10.9). Начало координат поместим в крайнюю левую точку оси балки, и оно будет общим для любого участка. Выражения для изгибающих моментов M_z(х) будем состав-лять, рассматривая в равнове-сии левую часть балки. Запи-шем уравнение для пятого участка (d x l)

     M_z(x)=M(x-a) +F(x -b)+

      q .

Для обеспечения рекуррентно-

сти для пятого участка введена

                            Рис.10.9                         “компенсирующая” распределён-ная нагрузка, поскольку сохранив предпоследнее слагаемое (мы как бы продлили распределённую нагрузку и на пятый участок) следует обеспечить действительное силовое воздействие. В первом слагаемом сомножителем введена (х -а) =1. Размеры a, b, c, d соответствуют координате приложения внешних воздействий.

Легко убедиться, что для любого участка M_z(х) можно получить, сох-ранив в уравнении слагаемые, расположенные левее проведенного на участке сечения.

Дважды проинтегрировав последнее выражение, получим:

E V(x) = c₁+c₂ x + .

Постоянные интегрирования С₁и С₂ по своей сути означают:

С₁=E С₂=E  - прогиб V  и угол поворота сечения φ  в начале ко-ординат (х = 0), умноженные на жёсткость сечения при изгибе. Эти постоян-ные определяются из граничных условий. Если начало координат совпадает с жёсткой заделкой, то φ = 0, V = 0. Если начало координат совпадает с левой

опорой, то прогиб V =0, а вторую константу определяют из условия равенства

 нулю прогиба на правой опоре.

Выявив составляющие от различных внешних силовых факторов мож-но записать универсальное уравнение упругой линии балки.

EI_zV=EI_zV_◦+EI_zφ_◦ x

 где: M_i, F_i, q_i – внешние нагрузки, включающие и опорные реакции, располо-женные левее (знак ”л” над знаком суммы) от рассматриваемого сечения;

     a_i, b_i, c_i, d_i – расстояния от начала координат до сечения, где приложена данная нагрузка;

    V- перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикуляр-ному оси балки х.

Углы поворота легко получить дифференцированием функции прогибов. Величины φ ,  называют начальными параметрами, что и определило назва-ние метода.

Построив упругую линию по расчётным значениям прогибов в несколь-ких сечениях проверяют, выполняется ли условие жёсткости:

                                        V_max  V_adm;

где: V_adm назначается как (0.01 0.001) длины пролёта балки и принимается в зависимости от назначения этой конструкции.

Если прочность балки обеспечена, а условие жёсткости не выполнено, то следует подобрать размеры сечения такими, чтобы обеспечить и жёсткость. К примеру если V_max=1.5V_adm, то момент инерции нового сечения должен быть в полтора раза больше момента инерции прежнего сечения.

 

Композитный брус

 

Сохранив условия задачи для чистого прямого изгиба приз­матического бруса (см. п.7.4.), предположим его выполненным из двух материалов с модулями продольной упругости E ₁ и Е ₂. По­перечное сечение имеет геометри-ческую и упругую симметрию от­носительно вертикальной оси (рис.10.10, а, в).

Положение нейтральной оси устанавливается из условия N = 0. Можно принять , где   – ордината точки, измеряемая от оси , проходящей через центр тяжести сечения; – ордина­та, определяющая положение нейтральной оси относительно оси , и записать

 

    

откуда

а                           б                        в                              г

                                       

                                                Рис.10.10

 

Здесь A ₁ и А ₂ − площади сечения, соответствующие материалам с модулями E ₁ и Е ₂.

Условие M_y = 0 представляется в виде

и служит для установления ориентации осей z и у. В данном слу­чае ось у совпадает с осью симметрии сечения, а ось z перпен­дикулярна ей.

Интегральная формула для M_z имеет вид

где  и – моменты инерции площадей А ₁ и А₂ относительно нейтральной оси.

Таким образом,

Напряжения на отдельных участках сечения будут

 

Характер эпюр σ виден из рис.10.10, б, г (предполагается, что E ₂ > E ₁).