Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями

Задача 4.4.1: Зависимость между компонентами напряженного и деформированного состояния в пределах малых упругих деформаций носит название…

1) принципа Сен-Венана; 2) закона Гука при сдвиге;

3) теоремы Кастилиано; 4) обобщенного закона Гука.

Решение:

1) Ответ неверный! В соответствии с принципом Сен-Венана распределение напряжений существенно зависит от способа приложения внешних сил только вблизи места их приложения, а в сечениях, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений зависит только от статического эквивалента этих сил.

2) Ответ неверный! Закон Гука при деформации чистый сдвиг устанавливает линейную зависимость между касательными напряжениями и угловой деформацией, т.е. ,
где G модуль сдвига материала.

3) Ответ неверный! Теорема Кастилиано доказывает, что частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.

4) Ответ верный. Напряженное и деформированное состояния в точке тела связаны друг с другом через свойства материала. В пределах малых упругих деформаций эта зависимость является линейной и носит название обобщенного закона Гука. Наиболее простую форму этот закон принимает для изотропного материала.

Задача 4.4.2: Совокупность линейных и угловых деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку тела, называют…

1) депланацией; 2) перемещением точки;

3) деформированным состоянием в точке; 4) объемной деформацией.

Решение:

1) Ответ неверный! Депланация – искажение плоской формы поперечного сечения стержня при его нагружении внешними силами.

2) Ответ неверный! Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец в этой же точке деформированного тела, называют полным перемещением точки.

3) Ответ верный.

В общем случае элементарный объем испытывает три линейные деформации и три угловые. Деформированное состояние в точке полностью определяется, если заданы шесть компонентов тензора деформаций (, , , , , ). Зная эти компоненты, можно определить линейную и угловую деформации в любом направлении и в любой плоскости, проходящей через данную точку. Совокупность этих деформаций по множеству направлений и плоскостей, проходящих через данную точку, и называется деформированным состоянием в этой точке.

4) Ответ неверный! Объемная деформация, или относительное изменение объема, – это отношение абсолютного изменения объема к первоначальному. Определяется по формуле , где , , – значения линейных деформаций по координатным осям.

Задача 4.4.3: Три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых отсутствуют угловые деформации, называют…

1) главными осями деформированного состояния;

2) главными осями; 3) центральными осями; 4) осями симметрии.

Решение:

1) Ответ верный. Среди множества осей, проходящих через точку, в которой исследуется деформированное состояние, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации равны нулю. Эти оси называются главными осями деформированного состояния, а линейные деформации в этой системе – главными деформациями.

2) Ответ неверный! Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называют главными осями.

3) Ответ неверный! Центральными называют оси, которые проходят через центр тяжести поперечного сечения.

4) Ответ неверный! Линия, которая делит плоское сечение на две одинаковые фигуры, называется осью симметрии.

Задача 4.4.4: Модуль упругости материала Е и коэффициент Пуассона μ заданы. Относительное изменение объема равно …

1) ; 2) ; 3) 0; 4)

Решение:

1) Ответ неверный! Не учтены знаки «минус» при напряжениях и .

2) Ответ верный. Для определения относительного изменения объема используем формулу
Подставим вместо их значения, тогда

3) Ответ неверный! Не учтено влияние одного из напряжений: или .

4) Ответ неверный! Относительное изменение объема – величина безразмерная.
В формуле для определения относительного изменения объема пропущен модуль упругости.

 

Задача 4.4.5: На рисунке показано напряженное состояние в точке изотропного тела. Модуль упругости материала , коэффициент Пуассона . Линейная деформация в направлении оси х равна…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! При подстановке значений напряжений в уравнение обобщенного закона Гука изменены обозначения осей.

2) Ответ неверный! Допущена ошибка в знаке для нормального напряжения .

3) Ответ верный. Воспользуемся уравнением обобщенного закона Гука . В данном примере , , . После вычислений найдем .

4) Ответ неверный! При решении необходимо учесть, что .

Задача 4.4.6: Объемный элемент находится под действием нормальных напряжений, показанных на рисунке: , , . Модуль упругости материала , коэффициент Пуассона . Линейная деформация в направлении оси z будет равна нулю, когда принимает значение…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ верный. На основании обобщенного закона Гука, составим выражение для определения линейной деформации в направлении оси z: . Подставим в формулу числовые значения , тогда .

2) Ответ неверный! При подстановке значений нормальных напряжений в уравнение обобщенного закона Гука не учтено влияние эффекта Пуассона (в формуле пропущен коэффициент Пуассона).

3) Ответ неверный! Допущена ошибка при алгебраических преобразованиях.

4) Ответ неверный! При вычислении сделана арифметическая ошибка.