Статически неопределимые системы.

8.1. Определение перемещений с помощью интегралов Мора. Правило Верещагина

Задача 8.1.1: Для представленного на рисунке криволинейного стержня приведены выражения углов поворота сечений В, С, D, Е соответственно. При их определении учтено только влияние изгибающего момента. Укажите неправильный ответ, если .

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

Решение:

1) Ответ верный. Балка состоит из двух участков: – прямолинейный, AD – криволинейный. Для решения задачи используется интеграл Мора , – на криволинейном участке. На , так как линия действия силы совпадает с . Таким образом, этот участок при решении задачи можно не учитывать. Составим выражение изгибающего момента на участке AD.

Для нахождения необходимо приложить единичный момент в сечении В и составить выражение для участков АВ и BD соответственно.
На АВ: ;
на BD: .

Таким образом, или

.
Для нахождения в формуле достаточно изменить пределы интегрирования, поскольку на участке АС.
Для нахождения в формуле достаточно изменить пределы интегрирования, поскольку на всем участке АD.
.
Поскольку для нахождения необходимо приложить единичный момент в т. Е, то появится еще на участке , однако М на этом участке равны нулю. В этой связи .

2) Ответ неверный! Вероятно, ошибка связана с неправильным составлением выражений изгибающего момента М для криволинейного и прямолинейного участков.

3) Ответ неверный! Вероятно, неправильно выбраны пределы интегрирования. Проверьте чтобы на грузовом и единичном состояниях угол отсчитывался от одного и того же сечения в одном направлении.

4) Ответ неверный! Вероятно, ошибка связана с неправильным построением функций изгибающих моментов. Нужно составить интеграл Мора для участка АС, так как на остальных участках изгибающий момент в единичном состоянии равен нулю.

Задача 8.1.2: Плоская рама нагружена, как показано на рисунке. Величины М, а, жесткость поперечного сечения на изгиб заданы. Взаимное удаление сечений А и В равно…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Обратите внимание, что длина горизонтального участка равна .

2) Ответ неверный! При перемножении эпюр ординаты единичной эпюры, расположенные под центром тяжести грузовой, определены неверно.

3) Ответ верный. При вычислении интеграла Мора, воспользуемся способом Верищагина. Построим эпюру изгибающих моментов от внешних сил .

В сечении А и В приложим две равные и противоположно направленные единичные силы и построим эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки.

Перемножим эпюру на эпюру , тогда

4) Ответ неверный! При перемножении эпюр необходимо учесть, что площадь грузовой эпюры и ординаты единичной расположены по одну сторону от оси эпюры.

Задача 8.1.3: Жесткость поперечного сечения на изгиб по длине балки постоянна. Размер задан. Значение силы F, при которой прогиб концевого сечения В будет f, равно …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! При перемножении эпюр неправильно определена площадь эпюры изгибающих моментов на втором участке.

2) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении ординаты единичной эпюры на первом участке.

3) Ответ верный. При определении перемещения сечения В используем интеграл Мора, который вычислим по способу Верещагина. Обозначим участки балки индексами «1» и «2». Построим эпюру изгибающих моментов от внешних сил (эпюра построена на сжатом слое).

К концевому сечению балки прикладываем единичную силу и строим эпюру изгибающих моментов от данной силы. Используя способ Верещагина, перемножим эпюры и :

Из условия, что прогиб концевого сечения В равен f, находим значение силы:

4) Ответ неверный! При перемножении эпюр неправильно определена ордината единичной эпюры на втором участке.

Задача 8.1.4: Для балки, изображенной на рисунке, требуется определить абсолютное перемещение сечения А. Выражение … позволит наиболее точно определить данное перемещение.

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

Решение:

1), 4) Ответ неверный! Данное выражение для перемещения не учитывает вклад изгибающих моментов (М_х) в потенциальную энергию деформации балки. Отсутствует один из интегралов Мора . Однако имеет место M_y. Анализ представленной схемы нагружения применительно к изображенной системе координат позволяет сделать вывод, что изгиба в плоскости xz не происходит, то есть .

Таким образом, представленное выражение не позволит получить корректный результат.

2) Ответ верный. Данный случай нагружения соответствует случаю поперечного изгиба. Это означает, что внутренними силовыми факторами, оказывающими влияние на величину потенциальной энергии деформации, будут изгибающий момент (М_х) и поперечная сила (Q_y). Остальные внутренние силовые факторы равны нулю. Представленное выражение учитывает их (М_х; Q_y) совместное влияние и является правильным.

3) Ответ неверный! Несмотря на то, что данное выражение содержит 5 интегралов Мора, формула не учитывает вклад изгибающих моментов М_x в потенциальную энергию деформации. Кроме того, для данной расчетной схемы _{Му=Мz=N=Qx=0.} Таким образом, представленное выражение не позволит получить корректный результат.

8.2. Статическая неопределимость. Степень статической неопределенности

Задача 8.2.1: Число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость системы, носит название_______ связей.

1) дополнительных; 2) внутренних;

3) необходимого числа; 4) внешних.

Решение:

1) Ответ неверный! Связи, наложенные на систему сверх необходимых, называют дополнительными.

2) Ответ неверный! Под внутренними понимают связи, действующие в поперечных сечениях систем.

3) Ответ верный. Положение жесткого тела в пространстве определяется шестью координатами, или, иначе, шестью степенями свободы. Следовательно, если на тело наложить определенным образом шесть связей, то положение его в пространстве будет определено полностью и система становится кинематически неизменяемой. Число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость системы, носит название необходимого числа связей.

4) Ответ неверный! Под внешними понимают связи, накладываемые на систему с помощью опор.

 

Задача 8.2.2: Степень статической неопределимости плоской рамы…

1) 0; 2) 2; 3) 3; 4) 1.

Решение:

1) Ответ неверный! Степень статической неопределимости, равная нулю, означает, что система статически определима, то есть все опорные реакции и внутренние силовые факторы могут быть найдены с помощью уравнений статики. Если попробовать это сделать для данной рамы, то четырех уравнений равновесия будет явно недостаточно для нахождения шести неизвестных.

2) Ответ верный. Предположим, что шарнир отсутствует, тогда рама имеет три дополнительные внешние связи.
Добавление в систему шарнира снимает одну связь (разрешает взаимный поворот сечения). Таким образом, система два раза статически неопределима.

3) Ответ неверный! Очевидно, ошибка связана с тем, что упущен из виду шарнир С. Если бы его не было, то ответ был бы правильным. Шарнир, в котором сходятся два стержня, снимает одну связь и уменьшает на единицу степень статической неопределимости.

4) Ответ неверный! По-видимому, допущена ошибка при определении числа связей, снимаемых шарниром С. Нужно иметь в виду, что шарнир снимает одну связь (а не две). Существуют шарниры, в которых сходятся три и более стержней, тогда число снимаемых связей на единицу меньше числа сходящихся в нем стержней.

Задача 8.2.3: Степень статической неопределимости плоской балки равна …

1) 3; 2) 1; 3) 2; 4) 0.

Решение:

1) Ответ неверный! Видимо, ошибка связана с тем, что упущен из виду шарнир С. Если бы его не было, то ответ был бы правильным. Шарнир, в котором сходятся два стержня, снимает одну связь и уменьшает на единицу степень статической неопределимости.

2) Ответ неверный! По-видимому, допущена ошибка при определении числа связей, снимаемых шарниром С. Нужно иметь в виду, что шарнир снимает одну связь (а не две). Есть шарниры, в которых сходятся три и более стержней, тогда число снимаемых связей на единицу меньше числа сходящихся в нем стержней.

3) Ответ верный. Предположим, что шарнир С отсутствует, тогда балка имеет три дополнительные внешние связи, то есть три раза статически неопределима. Так как шарнир снимает одну связь, данная система является два раза статически неопределимой.

4) Ответ неверный! Степень статической неопределимости, равная нулю, означает, что система статически определима, то есть все опорные реакции и внутренние силовые факторы могут быть найдены с помощью уравнений статики. Если попробовать это сделать для данной рамы, то четырех уравнений равновесия будет явно недостаточно для нахождения шести неизвестных.

Задача 8.2.4: Число дополнительных внутренних связей, наложенных на систему, равно …

1) 5; 2) 1; 3) 3; 4) 2.

Решение:

1) Ответ неверный! В данном случае определено число внешних связей, наложенных на систему.

2) Ответ неверный! Ответ не соответствует условию задачи. Система имеет две дополнительные внутренние связи, запрещающие, например, взаимное вертикальное и горизонтальное смещения сечений, расположенных слева и справа от одиночного шарнира.

3) Ответ неверный! Полученное значение соответствует общему числу связей, наложенных на систему.

4) Ответ верный. Под внутренними связями понимаются ограничения, накладываемые на взаимные смещения элементов системы. Под внешними связями понимают условия, запрещающие абсолютные перемещения некоторых точек системы. Заделка в плоской системе накладывает три внешние связи, шарнирно-неподвижная опора – две. На систему кроме внешних связей наложены две дополнительные внутренние связи, например, запрещающие взаимное вертикальное и горизонтальное смещения сечений В и С.

Следовательно, число дополнительных внутренних связей, наложенных на систему, равно двум.

 

Задача 8.2.5: Степень статической неопределимости для плоского замкнутого контура равна…

1) 2; 2) 3; 3) 1; 4) 4.

Решение:

1), 3), 4) Ответ неверный! Проведите анализ количества внутренних связей в замкнутом контуре.

2) Ответ верный. В поперечном сечении плоского замкнутого контура имеют место три внутренние связи. Они запрещают взаимные два линейных перемещения и одно угловое двух сторон сечения. Поэтому степень статической неопределимости плоского замкнутого контура равна трем.

Задача 8.2.6: Выберите неправильное определение понятия степени статической неопределимости.

1) Суммарное количество дополнительных внутренних и внешних связей;

2) Количество внешних и внутренних связей, наложенных на систему сверх необходимых.;

3) Количество дополнительных внутренних связей, наложенных на систему сверх необходимого для достижения ее кинематической неизменяемости.

4) Разница между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы.

Решение:

1) Ответ неверный! Всякая связь, наложенная на систему сверх необходимых, называется дополнительной (см. рис.1).

Связи делятся на внешние и внутренние.
Внешние связи – это ограничения, накладываемые на абсолютные перемещения каких-либо точек системы.
Внутренние связи – это ограничения, накладываемые на взаимные смещения элементов системы.
Плоская рама, изображенная на рис. 2, имеет необходимое количество как внешних, так и внутренних связей. Таким образом п=0 (система статически определима).
Плоская рама, изображенная на рис. 3, имеет четыре внешние связи (одна дополнительная) и шесть внутренних связей (три дополнительных). Таким образом, данная система четыре раза статически неопределима (один раз внешним образом, три раза внутренним).

2) Ответ неверный! Число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость, называется необходимым числом связей. Под кинематически неизменяемой понимается такая система, положение которой в пространстве (как жесткого целого) однозначно определено. Всякая связь, наложенная сверх необходимых, называется дополнительной.
Количество дополнительных связей равно степени статической неопределимости.
При этом следует иметь в виду, что связи могут быть как внешними, так и внутренними.

Так, например, на рисунке показана плоская рама, имеющая четыре внешние связи, наложенные на нее опорами А и В. Для того чтобы определить положение рамы в плоскости как жесткого целого, необходимо наложить три связи. Следовательно, рама имеет одну дополнительную внешнюю связь. Кроме того, на нее наложены две дополнительные внутренние связи, запрещающие взаимное вертикальное и горизонтальное перемещения сечений рамы, расположенных левее и правее шарнира С. Таким образом, рама, показанная на рисунке, три раза статически неопределима (два раза внутренним образом и один раз внешним).

3) Ответ верный. Неправильное определение: количество дополнительных внутренних связей, наложенных на систему сверх необходимого для достижения ее кинематической неизменяемости .
Данное определение является неверным в силу следующих причин.
Статически определимая система – это такая система, для которой все реакции опор могут быть определены с помощью уравнений равновесия, а затем методом сечений могут быть найдены внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении.
Статически неопределимая система – это система, для которой определение внешних реакций, а затем всех внутренних силовых факторов невозможно с помощью уравнений равновесия.
Разница между числом неизвестных реакций и внутренних силовых факторов и числом независимых уравнений статики, составленных для данной системы, называется степенью статической неопределимости.

4) Ответ неверный! Статически определимой называют систему, для которой все реакции опор могут быть определены с помощью уравнений равновесия, а затем методом сечений могут быть найдены внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении.
Статически неопределимая система – это система, для которой определение внешних реакций, а затем всех внутренних силовых факторов невозможно с помощью уравнений равновесия.
Разница между числом неизвестных реакций и внутренних силовых факторов и числом независимых уравнений статики, составленных для данной системы, называется степенью статической неопределимости.

8.3. Метод сил

Задача 8.3.1: Число канонических уравнений, которое нужно составить и решить для раскрытия статической неопределимости, равно…

1) 4; 2) 2; 3) 1; 4) 3.

Решение:

1), 3), 4) Ответ неверный! Проверьте правильность определения числа дополнительных связей, наложенных на систему.

2) Ответ верный. Степень статической неопределимости для плоской системы можно определить по формуле
,
где – число замкнутых контуров;
ш – число одиночных шарниров.
Применительно к данной задаче имеем: , , тогда степень статической неопределимости системы . Следовательно, при решении задачи методом сил надо отбросить две дополнительные связи и ввести две неизвестные силы. Число канонических уравнений в методе сил равно степени статической неопределимости системы, то есть равно двум.

Задача 8.3.2: Система, освобожденная от дополнительных связей, статически определимая и кинематически неизменяемая, носит название…

1) системы с определенным числом степеней свободы;

2) расчетной схемы; 3) эквивалентной системы; 4) основной системы.

Решение:

1) Ответ неверный! Под числом степеней свободы понимается число независимых координат, определяющих положение системы в пространстве.

2) Ответ неверный! Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы.

3) Ответ неверный! Основная система в методе сил, к которой приложены неизвестные силы, моменты и внешние заданные нагрузки, называется эквивалентной системой.

4) Ответ верный. При раскрытии статической неопределимости стержневых, рамных систем используют, например, метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей, как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется силами и моментами. Их величина в дальнейшем подбирается из условий, чтобы перемещения сечений соответствовали тем ограничениям, которые были наложены на систему отброшенными связями.
Следовательно, раскрытие статической неопределимости любой системы методом сил начинается с отбрасывания лишних связей, оставшиеся связи должны обеспечивать кинематическую неизменяемость системы. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически неопределимой, кинематически неизменяемой и носит название основной системы.

Задача 8.3.3: Для плоской статически неопределенной рамы выбрана основная система метода сил и записаны канонические уравнения. Неправильным является следующее определение коэффициентов канонических уравнений:

1) – это перемещение по направлению силы под действием единичной силы, заменяющей силу ;

2) – это перемещение по направлению силы под действием единичной силы, заменяющей силу ;

3) – это перемещение по направлению силы под действием единичной силы, заменяющей силу ;

4) – это перемещение по направлению силы под действием единичной силы, заменяющей силу F.

Решение:

1), 2), 3) Ответ неверный! Согласно идее метода сил коэффициенты , входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения.
– это перемещение по направлению под действием единичного фактора, заменяющего . Таким образом, определение является верным.

4) Ответ верный. Согласно идее метода сил коэффициенты , входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения.
– это перемещение по направлению под действием единичного фактора, заменяющего .
– это перемещение по направлению силы под действием силы F, а не под действием единичной силы, заменяющей силу F. Таким образом, данное определения ошибочно.

Задача 8.3.4: Система канонических уравнений имеет вид . Произведение – это перемещение по направлению …

1) k -го силового фактора от внешних сил;

2) i -го силового фактора под действием единичной силы, заменяющей k -й фактор;

3) i -го силового фактора от заданной внешней нагрузки;

4) i -го силового фактора от неизвестной k -ой силы.

Решение:

1) Ответ неверный! Индекс i в коэффициенте означает, что речь идет о перемещении по направлению неизвестной силы .

2) Ответ неверный! Данный ответ соответствует перемещению .

3) Ответ неверный! Необходимо вспомнить последовательность рассуждений при выводе системы канонических уравнений метода сил.

4) Ответ верный. На основании принципа независимости действия сил перемещение в направлении i -ой неизвестной силы равно сумме перемещений от действия всех неизвестных сил, внешней нагрузки и равно нулю, т.е.
Каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, поэтому величину можно записать в виде .
Следовательно, произведение – это перемещение по направлению i -го силового фактора от неизвестной k -ой силы.

Задача 8.3.5: Для заданной статически неопределимой балки представлены четыре варианта основной системы метода сил. Неправильный ответ соответствует варианту...

1) ; 2) ;

3) ; 4)

Решение:

1), 2), 3) Ответ неверный! Данная балка является два раза статически неопределимой системой. На нее наложены шесть связей (необходимых четыре). Таким образом, дополнительных связей две.
Удаление двух связей: горизонтальной связи в опоре D и превращение жесткой заделки А в шарнирно-неподвижную опору – делает систему статически определимой, и она остается кинематически неизменяемой.

4) Ответ верный. Данная балка является два раза статически неопределимой системой. На нее наложены шесть связей (необходимых четыре). Таким образом, дополнительных связей две.
Удаление двух связей (удаление опоры В и превращение жесткой заделки в шарнирно-неподвижную опору) превращает систему в кинематически изменяемую.

8.4. Расчет простейших статически неопределимых систем

Задача 8.4.1: Стержень круглого сечения диаметром работает на деформацию кручение. Модуль сдвига материала , размер , значение заданы. Наибольшее касательное напряжение равно…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении коэффициента .

2) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении коэффициента .

3) Ответ неверный! Напоминаем, что полярный момент сопротивления при кручении стержня с круглым сечением определяется по формуле

4) Ответ верный. При решении задачи используем метод сил. Отбросим дополнительную связь, например, в опоре А. Действие отброшенной связи заменим неизвестным моментом .

Составим каноническое уравнение метода сил
.
Коэффициенты канонического уравнения найдем используя интеграл Мора, который вычислим по способу Верещагина. Построим эпюры крутящих моментов от единичного момента и от заданных внешних. Далее эти эпюры используем для определения коэффициентов и .

,

Из канонического уравнения получим

Построим суммарную эпюру крутящих моментов.

Наибольшее касательное напряжение при кручении стержня с круглым поперечным сечением определяется по формуле

Следовательно, для данной схемы нагружения
.

 

Задача 8.4.2: Если , , величина момента в заделке А равна …

1) ; 2) 0; 3) ; 4) .

Решение:

1), 3) Ответ неверный! Вероятно, допущена ошибка в построении эпюр моментов.

2) Ответ неверный! Вероятно, неправильно найден коэффициент . Не следует брать площадь всей грузовой эпюры и умножать на ординату единичной над ее центром тяжести. Грузовая эпюра расположена на двух участках длиной l, каждый из них перемножается отдельно.

4) Ответ верный. Система один раз статически неопределима. «Отбрасываем» одну связь (превращаем заделку в шарнирно-неподвижную опору), прикладываем вместо отброшенной связи момент и составляем каноническое уравнение метода сил.

− искомый момент в заделке А.

Для определения коэффициентов канонических уравнений строим единичную и грузовую эпюры:



Знак «-» означает, что момент направлен по часовой стрелке.

Задача 8.4.3: Стержень нагружен силой F. Модуль упругости материала Е, площадь поперечного сечения А, размер известны. Наибольшее нормальное напряжение равно…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Данное значение соответствует минимальному напряжению в стержне по абсолютной величине.

2) Ответ верный. Выбираем основную систему метода сил. Отбросим, например, дополнительную связь в опоре С и заменим ее действие неизвестной силой .

Составим каноническое уравнение
.
При определении коэффициентов канонического уравнения используем интеграл Мора, который вычислим по способу Верещагина, предварительно построив эпюры продольных сил от единичной нагрузки и заданной внешней.




Построим суммарную эпюру продольных сил.

Наибольшее нормальное напряжение равно

3) Ответ неверный! При определении коэффициента допущена ошибка при определении длины стержня.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении коэффициента .

Задача 8.4.4: Для балки, представленной на рисунке, реакция опоры В равна…

1) ; 2) ; 3) 0; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Допущена ошибка при вычислении коэффициента канонического уравнения . Его нужно вычислять «перемножением» грузовой эпюры и единичной по правилу Верещагина. При этом более удобно брать площадь грузовой и умножать на ординату единичной эпюры, находящейся на расстоянии от заделки А.

2) Ответ верный. Выбираем основную систему метода сил, отбрасываем дополнительную связь (опору В) и заменяем ее действие реакцией .

Записываем каноническое уравнение
откуда
Определяем коэффициенты канонического уравнения метода сил.

3) Ответ неверный! Вероятно, допущена ошибка при «перемножении» единичной и грузовой эпюры. Нужно помнить, что по правилу Верещагина функции перемножают по отдельным участкам, на которых они однозначно определены. В данном случае эпюра от нагрузки задается на 2-х участках длиной l и 2l. Причем на последнем она равна нулю.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка при вычислении коэффициента канонического уравнения .
Коэффициент определяется «перемножением» эпюры саму на себя по правилу Верещагина. Нужно определить ее площадь и умножить на ординату (2L), проходящую через ее центр тяжести.

 

Задача 8.4.5: Если , реакция опоры С для представленной плоской рамы равна …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Видимо, ошибка связана с неправильным расчетом . Этот коэффициент находится «умножением» грузовой эпюры на единичную эпюру . Для этого определяется площадь грузовой эпюры и ордината над ее центром тяжести на единичной эпюре .

Знак «-» ставится потому, что эпюры расположены по разные стороны от оси.