Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вопрос 7.1. Аддитивность определенного интеграла .
Положим по определению, что и . Теорема 7.1. (Аддитивность определенного интеграла). Если c некоторое число, то . при условии, что все указанные интегралы существуют. Доказательство. Пусть и T такое разбиение, что c попадает на правый конец одно го из отрезков разбиения. Тогда получаем . Переходя к пределу при , получим . Пусть теперь . Тогда применяя свойство аддитивности к отрезку , получим или . Меняя в последнем интеграле пределы интегрирования, получим . Аналогично доказывается свойство аддитивности при . Конец доказательства. Вопрос 7.2. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона - Лейбница). Теорема 7.2. Если непрерывна на отрезке , то , где любая первообразная функции . Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию . Вычислим производную от функции . Так как по свойству аддитивности , то , где была использована теорема о среднем значении . Таким образом, есть первообразная для функции . Так как в точке а , то , но если является другой первообразной для функции , то и и . Конец доказательства. Замечание 7.1. Из доказательства теоремы следует, что если непрерывна, то она имеет первообразную . Конец замечания. Формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к вычислению неопределенного интеграла. Пример 7.1. . Конец примера. Вопрос 7.3. Замена переменных в определенном интеграле. Теорема 7.3. Пусть непрерывная на отрезке функция, и есть множество значений некоторой функции , непрерывно дифференцируемой на отрезке , причем и , тогда справедлива формула замены переменной . Доказательство. Пусть первообразная для функции . Тогда есть первообразная для функции . По формуле Ньютона ‑ Лейбница , . Отсюда следует, что левые части формул равны между собой. Конец доказательства. Пример 7.2. . Конец примера. Вопрос 7.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Теорема 7.4. Пусть на отрезке заданы две дифференцируемые функции и с непрерывными производными. Тогда справедлива формула интегрирования по частям или . Доказательство. Проинтегрируем левую и правую часть формулы дифференцирования произведения двух функций
получим, после переноса, доказываемую теорему . Конец доказательства. Метод интегрирования по частям используется для интегрирования тех же классов функций, что и в случае неопределенных интегралов. Пример 7.3. . Конец примера.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 406; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.2.15 (0.011 с.) |