Вопрос 7.1. Аддитивность определенного интеграла .

Положим по определению, что

и

.

Теорема 7.1. (Аддитивность определенного интеграла). Если c некоторое число, то

.

при условии, что все указанные интегралы существуют.

Доказательство. Пусть и T такое разбиение, что c попадает на правый конец одно

го из отрезков разбиения. Тогда получаем

.

Переходя к пределу при , получим

.

Пусть теперь . Тогда применяя свойство аддитивности к отрезку , получим

или

.

Меняя в последнем интеграле пределы интегрирования, получим

.

Аналогично доказывается свойство аддитивности при .

Конец доказательства.

Вопрос 7.2. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона - Лейбница).

Теорема 7.2. Если непрерывна на отрезке , то , где любая первообразная функции .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Вычислим производную от функции

.

Так как по свойству аддитивности

,

то

,

где была использована теорема о среднем значении

.

Таким образом, есть первообразная для функции . Так как в точке а , то

,

но если является другой первообразной для функции , то и

и

.

Конец доказательства.

Замечание 7.1. Из доказательства теоремы следует, что если непрерывна, то она имеет первообразную

.

Конец замечания.

Формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к вычислению неопределенного интеграла.

Пример 7.1.

.

Конец примера.

Вопрос 7.3. Замена переменных в определенном интеграле.

Теорема 7.3. Пусть непрерывная на отрезке функция, и есть множество значений некоторой функции , непрерывно дифференцируемой на отрезке , причем и , тогда справедлива формула замены переменной

.

Доказательство. Пусть первообразная для функции . Тогда есть первообразная для функции

.

По формуле Ньютона ‑ Лейбница

,

.

Отсюда следует, что левые части формул равны между собой.

Конец доказательства.

Пример 7.2.

.

Конец примера.

Вопрос 7.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 7.4. Пусть на отрезке заданы две дифференцируемые функции и с непрерывными производными. Тогда справедлива формула интегрирования по частям

или

.

Доказательство. Проинтегрируем левую и правую часть формулы дифференцирования произведения двух функций

получим, после переноса, доказываемую теорему

.

Конец доказательства.

Метод интегрирования по частям используется для интегрирования тех же классов функций, что и в случае неопределенных интегралов.

Пример 7.3.

.

Конец примера.