Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лекция № 2. Неопределенный интеграл.
Вопрос 2.1. Замена переменных в неопределенном интеграле. В подавляющем большинстве случаев сведение неопределенного интеграла к табличному или сумме табличных интегралов возможно только при использовании замены переменных. Справедлива следующая теорема Теорема 2.1. Пусть дан неопределенный интеграл и дифференцируемая функция , тогда справедливо равенство , если существует неопределенный интеграл в правой части. Доказательство. Два неопределенных интеграла равны, если равны производные от них: . Тогда вычисляя производные от интегралов , . убеждаемся в равенстве производных, а следовательно и в равенстве самих производных. Конец доказательства. Замечание 2.1. Если формулу применять слева на право, то метод называют методом замены переменных. Замечание 2.2. Если формулу применять справа налево, то метод называют методом подведения множителя под знак дифференциала. Пример 2.1. . Конец примера. Пример 2.2. . Конец примера. Пример 2.3. . Конец примера. Пример 2.4. Конец примера. Вопрос 2.2. Метод интегрирования по частям. Теорема 2.2. Пусть , дифференцируемые функции и существует интеграл, тогда справедливо формула интегрирования по частям: или Доказательство. Из формулы дифференцирования по частям
найдем . Интегрируя последнее равенство, получим , где учтено, что . Так как и , то формулу интегрирования по частям можно представить в виде . Конец доказательства. Замечание 2.3. При применении метода подстановки и метода интегрирования по частям полезны выражения: , , , , . Пример 2.5. Интегралы вида , где ‑ многочлен n -й степени. Конец примера. Пример 2.6. Интегралы вида . Конец примера. Пример 2.7. Интегралы вида . Эти интегралы называются возвратными. Вычисляя их дважды по частям, получим уравнение, из которого можно найти значение интеграла. Решая это уравнение, найдем . Конец примера. ЛЕКЦИЯ №3 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Вопрос 3.1. Рациональные дроби. Определение 3.1. Рациональной дробью называется функция вида , где и ‑ многочлены степени n и m. Если n<m, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной. Конец определения.
Пример 3.1. ‑ правильная рациональная дробь, ‑ неправильная рациональная дробь, ‑ неправильная рациональная дробь. Конец примера. Теорема 3.1. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби: , где ‑ многочлены (последний из них называется остатком от деления многочлена на многочлен ). Пример 3.2. Деление многочлена на многочлен уголком Следовательно, можно записать . Конец примера.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 226; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.200.77.59 (0.024 с.) |