Лекция № 21. Дифференциальные уравнения

Вопрос 21.1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Определение 21.1. Дифференциальное уравнение

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Теорема 21.1. Если и существуют первообразные для функций и , то есть решение уравнения тогда и только тогда, когда удовлетворяет соотношению

.

Доказательство. Пусть есть решение уравнения .

Тогда

.

Интегрируя последнее соотношение, получим

.

Пусть теперь удовлетворяет равенству

.

Так как , то, дифференцируя его по x, получим

.

Конец доказательства.

Замечание 21.1.

.

Это уравнение есть не что иное, как общий интеграл

.

Замечание 21.2. Если при , то есть решение , оно может не удовлетворять общему интегралу и его необходимо учитывать отдельно.

Рассмотрим теперь уравнение вида

.

Покажем, что с помощью замены это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

.

‑ уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим

.

Пример 21.1. Решить задачу Коши .

Разделяя переменные, получим

При значении получаем ‑ решение уравнения, то есть общее решение уравнения есть

.

Из начального условия получим

.

Конец примера.

Пример 21.2. Найти общее решение уравнения .

Выполним замену переменных , тогда получим или . Разделяя переменные, получим

.

Отсюда получаем или .

Конец примера.

Вопрос 21.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение 21.2. Дифференциальное уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением.

Покажем, что однородное дифференциальное уравнение подстановкой сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно , тогда или

,

то есть переменные разделились.

Пример 21.3. Решить уравнение .

Подстановкой получим или .

Разделяя переменные, найдем

.

Конец примера.

Рассмотрим теперь уравнения вида

.

Покажем, что подстановкой уравнение сводится к однородному уравнению. Считаем, что , тогда . Теперь получаем

.

Выберем n и m так, чтобы

Эта система уравнений всегда имеет единственное решение, если главный определитель отличен от нуля

.

Пусть n и m удовлетворяют этой системе, тогда получим

,

однородное дифференциальное уравнение.

Пример 21.3. Решить уравнение .

, тогда положим , причем n и m удовлетворяют системе уравнений

,

тогда и .

Выполнив замену и подставив в уравнение, получим

или .

Разделяя переменные, найдем

.

Пусть , тогда получим

.

Интегрируя почленно, получим

.

Подставляя , получим

,

где

.

ЛЕКЦИЯ № 22. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.