Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вопрос 6.3. Свойства определенного интеграла.
Свойство 6.4. (Линейность определенного интеграла) . Доказательство. Используя линейность интегральной суммы и свойства предела, получим . Отсюда получаем доказываемое равенство. Конец доказательства. Следствие 6.3. Если функции и определены на отрезке , причем интегрируема на отрезке , а функция и отличается от функции в счетном числе точек, то функция интегрируема на отрезке и . Доказательство. Приведем доказательство для случая, когда число точек, в которых , конечно. Пусть это будут точки отрезка . Рассмотрим функцию . Тогда только, если . Положим . Тогда выполнив произвольное разбиение отрезка с диаметром , и, учитывая, что каждая точка принадлежит не более чем двум отрезкам , получим для интегральной суммы функции неравенство: . Переходя в нем к пределу при , получим . В силу свойства линейности, функция интегрируема на отрезке и . Конец доказательства. Из данного следствия вытекает важный вывод: Следствие 6.4. Интеграл не изменится, если изменить у интегрируемой на отрезке функции значения не более чем в счетном числе точек. Свойство 6.5. (Нормировка определенного интеграла). Если на отрезке , то . Доказательство. Интегральные суммы единичной функции равны . Поэтому, вычисляя предел такой постоянной суммы, получим, что интеграл равен . Конец доказательства. Свойство 6.6. (Положительная определенность определенного интеграла). Если , то . Доказательство. Пусть , тогда по свойству положительности интегральных сумм . Переходя к пределу, получим, что интеграл неотрицателен. Конец доказательства. Следствие 6.5. Если , то . Доказательство. Из неравенства следует, что , тогда Конец доказательства. Свойство 6.7. Если функции и интегрируемы на отрезке , то и их произведение интегрируемо на отрезке . Приводится без доказательства. Свойство 6.8. ( Теорема о среднем значении). Если непрерывна на , то найдется точка c из этого отрезка такая, что . Доказательство. Пусть минимальное и максимальное значения функции на отрезке соответственно равны m и M. Интегрируя неравенство , получим . или . В силу непрерывности функции найдется такая точка c отрезка , что . Конец доказательства. Свойство 6.9. Если функция интегрируема на отрезке , то ее модуль также интегрируем на отрезке , при чем справедливо неравенство
. Доказательство. Первая часть теоремы, т.е. доказательство интегрируемости модуля функции приводится без доказательства. Из неравенства Следует, что , или . Конец доказательства. ЛЕКЦИЯ № 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 764; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.153.38 (0.008 с.) |