Лекция № 4 неопределенный интеграл.

Вопрос 4.1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Определение 4.1. Многочленом двух переменных x и y называется функция вида

.

Конец определения.

Пример 4.1. ‑ многочлен второй степени двух переменных.

Конец примера.

Определение 4.2. Рациональной функцией двух переменных x и y называется отношение двух многочленов:

.

Конец определения.

Пример 4.2.

.

Конец примера.

Определение 4.3. Функция вида

.

называется дробно-линейной иррациональностью, где R рациональная дробь двух переменных.

Конец определения.

Аналогично определяются рациональные функции трех и более переменных.

a) Интеграл вида

вычисляется с помощью подстановки .

Пример 4.3. Вычислить интеграл .

Конец примера.

б) Интеграл вида

где , рациональные числа, вычисляется с помощью подстановки , где r ‑ наименьший общий знаменатель дробей .

Пример 4.4.

Конец примера.

Вопрос 4.2. Интегрирование квадратичных иррациональностей.

а) Интеграл вида

выделением полного квадрата сводится к интегрированию табличных интегралов

или .

Пример 4.5.

Конец примера.

б) Интеграл вида

вычисляется по методу неопределенных коэффициентов

,

где ‑ многочлен с неопределенными коэффициентами, - неопределенное число.

Пример 4.6.

.

Дифференцируя по x, получим

,

или , откуда A =1, =1, и, следовательно,

Конец примера.

в) Интеграл вида

вычисляется заменой .

Пример 4.7.

Конец примера.

ЛЕКЦИЯ № 5 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Вопрос 5.1. Интегрирование тригонометрических выражений.

a) Интегралы вида .

1) если ‑ нечетное натуральное число, n ‑ любое вещественное число, то

2) если ‑ нечетное натуральное число, m ‑ любое вещественное число, то

Пример 5.1.

Конец примера.

3) ‑ четные числа. Степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу по формулам:

.

Пример 5.2.

Конец примера.

4) Если , где k ‑ целое число, то делается подстановка или .

Пример 5.3.

.

Конец примера.

5) Если ‑ отрицательное нечетное число, n ‑ целое число, то делается подстановка .

Пример 5.4.

Конец примера.

6) Если ‑ отрицательное нечетное число, m - целое число, то делается подстановка .

Пример 5.5.

Конец примера.

b) Интегралы вида

Для вычисления интегралов используются тригонометрические формулы:

.

Пример 5.6.

Конец примера.

с) Интегралы вида , где ‑ рациональная функция двух переменных u, v.

I) Универсальная тригонометрическая подстановка

,

,

.

Универсальная тригонометрическая подстановка сводит интеграл к интегралу от рациональной функции: .

Пример 5.7.

Конец примера.

II) Если выполнено равенство , то более подходит подстановка . Тогда получаем

Эта подстановка сводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

Пример 5.8.

Конец примера.