Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вопрос 7.5. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
Теорема 7.5. Если имеет непрерывную ‑ю производную на отрезке , то справедлива формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Доказательство. По формуле Ньютона – Лейбница, интегрируя по частям n раз, получим Конец доказательства. ЛЕКЦИЯ № 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Вопрос 8.1. Формула трапеций. Теорема 8.1. (Обобщенная теорема о среднем значении). Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция интегрируема и неотрицательна () на этом отрезке. Тогда справедлива формула , где c принадлежит отрезку . Доказательство. Так как непрерывна на , то она достигает своего минимального и минимального значения на этом отрезке. Пусть m ‑ минимальное, а M ‑ максимальное значения функции на отрезке . Тогда . Интегрируя это неравенство, умноженное на функцию , получим или . Интеграл существует, так как произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией. В силу непрерывности функции всегда найдется точка c, в которой достигается указанное промежуточное значение между m и M. Следовательно . Конец доказательства. Теорема 8.2. (Формула трапеций). Если имеет непрерывную вторую производную на отрезке , то справедлива формула , где ‑ остаточный член формулы трапеций, равный . Пояснение. Так как (см. рис. 1) Рис. 1. Формула трапеций.
есть площадь трапеции, высотой и основаниями и , то смысл формулы состоит в том, что значение интеграла, равное площади криволинейной трапеции, равно площади обычной трапеции (для неотрицательных функций). Доказательство. Используем формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме . Обозначим через функцию , и разложим ее в ряд Тейлора . Аналогично разложим функцию . Но . Пусть , тогда Откуда . Подынтегральная функция , тогда по обобщенной теореме о среднем значении получим . Интегрируя, получим . Определение 8.1. Длины отрезков разбиения называются шагами интегрирования, а их концы называются узлами интегрирования. Формулы интегрирования называются составными или усложненными. Рассмотрим усложненную формулу трапеций с постоянным шагом интегрирования h и узлами . Тогда где Пусть m ‑ минимальное, а M ‑ максимальное значение на отрезке . Тогда . Складывая эти неравенства с , получим
или . В силу непрерывности пробегает все промежуточные значения от m до M, поэтому существует точка c, такая что . Так как , то . Отсюда получим усложненную формулу трапеций , .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 216; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.12.108.7 (0.006 с.) |