Лекция № 28. Дифференциальные уравнения

Вопрос 1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений.

Рассмотрим линейное дифференциальное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

 

.

 

Будем искать решение этого уравнения в виде . Вычисляя производные

 

 

и подставляя их в уравнение, получим

 

 

Так как , то сокращая на, получим квадратное уравнение для определения

 

.

 

Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением. Рассмотрим следующие три случая:

 

1) характеристическое уравнение имеет разные вещественные корни, то есть его дискрименант строго положителен (D > 0).

Обозначим эти корни через . Тогда получаем два решения

 

 

Эти решения образуют Ф.С.Р., так как их определитель Вронского отличен от нуля в точке x = 0

 

 

Следовательно, общее решение этого уравнения дается формулой

 

.

 

2) характеристическое уравнение имеет один вещественный корень, то есть его дискрименант D = 0.

В этом случае имеется одно решение . Зная его, найдем второе решение , используя формулу (смотри лекцию № 8)

 

 

Так как D = 0, то . Поэтому получаем

 

следовательно,

 

.

 

Итак фундаментальная система решений имеет вид

 

 

Общее решение уравнения есть

 

 

3) характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то есть его дискрименант D < 0.

Тогда имеется два решения

 

.

 

Эти решения являются комплексными функциями вещественного аргумента x. Удобно искать решения в виде вещественных функций. Для этого используем формулы Эйлера

 

,

 

.

 

Тогда получим

 

,

 

,

 

Возьмем полусумму и полуразность этих решений

 

 

 

Тогда мы получим Ф.С.Р., что легко подтвердить, вычисляя определитель Вронского

 

.

 

Вычисляя его при x = 0, получим

 

 

Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид

 

 

ПРИМЕР 1. Найти общее решение уравнения .

Составляем характеристическое уравнение . Его корни равны , тогда Ф.С.Р. есть

 

, ,

 

отсюда находим общее решение уравнения .

 

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

 

ПРИМЕР 2. Найти общее решение уравнения .

Составляем характеристическое уравнение . Оно имеет один корень , тогда Ф.С.Р. есть

 

, ,

 

отсюда находим общее решение уравнения .

 

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

 

ПРИМЕР 3. Найти общее решение уравнения .

Составляем характеристическое уравнение . Оно имеет комплексные корни , тогда Ф.С.Р. есть

 

, ,

 

отсюда находим общее решение уравнения .

Конец примера.