Вопрос 19.1. Условный экстремум.

Определение 19.1. Условным минимумом функции n переменных при наличии m условий связи

,

называется точка , такая что

,

и для всех из некоторой окрестности точки , удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство .

Конец определения.

Определение 19.2. Условным максимумом функции n переменных при наличии m условий связи

называется точка , такая что

,

и для всех из некоторой окрестности точки , удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство .

Конец определения.

Определение 19.3. Условным экстремумом функции n переменных называется точка условного максимума или локального минимума.

Пример 19.1. .

Точкой условного минимума будет (смотри рис. 1). Действительно из уравнения связи , или , но .

Конец примера.

Вопрос 19.2. Функция Лагранжа и множители Лагранжа.

Теорема 19.1. (Необходимые условия существования условного экстремума). Пусть на множестве M непрерывно дифференцируема функция и . Тогда для того, чтобы точка была точкой условного экстремума функции при наличии уравнения связи необходимо, чтобы выполнялись условия

Доказательство. Из условия теоремы следует, что уравнение связи определяет неявную функцию . В точке условного локального экстремума функция имеет безусловный экстремум. Поэтому

.

Условие очевидно. Из .

Из последнего уравнения получаем . Откуда находим

.

Умножим на равенство и заменим . Тогда получим

,

или

.

Так как и , то , откуда следует доказательство теоремы.

Конец доказательства.

Замечание 19.1. Если ввести функцию Лагранжа

,

где - множитель Лагранжа, то необходимые условия существования можно свести к условиям

Если x и y удовлетворяют уравнению связи , то функция Лагранжа совпадает с функцией .

Теорема 19.2. (Достаточные условия существования условного экстремума). Пусть точка является стационарной точкой функции при наличии связи . Если второй дифференциал функции Лагранжа, вычисленный по x и y при условии что , знакопостоянен, то это точка условного локального экстремума, при чем, если , то это точка условного минимума, в противном случае - точка локального максимума. Если второй дифференциал функции Лагранжа меняет свой знак, то условного экстремума нет.

Теорема приводится без доказательства.

Пример 19.2. . Найти условный экстремум и определить тип экстремума.

Составим функцию Лагранжа . В точках локального экстремума должны выполняться условия

.

откуда получаем систему уравнений

Отсюда получаем:

Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа

С учетом уравнения связи , получим

В точке второй дифференциал отрицателен

.

Следовательно, это точка условного локального максимума. В точке второй дифференциал отрицателен

.

Следовательно, это точка условного локального минимума.

Конец примера.