Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вопрос 19.1. Условный экстремум.
Определение 19.1. Условным минимумом функции n переменных при наличии m условий связи , называется точка , такая что , и для всех из некоторой окрестности точки , удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство . Конец определения. Определение 19.2. Условным максимумом функции n переменных при наличии m условий связи называется точка , такая что , и для всех из некоторой окрестности точки , удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство . Конец определения. Определение 19.3. Условным экстремумом функции n переменных называется точка условного максимума или локального минимума. Пример 19.1. . Точкой условного минимума будет (смотри рис. 1). Действительно из уравнения связи , или , но . Конец примера. Вопрос 19.2. Функция Лагранжа и множители Лагранжа. Теорема 19.1. (Необходимые условия существования условного экстремума). Пусть на множестве M непрерывно дифференцируема функция и . Тогда для того, чтобы точка была точкой условного экстремума функции при наличии уравнения связи необходимо, чтобы выполнялись условия Доказательство. Из условия теоремы следует, что уравнение связи определяет неявную функцию . В точке условного локального экстремума функция имеет безусловный экстремум. Поэтому . Условие очевидно. Из . Из последнего уравнения получаем . Откуда находим . Умножим на равенство и заменим . Тогда получим , или . Так как и , то , откуда следует доказательство теоремы. Конец доказательства. Замечание 19.1. Если ввести функцию Лагранжа , где - множитель Лагранжа, то необходимые условия существования можно свести к условиям Если x и y удовлетворяют уравнению связи , то функция Лагранжа совпадает с функцией . Теорема 19.2. (Достаточные условия существования условного экстремума). Пусть точка является стационарной точкой функции при наличии связи . Если второй дифференциал функции Лагранжа, вычисленный по x и y при условии что , знакопостоянен, то это точка условного локального экстремума, при чем, если , то это точка условного минимума, в противном случае - точка локального максимума. Если второй дифференциал функции Лагранжа меняет свой знак, то условного экстремума нет. Теорема приводится без доказательства.
Пример 19.2. . Найти условный экстремум и определить тип экстремума. Составим функцию Лагранжа . В точках локального экстремума должны выполняться условия . откуда получаем систему уравнений Отсюда получаем: Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа С учетом уравнения связи , получим В точке второй дифференциал отрицателен . Следовательно, это точка условного локального максимума. В точке второй дифференциал отрицателен . Следовательно, это точка условного локального минимума. Конец примера.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 410; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.192.107.255 (0.008 с.) |