Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вопрос 11.1. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Определение 11.1. Пусть функция определена на промежутке , неограниченна на отрезке и интегрируема на любом отрезке , где t принадлежит . Тогда несобственным интегралом от неограниченной функции называется формальное выражение . Если существует предел , то несобственный интеграл называют сходящимся. Тогда полагают: , . Если эти пределы не существуют или бесконечны, то интегралы называются расходящимися. Пример 11.1. . Конец примера. Пример 11.2. . интеграл расходится. Конец примера. Пусть , тогда введя обозначения , получим , . Таким образом, получаем формулы типа Ньютона ‑ Лейбница , особенность при x = a. , особенность при x = b. Несобственный интеграл от неограниченной функции может быть сведен к несобственному интегралу с бесконечными пределами интегрирования. Действительно, пусть неограниченна в окрестности точки a, тогда сделаем замену . Поэтому признаки сходимости могут быть построены совершенно аналогично: Признак 11.1. Если на , то из сходимости интеграла следует сходимость , а значит и интеграла , причем . Из расходимости следует расходимость . Замечание 11.1. Для неотрицательных функций из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость . Конец замечания. Пример 11.3. . Следовательно, интеграл сходится. Конец примера. Признак 11.2. Если и неограниченны в окрестности , и если , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Пример 11.4. , , и , но , следовательно, интеграл сходится. Конец примера. Признак 11.3. Если , то несобственный интеграл сходится, если и расходится, если . Доказательство. Выберем для сравнения вторую функцию . Тогда интеграл . сходится при и расходится при . Следовательно, доказываемый признак сходимости следует из признака 11.2. Конец доказательства. Пример 11.5. . Так как , то интеграл сходится. Конец примера. Вопрос 11.2. Несобственные интегралы от функции, имеющие несколько особенностей. Пусть функция определена на и интегрируема на любом отрезке из интервала , тогда . Интеграл называется сходящимся, если оба предела конечны и расходящимся в противном случае. Аналогично, как в вопросе 11.1, можно вывести формулу типа Ньютона-Лейбница.
. Пример 11.6. Конец примера. Пусть функция имеет особенности в точках из интервала . Тогда положим по определению . Если все интегралы сходятся, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся. Пример 11.7. . Конец примера.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 192; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.139.70.131 (0.006 с.) |