И.В. Терещенко И.В., А.В. Братчиков

Кафедра общей математики

И.В. Терещенко И.В., А.В. Братчиков

М А Т Е М А Т И К А

Часть 2

Конспект лекций для студентов заочной формы обучения факультета Нефти, Газа и Энергетики всех специальностей

Краснодар

УДК:

Математика. Часть 2:

Конспект лекций/И.В. Терещенко, А.В. Братчиков; Кубан. гос. технол. ун-т.-Краснодар: Издательство КубГТУ, 2006.-127с.

ISBN………..

Рассмотрены основные вопросы курса математики по разделам «Интегральное исчисление», «Функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения», изучаемые во втором семестре.

Предназначено для студентов заочной формы обучения факультета Нефти, Газа и Энергетики всех специальностей.

Ил. 10. Библиог.: 40 назв.

Рецензенты: канд. тех. наук, Доцент Л.М. Данович;

д-р тех. наук, профессор Г.Т. Вартумян

© Кубанский государственный технологический университет, 2006

С О Д Е Р Ж А Н И Е

ЛЕКЦИЯ № 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. …...…….………….7

Вопрос 1.1. Первообразная и неопределенный интеграл. …….…….……....7

Вопрос 1.2. Таблица интегралов. ……………………………………………..9

ЛЕКЦИЯ № 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. …………………...10

Вопрос 2.1. Замена переменных в неопределенном интеграле. …………..10

Вопрос 2.2. Метод интегрирования по частям. …………………………….12

ЛЕКЦИЯ № 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ……………….…..13

Вопрос 3.1. Рациональные дроби. …………………………………………...13

Вопрос 3.2. Разложение многочлена на множители. ………………………14

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби. ………………………………………………………………………….17

Вопрос 3.4. Интегрирование простейших дробей. ………………………....19

Вопрос 3.5. Примеры интегрирования рациональных дробей. …………...21

ЛЕКЦИЯ № 4 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ……………………25

Вопрос 4.1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. ……25

Вопрос 4.2. Интегрирование квадратичных иррациональностей. ………...26

ЛЕКЦИЯ № 5 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ……………………28

Вопрос 5.1. Интегрирование тригонометрических выражений. …………..28

ЛЕКЦИЯ № 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ………………………31

Вопрос 6.1. Интегральная сумма Римана. …………………………………..31

Вопрос 6.2. Определенный интеграл.

Вопрос 6.3. Свойства определенного интеграла.

ЛЕКЦИЯ № 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Вопрос 7.1. Аддитивность определенного интеграла.

Вопрос 7.2. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона ‑ Лейбница).

Вопрос 7.3. Замена переменных в определенном интеграле.

Вопрос 7.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Вопрос 7.5. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

ЛЕКЦИЯ № 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Вопрос 8.1. Формула трапеций.

Вопрос 8.2. Формула прямоугольников.

Вопрос 8.3. Формула Симпсона.

ЛЕКЦИЯ № 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Вопрос 9.1. Вычисление площадей плоских фигур.

Вопрос 9.2. Вычисление площади криволинейного сектора.

Вопрос 9.3. Вычисление объема тел.

Вопрос 9.4. Площадь поверхности тела вращения.

ЛЕКЦИЯ № 10 ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.

Вопрос 10.1. Длина плоской кривой.

Вопрос 10.2. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.

ЛЕКЦИЯ № 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Вопрос 11.1. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Вопрос 11.2. Несобственные интегралы от функции, имеющие несколько особенностей.

Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла.

ЛЕКЦИЯ № 12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 12.1. Функции нескольких переменных. Основные понятия и определения.

Вопрос 12.2. Предел последовательности точек в n -ом пространстве.

ЛЕКЦИЯ № 13. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 13.1. Предел функции нескольких переменных.

Вопрос 13.2. Непрерывность функции нескольких переменных.

Вопрос 13.3. Частные производные функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ № 14. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 14.1. Дифференциал функции нескольких переменных.

Вопрос 14.2. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 15.1. Градиент и производная по направлению функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ № 16. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 16.1. Частные производные и дифференциалы старших порядков.

Вопрос 16.2. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ № 18. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 18.1. Неявные функции.

Вопрос 18.2. Дифференцирование неявной функции.

Конец доказательства.

Определение 1.1.2. Неопределенным интегралом от функции на интервале называется множество всех ее первообразных, которое обозначается символом

.

Конец определения.

Свойства неопределенного интеграла:

1) ,

2) .

Доказательство. Доказательство следует из равенства:

.

Конец доказательства.

3) .

Доказательство. Пусть и есть первообразные для функций и соответственно. Тогда сумма есть первообразная для функции , и, следовательно, справедливо равенство

.

Поскольку равенство неопределенных интегралов понимается с точностью до константы, то отсюда следует доказываемое соотношение.

Конец доказательства.

4) .

Доказывается аналогично 3-ему свойству.

5) .

Доказательство. Пусть есть первообразная для функции , тогда функция есть первообразная для функции , отсюда получаем

,

где учтено, что . Отсюда, по тем же причинам, что и в доказательстве свойства 3 следует справедливость свойства 4.

Конец доказательства.

6) .

Доказательство. Пусть есть первообразная для функции , тогда функция есть первообразная для функции

.

Отсюда получаем

.

Конец доказательства.

Вопрос 1.2. Таблица интегралов.

Таблица интегралов играет в высшей математике такую же важную роль, что и таблица производных. Она состоит из наиболее часто встречающихся интегралов от элементарных функций. Эти интегралы получаются с помощью таблицы производных из определения неопределенного интеграла.

.

1. .

2. .

3. .

.

4. .

5. .

6.

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14.

15. .

Докажем например формулу 2. Вычислим производную от . Если , то , тогда . Если , то , тогда . Поэтому .

Замечание 1.1. Некоторые интегралы могут быть выражены через другие функции.

Например:

,

,

,

где ‑ аркгиперболический синус (функция ‑ обратная к гиперболическому синусу) и ‑ аркгиперболический тангенс (функция ‑ обратная к гиперболическому тангенсу)

Конец доказательства.

Замечание 2.1. Если формулу применять слева на право, то метод называют методом замены переменных.

Замечание 2.2. Если формулу применять справа налево, то метод называют методом подведения множителя под знак дифференциала.

Пример 2.1. .

Конец примера.

Пример 2.2.

.

Конец примера.

Пример 2.3.

.

Конец примера.

Пример 2.4.

Конец примера.

Конец доказательства.

Замечание 2.3. При применении метода подстановки и метода интегрирования по частям полезны выражения:

,

,

,

,

.

Пример 2.5. Интегралы вида , где ‑ многочлен n -й степени.

Конец примера.

Пример 2.6. Интегралы вида .

Конец примера.

Пример 2.7. Интегралы вида .

Эти интегралы называются возвратными. Вычисляя их дважды по частям, получим уравнение, из которого можно найти значение интеграла.

Решая это уравнение, найдем

.

Конец примера.

Пример 3.1.

‑ правильная рациональная дробь,

‑ неправильная рациональная дробь,

‑ неправильная рациональная дробь.

Конец примера.

Теорема 3.1. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

,

где ‑ многочлены (последний из них называется остатком от деления многочлена на многочлен ).

Пример 3.2. Деление многочлена на многочлен уголком

Следовательно, можно записать

.

Конец примера.

Конец доказательства.

Следствие 3.1. Если a корень многочлена , то он делится без остатка на , т.e.

.

Доказательство. Если a корень многочлена , то и тогда r =0.

Конец доказательства.

Следствие 3.2. Если a корень многочлена , то его можно представить в виде , где k натуральное число и многочлен неравный 0 при .

Доказательство. Согласно следствию 3.1 из теоремы Безу . Если a есть корень многочлена , то, применяя следствие 3.1, получим

.

Продолжая этот процесс, получим многочлен , корнем которого число a не является: .

Конец доказательства.

Теорема 3.4. Если ‑ многочлен n -й степени с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a, то комплексно сопряженное к нему число то же является корнем того же многочлена.

Доказательство. Подставим корень a в уравнение и выполним комплексное сопряжение

,

тогда получим

.

Конец доказательства.

Пример 3.3. Многочлен имеет корни .

Конец примера.

Следствие 3.3. Если b комплексный корень многочлена , то его можно представить в виде

,

причем p и q - вещественные числа, r - натуральное число, такое что , ‑ многочлен, не равный 0 при .

Доказательство. Пусть b комплексный корень, тогда согласно следствию 3.1 можно записать

.

Комплексно сопряженное число будет корнем многочлена . Тогда применяя к нему следствие 3.1, получим

Продолжая этот процесс, получим многочлен , корнем которого число b не является .

Конец доказательства.

Теорема 3.6. Любой многочлен n -й степени можно разложить на множители вида и с действительными коэффициентами:

где числа k и s ‑ кратности соответствующих вещественных и мнимых корней, причем .

Доказательство. Согласно основной теоремы алгебры любой многочлен имеет хотя бы один корень. Пусть это . Тогда из следствия 3.3 следует, что

.

Продолжая эти рассуждения уже для многочлена , мы можем прийти через конечное число шагов к формуле

,

где многочлен не имеет действительных корней. Тогда должен существовать комплексный корень и комплексно сопряженный к нему корень . Из следствия 3.3 получим

.

Продолжая эти рассуждения, мы получим через конечное число шагов разложение

.

Многочлен не имеет корней и, следовательно, является константой. Значение ее легко найти, если сообразить, что она равна коэффициенту при старшей степени x. Отсюда получаем, что .

Конец доказательства.

Пример 3.4. Разложить многочлен на множители с вещественными коэффициентами

.

Он имеет корни .

Конец примера.

Вопрос 3.5. Примеры интегрирования рациональных дробей.

Пример 3.6. .

Разложим дробь на простейшие

или

.

1-й способ (основной):

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x

,

отсюда

2-й способ:

Положим x равным корням знаменателя рациональной дроби, то есть положим

Отсюда получаем

.

Конец примера.

Пример 3.7.

.

Разложим дробь на простые

,

и приведем правую часть к общему знаменателю. Приравняем числители, тогда

.

1-й способ:

2-й способ:

.

Положим x равным корню знаменателя, то есть x =1, тогда получим 2=2 B или B =1. Подставляя это в равенство, получим

,

или

.

Откуда

.

Положим .

Положим .

Тогда получим

Откуда получим

Конец примера.

Пример 3.8. .

.

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители

Найдем коэффициенты

1-й способ:

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням x

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим:

Отсюда и получаем систему

Решая ее, найдем .

2-й способ:

Положим x равным корню знаменателя, то есть x =1, тогда получим . подставляя в равенство, получим

или

или

.

Сокращая на общий множитель , найдем

,

откуда .

Отсюда получаем разложение

.

Отсюда получаем

Конец примера.

Пример 3.9. .

Для вычисления применим метод Остроградского

.

Дифференцируя это равенство, получим

.

Приведем правую часть к общему знаменателю

и приравняем числители

.

Сравнивая коэффициенты при старших степенях, получим:

Отсюда находим . Поэтому получаем

Конец примера.

Пример 4.2.

.

Конец примера.

Определение 4.3. Функция вида

.

называется дробно-линейной иррациональностью, где R рациональная дробь двух переменных.

Конец определения.

Аналогично определяются рациональные функции трех и более переменных.

a) Интеграл вида

вычисляется с помощью подстановки .

Пример 4.3. Вычислить интеграл .

Конец примера.

б) Интеграл вида

где , рациональные числа, вычисляется с помощью подстановки , где r ‑ наименьший общий знаменатель дробей .

Пример 4.4.

Конец примера.

Пример 4.5.

Конец примера.

б) Интеграл вида

вычисляется по методу неопределенных коэффициентов

,

где ‑ многочлен с неопределенными коэффициентами, - неопределенное число.

Пример 4.6.

.

Дифференцируя по x, получим

,

или , откуда A =1, =1, и, следовательно,

Конец примера.

в) Интеграл вида

вычисляется заменой .

Пример 4.7.

Конец примера.

Пример 5.1.

Конец примера.

3) ‑ четные числа. Степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу по формулам:

.

Пример 5.2.

Конец примера.

4) Если , где k ‑ целое число, то делается подстановка или .

Пример 5.3.

.

Конец примера.

5) Если ‑ отрицательное нечетное число, n ‑ целое число, то делается подстановка .

Пример 5.4.

Конец примера.

6) Если ‑ отрицательное нечетное число, m - целое число, то делается подстановка .

Пример 5.5.

Конец примера.

b) Интегралы вида

Для вычисления интегралов используются тригонометрические формулы:

.

Пример 5.6.

Конец примера.

с) Интегралы вида , где ‑ рациональная функция двух переменных u, v.

I) Универсальная тригонометрическая подстановка

,

,

.

Универсальная тригонометрическая подстановка сводит интеграл к интегралу от рациональной функции: .

Пример 5.7.

Конец примера.

II) Если выполнено равенство , то более подходит подстановка . Тогда получаем

Эта подстановка сводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

Пример 5.8.

Конец примера.

Доказательство.

.

Конец доказательства.

Конец доказательства.

Свойство 6.3. (Линейность интегральных сумм). Интегральная сумма от линейной комбинации функций есть линейная комбинация интегральных сумм этих функций.

.

Доказательство. . Раскрывая скобки и группируя слагаемые, получим

Конец доказательства.

Геометрический смысл интегральной суммы: интегральная сумма (см. рис. 1) функции на отрезке есть площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников высотой и шириной .

Рис. 1. Геометрический смысл интегральной суммы.

Определение предела интегральных сумм функции на отрезке можно дать, например, на языке следующим образом.

Определение 6.3. Число I называется пределом интегральных сумм функции на отрезке , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такое положительное число , может быть зависящее от e, что для любого разбиения Т отрезка , диаметр которого удовлетворяет неравенству , независимо от способа разбиения отрезка на части и от выбора промежуточных точек выполняется неравенство .

Конец определения.

Предел интегральных сумм будем в дальнейшем обозначать символом

.

Из определения предела интегральных сумм, подобно пределу последовательности или функции, следует его единственность.

Теорема 6.1. (Единственность предела интегральных сумм). Если существует предел интегральных сумм функции на отрезке , то он единственен.

Доказательство. Предположим противное. Пусть для функции на отрезке существует два различных значения предела интегральных сумм . Пусть выбрано . Тогда должно существовать такое число , что для разбиений с диаметром выполняются неравенства и . Тогда

или

.

Полученное противоречие доказывает теорему 6.1.

Конец доказательства.

Определение 6.4. Определенным интегралом от функции на отрезке или интегралом Римана называется предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, обозначаемый символом

,

при условии, что величина предела не зависит от способа разбиения отрезка на части и выбора промежуточных точек . Функции, для которых существует на отрезке определенный интеграл, называются интегрируемыми (по Риману).

Конец определения.

Конец доказательства.

Из теоремы 6.2. следует, неограниченные на отрезках функции не интегрируемы. Но условие ограниченности функции не является достаточным. Приведем пример ограниченной, но не интегрируемой функции.

Пример 6.1. (Функция Дирихле). На отрезке определена функция так, что , если х иррационально, и , если х рационально. Покажем, что эта функция не интегрируема по Риману, хотя она, очевидно, ограничена. Действительно, возьмем произвольное разбиение отрезка и составим интегральную сумму . Если на отрезках разбиения выбрать рациональные значения , то интегральные суммы для произвольного разбиения равны 0. Если на отрезках разбиения выбрать иррациональные значения , то интегральные суммы для произвольного разбиения равны . Следовательно, такие интегральные суммы не имеют предела.

Конец доказательства.

Теорема 6.3. Если определенная и ограниченная на отрезке функция имеет счетное (конечное или бесконечное) число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Эта теорема приводится без доказательства. Отметим, что функция Дирихле ограничена, но имеет разрыв 1-го рода в каждой точке отрезка . Так как множество чисел отрезка несчетно, то функция Дирихле не удовлетворяет условиям теоремы 6.3. Из теоремы 6.3. следует ряд важных следствий.

Следствие 6.1. Непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Следствие 6.2. Кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Приведем еще один класс интегрируемых функций.

Теорема 6.4. Монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Эта теорема приводится без доказательства.

Замечание 6.1. Монотонная на отрезке функция ограничена на этом отрезке значениями . Следовательно, монотонные функции на отрезках удовлетворяют необходимым условиям интегрируемости (теорема 6.2).

Конец замечания.

Замечание 6.2. Отметим без доказательства, что монотонная на отрезке функция может иметь только счетное (конечное или бесконечное) число точек разрыва первого рода. По этой причине монотонные функции на отрезках удовлетворяют достаточным условиям интегрируемости (теорема 6.3).

Конец замечания.